2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算教學案 文（含解析）北師大版

《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算教學案 文（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　平面向量的概念及線性運算 [考綱傳真]　1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：長度相等且方向相反的向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向

2、量． (6)向量平行或共線：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行． 2．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa

3、的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線． (2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則＝(＋)． 3.＝x＋y(x，y為實數(shù))

4、，若點A，B，C共線，則x＋y＝1. 4．△ABC中，＋＋＝0?點P為△ABC的重心． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量． (　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥c． (　　) (3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件． (　　) (4)△ABC中，D是BC的中點，則＝(＋)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．＝　　 B．與共線 C．與是

5、相反向量 D．＝|| D　[選項D中，＝，故D錯誤．] 3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由a＋b＝0得a＝－b，根據(jù)向量共線定理知a∥b，但a∥bDa＋b＝0，故選A．] 4．(教材改編)如圖，?ABCD的對角線交于M，若＝a，＝b，用a，b表示為(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－b C．－a－b D．－a＋b D　[＝＝＝＝－a＋b，故選D．] 5．(教材改編)化簡： (1)(＋)＋＋＝________. (2)＋＋－＝________. (1)　(2

6、)0　[(1)原式＝＋＋＋＝. (2)原式＝＋＝0.] 平面向量的有關(guān)概念 1．給出下列命題： ①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則ABCD為平行四邊形； ③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 A　[①是錯誤的，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點． ②是正確的，因為＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四

7、點，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ③是錯誤的，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ④是錯誤的，當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．] 2．設a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平

8、行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.] [規(guī)律方法]　辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點 (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等． (4)單位向量是長度都是一個單位長度的向量． (5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線． 平面向量的線性運算 【例1】　(1)在四邊形ABCD中，＝，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，則(　　) A．

9、＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ (2)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1、λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． (1)B　(2)　[(1)在四邊形ABCD中，如圖所示，因為＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由已知得＝，由題意知△DEF∽△BEA，則＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故選B． (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.] [規(guī)律方法]　向量的線性運算的求解方法 (1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相

10、接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． (1)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ (2)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. (1)A　(2)　－　[(1)因為＝3， 所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故選A． (2)由題中條件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y

11、＝－.] 共線向量定理的應用 【例2】　設兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是兩個不共線的非零向量

12、， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [規(guī)律方法]　共線向量定理的3個應用 (1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線． (2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． 易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點． (1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線 C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線 (2)(2019·黃山模擬)已知

13、向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實數(shù)λ的值為(　　) A．－4 B．－ C． D．4 (1)B　(2)B　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共線，又有公共點B， ∴A，B，D三點共線．故選B． (2)由題意知m＝kn，即4a＋b＝k(a－λb)． ∴解得故選B．] 1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A．－　　 B．－ C．＋ D．＋ A　[由題可得＝＋＝－(＋)＋＝－，故選A．] 2．(2014·全國卷Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A． B． C． D． C　[如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝.] 3．(2015·全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. 　[∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] - 8 -