2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第七講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 微專題1 函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 理

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1、微專題1 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅱ·T3·函數(shù)的圖象 2018·全國卷Ⅱ·T11·函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性 2018·全國卷Ⅲ·T7·函數(shù)的圖象 1.高考對此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等方面,多以選擇、填空題形式考查,難度一般。主要考查函數(shù)的定義域,分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的判斷。 2.此部分內(nèi)容有時出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置,多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題,難度較大。 考向一 函數(shù)的概念及其表示 【例1】 (1)(2018·重慶調(diào)研)函數(shù)y=lo

2、g2(2x-4)+的定義域是(  ) A.(2,3) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞) (2)(2018·石家莊模擬)已在f (x)=(02且x≠3,所以函數(shù)y=log2(2x-4)+的定義域為(2,3)∪(3,+∞)。故選D。 (2)由題意得,f (-2)=a-2+b=5?、伲琭 (-1)=a-1+b=3?、?,聯(lián)立①②,結(jié)合0

3、 (-3)=-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log39=2。故選B。 答案 (1)D (2)B (1)函數(shù)定義域的求法 求函數(shù)的定義域,其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集即可。 (2)分段函數(shù)問題常見類型及解題策略 ①求函數(shù)值:弄清自變量所在區(qū)間,然后代入對應(yīng)的解析式,求“層層套”的函數(shù)值,要從最內(nèi)層逐層往外計算。②求函數(shù)最值:分別求出每個區(qū)間上的最值,然后比較大小。③解不等式:根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解,但要注意取值范圍的大前提。④求參數(shù):“分段處理”,采用代入法列出各區(qū)間上的方程

4、。 變|式|訓(xùn)|練 1.函數(shù)f (x)=的定義域是(  ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.[-1,2)∪(2,+∞) D.(-1,2)∪(2,+∞) 解析 要使f (x)=有意義,需使即所以函數(shù)f (x)的定義域為(-1,2)∪(2,+∞)。故選D。 答案 D 2.若函數(shù)f (x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是________。 解析 當(dāng)x≤2時,y=x2-4x+8=(x-2)2+4≥4,符合條件;所以只需使y=2+logax(x>2)的值域是[4,+∞)的子集,即其最小值ymin≥4,故當(dāng)a>1時,ymin=2+loga

5、2≥4,即loga2≥2,解得10,所以排除D;x→+∞時,y→+∞,所以排除C。故選B。 答案 B 辨識函數(shù)圖象的兩種方法 (1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象,或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象。 (2)利用間接法排除、篩選錯誤與正

6、確的選項,可以從如下幾個方面入手: ①從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置。 ②從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢。 ③從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性:如奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。 ④從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù)。 ⑤從特殊點出發(fā),排除不符合要求的選項。靈活應(yīng)用上述方法,可以很快判斷出函數(shù)的圖象。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·湘東五校聯(lián)考)函數(shù)f (x)=cosx的圖象的大致形狀是(  ) 解析 因為f (x)=cosx,所以f (-x)=cos(-x)=-cosx=-f (x)

7、,所以函數(shù)f (x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,可排除A、C,又當(dāng)x∈時,ex>e0=1,-1<0,cosx>0,所以f (x)<0,可排除D。故選B。 答案 B 微考向2:函數(shù)圖象的應(yīng)用(應(yīng)用型) 【例3】 已知函數(shù)f (x)=g(x)=|x-k|+|x-1|,若對任意的x1,x2∈R,都有f (x1)≤g(x2)成立,則實數(shù)k的取值范圍為________。 解析  對任意的x1,x2∈R,都有f (x1)≤g(x2)成立,即f (x)max≤g(x)min。觀察f (x)=的圖象可知,當(dāng)x=時,函數(shù)f (x)max=。因為g(x)=|x-k|+|x-1|≥|x-k-(x-1

8、)|=|k-1|,所以g(x)min=|k-1|。所以|k-1|≥,解得k≤或k≥。故實數(shù)k的取值范圍是∪。 答案 ∪ 對于一些函數(shù)與方程、不等式等問題,可通過轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù),再借助函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律求解有關(guān)問題,這樣非常直觀簡潔,也是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·南寧摸底)設(shè)函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù),且f (x+2)=f (2-x),當(dāng)x∈[-2,0]時,f (x)=x-1,若在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f (x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)有且只有4個不同的根,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A. B.(1,4)

9、 C.(1,8) D.(8,+∞) 解析 因為?x∈R,f (x+2)=f (2-x),所以f (x+4)=f (2+(x+2))=f (2-(x+2))=f (-x)=f (x),所以函數(shù)f (x)是一個周期函數(shù),且T=4。又因為當(dāng)x∈[-2,0]時,f (x)=x-1=()-x-1,所以當(dāng)x∈[0,2]時,f (x)=f (-x)=()x-1,于是x∈[-2,2]時,f (x)=()|x|-1,根據(jù)f (x)的周期性作出f (x)的圖象如圖所示。若在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f (x)-loga(x+2)=0有且只有4個不同的根,則a>1且y=f (x)與y=loga(x+2)(

10、a>1)的圖象在區(qū)間(-2,6)內(nèi)有且只有4個不同的交點,因為f (-2)=f (2)=f (6)=1,所以對于函數(shù)y=loga(x+2)(a>1),當(dāng)x=6時,loga8<1,解得a>8,即實數(shù)a的取值范圍是(8,+∞)。故選D。 答案 D 考向三 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 微考向1:函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(應(yīng)用型) 【例4】 (1)函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意兩個正數(shù)x1,x2(x1x1f (x2),記a=f (2),b=f (1),c=-f (-3),則a,b,c之間的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>b>a

11、 D.a(chǎn)>c>b (2)已知函數(shù)f (x)=(a-2)ax(a>0且a≠1),若對任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有>0,則a的取值范圍是________。 解析 (1)因為對任意兩個正數(shù)x1,x2(x1x1f (x2),所以>,得函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù),又c=-f (-3)=f (3),所以g(1)>g(2)>g(3),即b>a>c。故選B。 (2)當(dāng)02時,a-2

12、>0,y=ax單調(diào)遞增,所以f (x)單調(diào)遞增。又由題意知f (x)單調(diào)遞增,故a的取值范圍是(0,1)∪(2,+∞)。 答案 (1)B (2)(0,1)∪(2,+∞) (1)比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。 (2)對于x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]>0或>0,則f (x)在閉區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)。 (3)若函數(shù)f (x)在定義域(或某一區(qū)間)上是增函數(shù),則f (x1)

13、 1.(2018·晉城一模)已知函數(shù)f (x)=loga(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f (0)<0,則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1] 解析 令g(x)=-x2-2x+3,由題意知g(x)>0,可得-3

14、|x|≤4,x∈R}上的最大值為M,最小值為m,則M-m=(  ) A.    B.2 C.    D. 解析 可令|x|=t,則1≤t≤4,y=-,易知y=-在[1,4]上遞增,所以其最小值為1-1=0;最大值為2-=,則m=0,M=,則M-m=。故選A。 答案 A 微考向2:函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用(綜合型) 【例5】 (1)已知f (x)為奇函數(shù),函數(shù)f (x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x+1對稱,若g(1)=4,則f (-3)=(  ) A.2   B.-2 C.-1   D.4 (2)(2018·安徽“江南十?!甭?lián)考)f (x)是R上的奇函數(shù),對任意實數(shù)x

15、都有f (x)=-f ,當(dāng)x∈時,f (x)=log2(2x-1),則f (2 018)+f (2 019)=(  ) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析 (1)因為函數(shù)f (x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x+1對稱,點(1,4)與點(3,2)關(guān)于直線y=x+1對稱,又g(1)=4,則f (3)=2,因為f (x)為奇函數(shù),所以f (-3)=-2。故選B。 (2)因為f (x)是R上的奇函數(shù),且f (x)=-f ,所以f =-f (x)。所以f =-f =f (x),即f (x+3)=f (x)。所以函數(shù)f (x)的最小正周期為3,所以f (2 018)+f (2 019

16、)=f (672×3+2)+f (673×3+0)=f (2)+f (0)=f (-1+3)+f (0)=f (-1)+f (0)=-f (1)=0。故選A。 答案 (1)B (2)A 利用函數(shù)性質(zhì)求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi),然后代入函數(shù)解析式求值。記住以下結(jié)論: 若對于函數(shù)f (x)定義域內(nèi)的任意一個x都有: (1)f (x+a)=-f (x)(a≠0),則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期。 (2)f (x+a)=(a≠0,f (x)≠0),則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期。 (3)f (

17、x+a)=-(a≠0,f (x)≠0),則函數(shù)f (x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·貴陽摸底)函數(shù)f (x)=a+(a,b∈R)是奇函數(shù),且圖象經(jīng)過點,則函數(shù)f (x)的值域為(  ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-3,3) D.(-4,4) 解析 函數(shù)f (x)的定義域為R,且函數(shù)f (x)為奇函數(shù),所以f (0)=a+=0 ①,又因為函數(shù)f (x)的圖象過點,所以a+=a+=?、?,根據(jù)①②可得a=1,b=-2,所以f (x)=1+。ex+1>1?-2<<0?-1<1+<1,所以函數(shù)f (x)的值域為(-1,1)。

18、故選A。 答案 A 2.函數(shù)y=f (x)滿足對任意x∈R都有f (x+2)=f (-x)成立,且函數(shù)y=f (x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,f (1)=4,則f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)的值為________。 解析 因為函數(shù)y=f (x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,所以f (x)是R上的奇函數(shù),f (x+2)=-f (x),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x),故f (x)的周期為4,所以f (2 017)=f (504×4+1)=f (1)=4,所以f (2 016)+f (2 018)=f (2 016)+f (2 016+2)

19、=f (2 016)-f (2 016)=0,所以f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)=4。 答案 4 考向四 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì) 【例6】 (2018·天津高考)已知a=log2e,b=ln2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析 解法一:因為a=log2e>1,b=ln2∈(0,1),c=log=log23>log2e>1,所以c>a>b。故選D。 解法二:log=log23,如圖,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=lnx的圖象,由圖知c>a>b

20、。故選D。 答案 D 對數(shù)值的大小比較方法 (1)化為同底的對數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性比較。 (2)利用作差或作商法比較。 (3)利用中間值(0或1)比較。 (4)化為同真數(shù)的對數(shù)后利用圖象比較。 變|式|訓(xùn)|練 解析  答案 B 2.已知a是大于0的常數(shù),把函數(shù)y=ax和y=+x的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系中,不可能出現(xiàn)的是(  ) 解析 因為a>0,所以y=+x是對勾函數(shù),若00時,y=+x的值大于等于2,函數(shù)y=ax和y=+x的圖象不可能有兩個交點。故選D。 答案 D 1.(考向一)(2018·江蘇高考)函數(shù)f (x)滿足f

21、(x+4)=f (x)(x∈R),且在區(qū)間(-2,2]上,f (x)=則f (f (15))的值為________。 解析 因為函數(shù)f (x)滿足f (x+4)=f (x)(x∈R),所以函數(shù)f (x)的最小正周期是4。因為在區(qū)間(-2,2]上,f (x)=所以f (f (15))=f (f (-1))=f =cos=。 答案  2.(考向二)(2018·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f (x)=的大致圖象為(  ) 解析 易知函數(shù)f (x)=為奇函數(shù)且定義域為{x|x≠0},只有D滿足。故選D。 答案 D 3.(考向二)函數(shù)f (x)=與g(x)=|x+a|+1的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的

22、點,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.R B.(-∞,-e] C.[e,+∞) D.? 解析  設(shè)y=h(x)與y=f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱,則h(x)=f (-x)=作出函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖象如圖所示,因為f (x)與g(x)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,所以y=h(x)與y=g(x)的圖象有交點,所以-a≤-e,即a≥e。故選C。 答案 C 4.(考向三)已知函數(shù)f (x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1在[-1,3]上的最大值為M,最小值為m,則M+m等于(  ) A.4 B.2 C.1 D.0 解析 設(shè)t=x-1,則f (

23、x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1=(t2-1)sint+t+2,t∈[-2,2],記g(t)=(t2-1)sint+t+2,則函數(shù)y=g(t)-2=(t2-1)sint+t是奇函數(shù),由已知y=g(t)-2的最大值為M-2,最小值為m-2,所以M-2+(m-2)=0,即M+m=4。故選A。 答案 A 5.(考向四)(2018·洛陽聯(lián)考)設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則(  ) A.c>b>a B.b>c>a C.a(chǎn)>c>b D.a(chǎn)>b>c 解析 因為a=log36=log33+log32=1+log32,b=log510=log55+log5

24、2=1+log52,c=log714=log77+log72=1+log72,因為log32>log52>log72,所以a>b>c。故選D。 答案 D 6.(拓展型)(2018·廣州調(diào)研)對于定義域為R的函數(shù)f (x),若滿足①f (0)=0;②當(dāng)x∈R,且x≠0時,都有xf ′(x)>0;③當(dāng)x1<0

25、)=0,f2(0)=e0-0-1=0,f 3(0)=ln1=0,f4(0)=0,即四個函數(shù)均滿足條件①。f 1′(x)=-3x2+3x,xf 1′(x)=x(-3x2+3x)=-3x2(x-1),當(dāng)x>1時,xf 1′(x)<0,不滿足條件②,則函數(shù)f 1(x)不是“偏對稱函數(shù)”;f 2′(x)=ex-1,xf 2′(x)=x(ex-1),當(dāng)x≠0時,恒有xf 2′(x)>0,故滿足條件②;f 3′(x)=故xf 3′(x)=故xf 3′(x)>0在x≠0時恒成立,故滿足條件②;因為當(dāng)x≠0時,f4(x)=x=x·=· ,所以f4(-x)=·=·=·=f4(x),所以當(dāng)x≠0時,f4(x)是

26、偶函數(shù),所以當(dāng)x1<0H(0)=0,故f 2(x2)-f 2(x1)>0恒成立,所以f 2(x)滿足條件③;當(dāng)x1<00,所以T(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),則當(dāng)x∈(0,+∞)時,T(x)>T(0)=0,故f 3(x2)-f 3(x1)>0恒成立,故f 3(x)滿足條件③。綜上可知“偏對稱函數(shù)”有2個。故選C。 答案 C 12

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