2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第七講 函數(shù)與導數(shù) 微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實際應用學案 理

《2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第七講 函數(shù)與導數(shù) 微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實際應用學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第七講 函數(shù)與導數(shù) 微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實際應用學案 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、微專題2　函數(shù)與方程、函數(shù)的實際應用 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T9·函數(shù)的零點 2018·全國卷Ⅲ·T15·函數(shù)的零點 2018·浙江高考·T11·方程組的實際應用 2017·全國卷Ⅲ·T11·函數(shù)的零點 　　從近5年高考情況來看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點，尤其是對函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)的判定及利用零點存在性定理判斷零點是否存在和零點存在區(qū)間的考查較為頻繁，一般會將本部分內(nèi)容知識與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來考查，綜合性較強，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，解題時要充分利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想。 考向一 判斷函數(shù)零點的個

2、數(shù)或所在區(qū)間 【例1】　(1)函數(shù)f (x)＝log2x－的零點所在的區(qū)間為(　　) A． B． C．(1,2) D．(2,3) (2)函數(shù)f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為________。 解析　(1)函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)。f ＝log2－＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log21－＝0－1<0，f (2)＝log22－＝1－＝>0，f (3)＝log23－>1－＝>0，即f (1)·f (2)<0，所以函數(shù)f (x)＝log2x－的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)。故選C。 (

3、2)f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f (x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐標系中作出兩個函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示。令ln(x＋1)＝1，則x＝e－1。觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f (x)有2個零點。 答案　(1)C　(2)2 (1)函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的類型有： ①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定。 ②零點個數(shù)的確定。 ③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定。 (2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的主

4、要方法： ①解方程f (x)＝0，直接求零點。 ②利用零點存在定理。 ③數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題。 變|式|訓|練 1．(2018·南寧摸底)設函數(shù)f (x)＝lnx－2x＋6，則f (x)零點的個數(shù)為(　　) A．3　　　 　B．2 C．1　　　 　D．0 解析　令f (x)＝0，則lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)就等于函數(shù)f (x)零點的個數(shù)，容易看出函數(shù)f (x)零點的個數(shù)

5、為2，故選B。 答案　B 2．已知函數(shù)f (x)滿足：①定義域為R；②?x∈R，都有f (x＋2)＝f (x)；③當x∈[－1,1]時，f (x)＝－|x|＋1，則方程f (x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個數(shù)是(　　) A．5　　　　B．6 C．7　　　　D．8 解析　畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解。故選A。 答案　A 考向二 根據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)的范圍 【例2】　已知函數(shù)f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－　　　B． C．　　　D．1 解析　解法一：令f (x)＝0，則x2－2x＝－a(

6、ex－1＋e－x＋1)，設g(x)＝ex－1＋e－x＋1，則g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當g′(x)＝0時，x＝1，故當x<1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，當x>1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＝1時，函數(shù)g(x)取得最小值2，設h(x)＝x2－2x，當x＝1時，函數(shù)h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)時，此時函數(shù)h(x)和－ag(x)有一個交點，即－a×2＝－1?a＝。故選C。 解法二：f (2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1

7、－x＋ex－1)＝f (x)，所以f (x)的圖象關于x＝1對稱，而f (x)有唯一的零點，則f (x)的零點只能為x＝1，即f (1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故選C。 答案　C 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解。 (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解。 (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構(gòu)建不等式求解。 變|式|訓|練 已知在區(qū)間(0,2]上的函數(shù)f (x)＝且g(x)＝f (x)－mx在區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．∪ B．∪ C．∪

8、 D．∪ 解析　 由函數(shù)g(x)＝f (x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，得y＝f (x)，y＝mx在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個不同的交點。當y＝mx與y＝－3在x∈(0,1]相切時，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，結(jié)合圖象可得當－

9、折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) (2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當年產(chǎn)量不足80千件時，G(x)＝x2＋10x；當年產(chǎn)量不小于80千件時，G(x)＝51x＋－1 450。已知每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元。通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元。 解析　(1)通過題圖可知

10、A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，從圖觀察C是正確的，D也正確，1～6月比較平穩(wěn)，7～12月波動較大。故選A。 (2)因為每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元，所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x＝50x(萬元)。①當0

11、000萬元。由于950<1 000，所以當產(chǎn)量為100千件時，該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤為1 000萬元。 答案　(1)A　(2)1 000 解決函數(shù)實際應用題的2個關鍵點 (1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題。 (2)要合理選取參變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解。 變|式|訓|練 1．(2018·昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國年平均氣溫變化圖。 根據(jù)上圖，下列

12、結(jié)論正確的是(　　) A．1951年以來，我國年平均氣溫逐年增高 B．1951年以來，我國年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高 C．2000年以來，我國年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值 D．2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值 解析　由1951～2016年我國年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以A錯誤；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以B錯誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以C錯誤；2000年以來，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來，我國年平均氣

13、溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正確。故選D。 答案　D 2．(2018·馬鞍山一模)某高校為提升科研能力，計劃逐年加大科研經(jīng)費投入。若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費1 300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2 000萬元的年份是________。(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　) A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年 解析　若2018年是第一年，則第n年科研費為1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得l

14、g1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費超過2 000萬元。故選B。 答案　B 1．(考向一)(2018·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f (x)＝則函數(shù)f (x)的零點個數(shù)為________。 解析　解法一：當x>1時，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2為函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，＋∞)上的一個零點；當x≤1時，因為f (x)＝x3－3x＋1，所以f ′(x)＝3x2－3，由f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因為當x<－1時，f ′(x)>0，當－1≤x≤1時，f ′(x)≤0，所以x＝－1為函數(shù)f (x)＝x3－

15、3x＋1在(－∞，1]上的極大值點，因為f (－1)＝3>0，f (1)＝－1<0，且當x→－∞時，f (x)→－∞，所以函數(shù)f (x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有兩個不同的零點。綜上，函數(shù)f (x)的零點個數(shù)為3。 解法二：當x>1時，作出函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象如圖①所示，當x≤1時，由f (x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一個平面直角坐標系中分別作出函數(shù)y＝x3和y＝3x－1的圖象如圖②所示，由圖①，②可知函數(shù)f (x)的零點個數(shù)為3。 答案　3 2．(考向一)(2018·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f (x)滿足f (1－x)＝f (1＋x)＝f (x－1

16、)(x∈R)，且當0≤x≤1時，f (x)＝2x－1，則方程|cosπx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和為(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析　方程|cosπx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cosπx|與y＝f (x)在[－1,3]上的圖象交點的橫坐標之和。由f (1－x)＝f (1＋x)得f (x)的圖象關于直線x＝1對稱，由f (1－x)＝f (x－1)得f (x)的圖象關于y軸對稱，由f (1＋x)＝f (x－1)得f (x)的一個周期為2，而當0≤x≤1時，f (x)＝2x－1，在同一坐標系中作出y＝f (x)和y＝|c

17、osπx|在[－1,3]上的大致圖象，如圖所示。易知兩圖象在[－1,3]上共有11個交點，又y＝f (x)，y＝|cosπx|的圖象都關于直線x＝1對稱，故這11個交點也關于直線x＝1對稱，故所有根之和為11。故選D。 答案　D 3．(考向二)已知函數(shù)f (x)＝－kx2(x∈R)有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析　因為x＝0是函數(shù)f (x)的零點，則函數(shù)f (x)＝－kx2(k∈R)有四個不同的零點，等價于方程k＝有三個不同的根，即方程＝|x|(x＋2)有三個不同的根。記函數(shù)g(x)

18、＝|x|(x＋2)＝由題意y＝與y＝g(x)有三個不同的交點，作圖可知(圖略)0<<1，所以k>1。故選D。 答案　D 4．(考向二)(2018·四川統(tǒng)考)函數(shù)f (x)＝若關于x的方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0有五個不同的零點，則a的取值范圍是(　　) A．(1,2) B． C． D．∪ 解析　 作出f (x)＝|x|＋1，x≠0的圖象如圖所示。設t＝f (x)，則原方程化為2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由圖象可知，若關于x的方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0有五個不同的實數(shù)解，只有當直線y＝a與函數(shù)y＝f (x)的圖象有兩

19、個不同的公共點時才滿足條件，所以10，解得a≠，綜上，得1，lg100.7＝0.7>lg3>lg2，所以100.7>3>2,10－0.7<<，所以<<。故選C。 答案　C 9