2018版高中數學 第三章 導數及其應用章末復習課學案 蘇教版選修1-1

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1、 第三章 導數及其應用 學習目標　1.理解導數的幾何意義并能解決有關斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數的求導公式，并能夠綜合運用求導法則求函數的導數.3.掌握利用導數判斷函數單調性的方法，會用導數求函數的極值和最值.4.會用導數解決一些簡單的實際應用問題． 知識點一　在x＝x0處的導數 1．定義：函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，若Δx無限趨于0時，比值＝_______________無限趨近于一個常數A，稱函數y＝f(x)在x＝x0處可導．________為f(x)在x＝x0處的導數． 2．幾何意義：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數是函數圖象在點(x0，f(x0

2、))處的切線________． 3．物理意義：瞬時速度、瞬時加速度． 知識點二　基本初等函數的求導公式 函數 導數 y＝C y′＝________ y＝xα(α為常數) y′＝________ y＝sin x y′＝________ y＝cos x y′＝________ y＝ax(a>0且a≠1) y′＝________ y＝ex y′＝________ y＝logax(a>0且a≠1) y′＝________ y＝ln x y′＝________ 知識點三　導數的運算法則 和差的導數 [f(x)±g(x)]′＝_________

3、___ 積的導數 [f(x)·g(x)]′＝____________ 商的導數 ′＝________________(g(x)≠0) 知識點四　函數的單調性、極值與導數 1．函數的單調性與導數 在某個區(qū)間(a，b)內，如果________，那么函數y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果________，那么函數y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞減． 2．函數的極值與導數 (1)極大值：在x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當xa時，________，則點a叫做函數的極大值點，f(a)叫做函數的極大值； (2)極小值：在x＝a附近，滿足f(a)

4、≤f(x)，當xa時，________，則點a叫做函數的極小值點，f(a)叫做函數的極小值． 知識點五　求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 1．求函數y＝f(x)在(a，b)內的________． 2．將函數y＝f(x)的各極值與________________________比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值． 特別提醒　(1)關注導數的概念、幾何意義 利用導數的概念、幾何意義時要特別注意切點是否已知，若切點未知，則設出切點，用切點坐標表示切線斜率． (2)正確理解單調性與導數、極值與導數的關系 ①當函數在區(qū)

5、間(a，b)上為增函數時，f(x)≥0； ②f′(x0)＝0是函數y＝f(x)在x0處取極值的必要條件． 類型一　導數幾何意義的應用 例1　設函數f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y＝6平行． (1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3處的切線方程． 　 　 　 反思與感悟　利用導數求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定

6、是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉化為第一種類型． 跟蹤訓練1　求垂直于直線2x－6y＋1＝0并且與曲線y＝x3＋3x2－5相切的直線方程． 　 　 　 類型二　函數的單調性與導數 例2　已知函數f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，x∈R. (1)討論函數f(x)的單調性； (2)設函數f(x)在區(qū)間(－，－)內是減函數，求a的取值范圍． 　 　 反思與感悟　(1)關注函數的定義域，單調區(qū)間應為定義域的子區(qū)間． (2)已知函數在某個區(qū)間上的單調性時轉化要等價． (3)分

7、類討論求函數的單調區(qū)間實質是討論不等式的解集． (4)求參數的范圍時常用到分離參數法． 跟蹤訓練2　設函數f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a>0，求函數f(x)的單調區(qū)間； (3)設函數g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區(qū)間(－2，－1)內存在單調遞減區(qū)間，求實數a的取值范圍． 　 　 類型三　函數的極值、最值與導數 例3　已知f(x)＝x－1＋， (1)若f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值； (2)求f(x)的極值； (3)當a＝1時，直線l：y

8、＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點，求實數k的取值范圍． 　 　 　 反思與感悟　(1)已知極值點求參數的值后，要代回驗證參數值是否滿足極值的定義． (2)討論極值點的實質是討論函數的單調性，即f′(x)的正負． (3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者． 跟蹤訓練3　已知a，b為常數且a>0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b. (1)函數f(x)的極大值為2，求a、b間的關系式； (2)函數f(x)的極大值為2，且在區(qū)間[0,3]上的最小值為－，求a、b的值． 　 　 類型四　導數與函數、不等式

9、的綜合應用 例4　設函數f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(01時，x2＋

10、ln x

11、n x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)． (1)確定a的值； (2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值． 　 　 　 1．利用導數的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點． 2．借助導數研究函數的單調性，經常同三次函數，一元二次不等式結合，融分類討論、數形結合于一體． 3．利用導數求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數關系式，轉化為求最值問題． 提

12、醒：完成作業(yè)　第3章　章末復習課 答案精析 知識梳理 知識點一 1.　常數A 2．斜率 知識點二 0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a ex　　 知識點三 f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 知識點四 1．f′(x)>0　f′(x)<0 2．(1)f′(x)>0　f′(x)<0 (2)f′(x)<0　f′(x)>0 知識點五 1．極值 2．端點處函數值f(a)，f(b) 題型探究 例1　解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9 ＝(x＋a)2－a2－9， ∴f′(x)min＝－a2－9， 由題意知，－

13、a2－9＝－10， ∴a＝1或－1(舍去)． 故a＝1. (2)由(1)得a＝1. ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)， 即6x－y－28＝0. 跟蹤訓練1　解　設切點坐標為P(x0，y0)，函數y＝x3＋3x2－5的導數為y′＝3x2＋6x，則切線的斜率為k＝y(tǒng)′|＝3x2＋6x|＝3x＋6x0. 又∵直線2x－6y＋1＝0的斜率為k′＝， ∴k·k′＝(3x＋6x0)×＝－1， 解得x0＝－1， ∴y0＝－3，即P(－1，－3)． 又k＝－3， ∴切線方程為y＋3＝－3

14、(x＋1)， 即3x＋y＋6＝0. 例2　解　(1)因為f(x)＝x3＋ax2＋x＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋1. 當Δ≤0，即a2≤3時，f′(x)≥0，f(x)在R上單調遞增． 當a2>3時，令f′(x)＝0，求得兩根為x＝. 即f(x)在(－∞，)內是增函數， 在(，)內是減函數， 在(，＋∞)內是增函數． 所以函數f(x)在(－∞，)和(，＋∞)內是增函數； 在(，)內是減函數． (2)若函數在區(qū)間(－，－)內是減函數， 則f′(x)＝3x2＋2ax＋1的兩根在區(qū)間(－，－)外， 即解得a≥2， 故a的取值范圍是[2，＋∞)． 跟蹤訓練2　解　

15、(1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由題意得即 (2)由(1)得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0； 當x∈(0，a)時，f′(x)<0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0. 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，0)，(a，＋∞)， 單調遞減區(qū)間為(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2，依題意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， 即當x∈(－2，－1)時，a<(x＋)max＝－2， 當且僅當x＝即x＝－時等號成立． 所以滿足要求的a的取值范圍是(－∞，－2)． 例3

16、　解　f′(x)＝1－. (1)∵f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸， ∴由f′(1)＝0，得a＝e. (2)①當a≤0時，f′(x)>0，y＝f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數， 所以y＝f(x)無極值； ②當a>0時，令f′(x)＝0，得x＝ln a. 當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0，y＝f(x)在(－∞，ln a)上遞減； 當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0，y＝f(x)在(ln a，＋∞)上遞增， 故f(x)在x＝ln a處取得極小值f(ln a)＝ln a，無極大值． 綜上，當a≤0時，y＝f(x)無極值； 當a>0時，y＝f(x)

17、在x＝ln a處取得極小值ln a，無極大值． (3)當a＝1時，f(x)＝x－1＋. 直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點等價于關于x的方程kx－1＝x－1＋在R上沒有實數解， 即關于x的方程(k－1)x＝(*)在R上沒有實數解． ①當k＝1時，方程(*)為＝0，在R上沒有實數解； ②當k≠1時，方程(*)為＝xex. 令g(x)＝xex，則有g′(x)＝(1＋x)ex， 令g′(x)＝0，得x＝－1. 當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 減↘ －

18、增↗ 當x＝－1時，g(x)min＝－， 從而g(x)∈[－，＋∞)． 所以當∈(－∞，－)時，方程(*)沒有實數解， 解得k∈(1－e,1)． 綜上，k的取值范圍為(1－e,1]． 跟蹤訓練3　解　(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a， 因為a>0，所以x1

19、所以當x＝－1時，f(x)有極大值2， 即3a＋2b＝3. (2)當03時，由(1)知，f(x)在[0,3]上為減函數，即f(3)為最小值，f(3)＝－，從而求得a＝，不合題意，舍去． 綜上a＝2，b＝－. 例4　解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 ＝－(x－a)(x－3a)． 令f′(x)＝0，得x＝a或

20、x＝3a. 當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a) a (a，3a) 3a (3a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數；在(a,3a)上是增函數． 當x＝a時，f(x)取得極小值， f(x)極小值＝f(a)＝b－a3； 當x＝3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值＝f(3a)＝b. (2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其對稱軸為x＝2a. 因為0

21、a＋2]上是減函數． 當x＝a＋1時，f′(x)取得最大值， f′(a＋1)＝2a－1； 當x＝a＋2時，f′(x)取得最小值， f′(a＋2)＝4a－4. 于是有即≤a≤1. 又因為0

22、 跟蹤訓練4　解　(1)當a≤0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)． 當a>0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0，)． (2)設g(x)＝x3－x2－ln x(x>1)， 則g′(x)＝2x2－x－. 因為當x>1時， g′(x)＝>0， 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數． 所以g(x)>g(1)＝>0， 即x3－x2－ln x>0， 所以x2＋ln x1時，x2＋ln x

23、 所以f′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為 y－16a＝(6－8a)(x－1)， 由點(0,6)在切線上， 可得6－16a＝8a－6，故a＝. (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2或3. 當03時，f′(x)>0， 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數； 當2