2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 第一講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學(xué)案 理

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1、 第一講　空間幾何體的三視圖、表面積與體積 考點(diǎn)一　空間幾何體的三視圖與直觀圖 1．三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對(duì)正、高平齊、寬相等”． 2．原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系 S′＝S. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可

2、以是(　　) [解析]　兩個(gè)木構(gòu)件咬合成長方體時(shí)，小長方體(榫頭)完全嵌入帶卯眼的木構(gòu)件，易知俯視圖可以為A.故選A. [答案]　A 2．(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為(　　) [解析]　過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的左視圖為選項(xiàng)C中的圖形．故選C. [答案]　C 3．(2018·江西南昌二中模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為(　　) A．8 B．4 C．4

3、 D．4 [解析]　由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，則易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，故選D. [答案]　D 4．如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積為________． [解析]　直觀圖的面積S′＝×(1＋1＋)×＝.故原平面圖形的面積S＝＝2＋. [答案]　2＋ [快速審題]　(1)看到三視圖，想到常見幾何體的三視圖，進(jìn)而還原空間幾

4、何體． (2)看到平面圖形直觀圖的面積計(jì)算，想到斜二側(cè)畫法，想到原圖形與直觀圖的面積比為. 　由三視圖還原到直觀圖的3步驟 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀． 考點(diǎn)二　空間幾何體的表面積與體積 1．柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)； (2)S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)； (3)S臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)． 2．柱體、錐體、臺(tái)體的

5、體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (3)V臺(tái)＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)． 3．球的表面積和體積公式 S表＝4πR2(R為球的半徑)，V球＝πR3(R為球的半徑)． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底邊的長分別為1 cm,2 cm，高為2 cm，直四棱柱的高為2 cm.故直四棱柱的體積V＝×2×2＝6

6、 cm3. [答案]　C 2．(2018·哈爾濱師范大學(xué)附中、東北師范大學(xué)附中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是(　　) A.＋2 B.＋2 C.＋3 D.π＋2 [解析]　由三視圖知，此幾何體為一個(gè)半圓錐，其底圓半徑為1，高為2，故母線長為＝，所以該幾何體的表面積S＝π×1×＋π×12＋×2×2＝＋2.故選B. [答案]　B 3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由已知易得該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面，高為2的四棱錐．由于正視圖是一個(gè)上底邊為

7、2，下底邊為4，高為2的直角梯形，故該四棱錐的底面積S＝×(2＋4)×2＝6，則V＝Sh＝×6×2＝4.故選D. [答案]　D 4．(2018·太原一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．6π＋1 B.＋1 C.＋ D.＋1 [解析]　由幾何體的三視圖知，該幾何體為一個(gè)組合體，其中下部是底面直徑為2，高為2的圓柱，上部是底面直徑為2，高為1的圓錐的四分之一，所以該幾何體的表面積為4π＋π＋＋＋1＝＋1，故選D. [答案]　D [快速審題]　(1)看到求規(guī)則圖形的表面積(體積)，想到相應(yīng)幾何體的表面積(體積)公式． (2)看到求不規(guī)則圖形

8、的表面積，想到幾何體的側(cè)面展開圖． (3)看到求不規(guī)則圖形的體積，想到能否用割補(bǔ)思想、特殊值法等解決． 　求幾何體表面積和體積關(guān)鍵過好“兩關(guān)” (1)還原關(guān)，即利用“長對(duì)正，寬相等，高平齊”還原空間幾何體的直觀圖． (2)公式關(guān)，即會(huì)利用空間幾何體的體積或表面積公式求簡單組合體的體積或表面積． 考點(diǎn)三　多面體與球的切接問題 　與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．角度1：與球的組合體中求棱柱(錐)的表面積或體積 [探究追問]　若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C

9、1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球． ∴體對(duì)角線BC1的長為球O的直徑． 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 　“切”“接”問題的處理方法 (1)“切”的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)要先找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則多通過多面體過球心的對(duì)角面來作截面． (2)“接”的處理：把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即球的外接問題．解決這類問題的關(guān)

10、鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．[角度1](2018·廣東惠州二模)已知三棱錐S－ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，則三棱錐S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是(　　) A. B．1 C. D. [解析]　∵三棱錐S－ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S在底面ABC內(nèi)的射影為AB的中點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接SH，CH， ∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一點(diǎn)到A，B，C的距離相等，易知SH＝，CH＝1，∴Rt△SHC中∠HSC＝30°.在面SH

11、C內(nèi)作SC的垂直平分線MO，交SH于點(diǎn)O，交SC于點(diǎn)M，則O為三棱錐S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1，又∠OSM＝30°，∴SO＝，OH＝，∴球心O到平面ABC的距離為，故選A. [答案]　A 2．[角度2](2018·武漢調(diào)研)一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等腰直角三角形，正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為(　　) A．16π B．9π C．4π D．π [解析]　三棱錐如右圖，設(shè)外接球半徑為R，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)．SD⊥面ABC.球心O在SD上，SD＝2.在直角△ODC中，OC＝R，OD＝2－

12、R，DC＝.則(2－R)2＋()2＝R2，即R＝，故V－ABC的外接圓的表面積為S＝4πR2＝9π，選B. [答案]　B 1．(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 [解析]　由圓柱的三視圖及已知條件可知點(diǎn)M與點(diǎn)N的位置如圖1所示，設(shè)ME與FN為圓柱的兩條母線，沿FN將圓柱的側(cè)面展開，如圖2所示，連接MN，MN即為從M到N的最短路徑，由題意知，ME＝2，EN＝4，∴MN

13、＝＝2.故選B. [答案]　B 2．(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB?底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA為直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD?平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，從而SB＝＝3，又

14、BC＝＝，SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故選C. [答案]　C 3．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 [解析]　由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1 cm，高為3 cm的半個(gè)圓錐和三棱錐S－ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3 cm，底面△ABC中，AB＝2 cm，OC＝1 cm，AB⊥OC.故其體積V＝××π×12×3＋××2×1×3＝cm3.故選A. [答案]　A 4．(2018·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C

15、1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________． [解析]　由題意知四棱錐的底面EFGH為正方形，其邊長為，即底面面積為，由正方體的性質(zhì)知，四棱錐的高為.故四棱錐M－EFGH的體積V＝××＝. [答案]　 5．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． [解析]　設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，∴＝＝. [答案]　 1

16、.該部分在高考中一般會(huì)以“兩小”或“一小”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積． 2．考查一個(gè)小題時(shí)，本小題一般會(huì)出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查2個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的考查． 熱點(diǎn)課題12　補(bǔ)形法求幾何體的表面積與體積 [感悟體驗(yàn)] 1．(2018·太原一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．2 B. C．4 D. [解析]　觀察三視圖并依托正方體，可得該幾何體

17、直觀圖為A1－ABEF，如圖所示，其體積為V正方體－VAFD－BEC－VA1－BEC1B1－VA1－FEC1D1＝2×2×2－×2×1×2－×2×(1＋2)×2×－×1×2×2＝. [答案]　B 2．(2018·合肥聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為(　　) A．24π B．29π C．48π D．58π [解析]　如圖，在3×2×4的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐A－BCD)，其外接球即為長方體的外接球，表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π. [答案]　B 專題跟蹤訓(xùn)

18、練(二十一) 一、選擇題 1．(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 [解析]　由三視圖得該四棱錐的直觀圖如圖中S－ABCD所示，由圖可知，其最長棱為SD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝＝2.故選B. [答案]　B 2．(2018·益陽、湘潭高三調(diào)考)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積為(　　) A. B. C. D．4 [解析]　由三視圖可得三棱錐為如圖所示的三棱錐A－PBC(放到棱長為

19、2的正方體中)，則VA－PBC＝×S△PBC×AB＝××2×2×2＝.故選B. [答案]　B 3．(2018·遼寧五校聯(lián)考)一個(gè)長方體被一平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．36 B．48 C．64 D．72 [解析]　由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，將幾何體分割為兩個(gè)三棱柱，所以該幾何體的體積為×3×4×4＋×3×4×4＝48，故選B. [答案]　B 4．(2018·廣東七校聯(lián)考)某一簡單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是(　　) A．13π B．16π C．25π D．27π

20、 [解析]　由三視圖知該幾何體是一個(gè)底面為正方形的長方體，由正視圖知該長方體的底面正方形的對(duì)角線長為4，所以底面邊長為2，由側(cè)視圖知該長方體的高為3，設(shè)該幾何體的外接球的半徑為R，則2R＝＝5，解得R＝，所以該幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×＝25π，故選C. [答案]　C 5．(2018·洛陽市高三第一次聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π [解析]　將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體相應(yīng)面上的對(duì)角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以正方體的棱長為2.因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體

21、的內(nèi)切球，即球O的直徑為正方體的棱長，其長為2，則球O的體積V＝πR3＝π，故選A. [答案]　A 6．(2018·河北第二次質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有關(guān)于“塹堵”的記載，“塹堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“塹堵”被一個(gè)平面截去一部分后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體積是(　　) A．50 B．75 C．25.5 D．37.5 [解析]　由題意及給定的三視圖可知，剩余部分是在直三棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個(gè)四棱錐所得的，且直三棱柱的底面是腰長為5的等腰直角三角形，高為5.如圖，圖中幾何體ABCC1MN為剩余部分，因?yàn)锳M＝2，B1C1⊥平

22、面MNB1A1，所以剩余部分的體積V＝V三棱柱－V四棱錐＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故選D. [答案]　D 7．(2018·廣東廣州調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．4＋4＋2 B．14＋4 C．10＋4＋2 D．4 [解析]　如圖，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐S－ABCD.連接AC，因?yàn)锳C＝＝2，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD為等腰三角形，△SCB為直角三角形．過D作DK⊥SC于點(diǎn)K，

23、則DK＝＝，△SCD的面積為××2＝2，△SBC的面積為×2×4＝4.所求幾何體的表面積為×(2＋4)×2＋2××2×2＋4＋2＝10＋4＋2，選C. [答案]　C 8．(2018·河南濮陽二模)已知三棱錐A－BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A－BD－C為直二面角，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為(　　) A. B．5π C．6π D. [解析]　取BD中點(diǎn)M，連接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分點(diǎn)P，Q，過P作面ABD的垂線，過Q作面CBD的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝，連接OC，則

24、外接球的半徑R＝OC＝，表面積為4πR2＝，故選D. [答案]　D 9．(2018·廣東揭陽一模)某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積為(　　) A．4π＋16 B．2(＋2)π＋16 C．4π＋8 D．2(＋2)π＋8 [解析]　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)棱長為2的正方體和一個(gè)底面半徑為、高為1的圓柱的組合體，其表面積S表＝5×22＋2π··1＋2π·()2－22＝2(＋2)π＋16.故選B [答案]　B 10．(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為(　　)

25、 A．64－ B．64－8π C．64－ D．64－ [解析]　由三視圖可知該幾何體是由棱長為4的正方體截去個(gè)圓錐和個(gè)圓柱所得到的，且圓錐的底面半徑為2，高為4，圓柱的底面半徑為2，高為4，所以該幾何體的體積為43－＝64－.故選C. [答案]　C 11．(2018·湖南十三校聯(lián)考)三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如下圖所示，則該三棱錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．32π B.π C.π D.π [解析]　設(shè)外接球的半徑為r，球心為O.由正視圖和側(cè)視圖可知，該三棱錐S－ABC的底面是邊長為4的正三角形．所以球心O一定在△ABC的外心

26、上方．記球心O在平面ABC上的投影點(diǎn)為點(diǎn)D，所以AD＝BD＝CD＝4××＝，則由題可建立方程 ＋＝4，解得r2＝.所以該三棱錐S－ABC的外接球的表面積S＝4πr2＝π.故選B. [答案]　B 12．(2018·中原名校聯(lián)考)已知A，B，C，D是球O表面上四點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED＝120°，AE＝DE＝，BC＝2，則球O的表面積為(　　) A.π B. C．4π D．16π [解析]　由題意可知△ABC與△BCD都是邊長為2的正三角形，如圖，過△ABC與△BCD的外心M，N分別作面ABC、面BCD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是球心O. 連接O

27、E，可知∠MEO＝∠NEO＝∠AED＝60°， 在Rt△OME中，∠MEO＝60°，ME＝，所以O(shè)E＝2ME＝，連接OB，所以球O的半徑R＝OB＝＝＝，所以球O的表面積為S＝4πR2＝π，故選B. [答案]　B 二、填空題 13．(2018·沈陽質(zhì)檢)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則的值為________． [解析]　如圖，設(shè)S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝. [答案]　

28、14．(2018·寧夏銀川一中模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________． [解析]　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)高為2，底面直徑為2的圓柱被一平面從上底面最右邊緣斜向下45°切開所剩下的幾何體，其體積為對(duì)應(yīng)的圓柱的體積的一半，即V＝×π×12×2＝π.故答案為π. [答案]　π 15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長的棱長為________． [解析]　依題意知，幾何體是如圖所示的三棱錐A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，點(diǎn)C到直線BD的距離為，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，所以該幾何體最長的棱長為2. [答案]　2. 16．(2018·廈門一模)如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖， 則該幾何體的表面積為________． [解析]　該幾何體為一個(gè)長方體從正上方挖去一個(gè)半圓柱剩下的部分，長方體的長、寬、高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側(cè)＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26. [答案]　26 28