2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何學(xué)案 理

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1、專題五 解析幾何 [全國卷3年考情分析] 第一講 小題考法——直線與圓 考點(一) 直線的方程 主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個距離公式的應(yīng)用. [典例感悟] [典例]　(1)“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充要條件　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 (2)過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為(　　) A．y＝2 B．4x－3y＋2＝0 C．x＝2 D．y＝2或4x－3y＋2＝

2、0 [解析]　(1)因為兩直線平行，所以2×2－ab＝0，可得ab＝4，必要性成立，又當(dāng)a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，充分性不成立，故選C. (2)由得∴l(xiāng)1與l2的交點為(1,2)．當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，顯然不滿足題意． 當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)該直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵點P(0,4)到直線的距離為2， ∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案]　(1)C　(2)D [方法技巧] 直線方程問題的2個關(guān)注點 (1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝

3、0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況． (2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況． [演練沖關(guān)] 1．(2018·洛陽模擬)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：nx＋y－p＝0，則“m＋n＝0”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C?、偃鬽＋n＝0，當(dāng)m＝n＝0時，直線l1：x－1＝0與直線l2：y－p＝0互相垂直；當(dāng)m＝－n≠0時，直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－n，∵－·(－n)＝－

4、·m＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.②當(dāng)l1⊥l2時，若m＝0，l1：x－1＝0，則n＝0，此時m＋n＝0；若m≠0，則－·(－n)＝－1，即－n＝m，有m＋n＝0.故選C. 2．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2間的距離d＝＝. 3．直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點A(1,0)對稱，則b＝________. 解析：因為兩直線關(guān)于點

5、A(1,0)對稱，在直線x＋2y－3＝0上取兩點M(1,1)，N(5，－1)，M，N關(guān)于點A(1,0)對稱的點分別為M′(1，－1)，N′(－3,1)，則M′(1，－1)，N′(－3,1)都在直線ax＋4y＋b＝0上，即解得a＝b＝2. 答案：2 考點(二) 圓 的 方 程 主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題. [典例感悟] [典例]　(1)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋

6、y＋3＝0相切，則圓C的方程為____________________． [解析]　(1)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∴∴ ∴△ABC外接圓的圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點的距離為 ＝. (2)易知直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)， 即圓C的圓心坐標為(－1,0)． 因為直線x＋y＋3＝0與圓C相切， 所以圓心(－1,0)到直線x＋y＋3＝0的距離等于半徑r，即r＝＝， 所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. [答案]　(1)B　(2)(x＋1)2＋y2＝2 [方法技巧] 圓的方程的2種求法 待定系

7、 數(shù)法 ①根據(jù)題意，選擇方程形式(標準方程或一般方程)； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組； ③解出a，b，r或D、E、F，代入所選的方程中即可 幾何法 在求圓的方程過程中，常利用圓的一些性質(zhì)或定理直接求出圓心和半徑，進而可寫出標準方程．常用的幾何性質(zhì)有： ①圓心在過切點且與切線垂直的直線上； ②圓心在任一弦的中垂線上； ③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心在一條直線上 [演練沖關(guān)] 1．(2018·長沙模擬)與圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋

8、(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選D　圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可．由題意知已知圓的圓心坐標為(2,0)，半徑為2，設(shè)所求圓的圓心坐標為(a，b)， 則解得 所以所求圓的圓心坐標為(1，)，半徑為2. 從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4. 2．(2018·廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標準方程是________________． 解析：拋物線x2＝4y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，因為該圓與直

9、線y＝x＋3相切，所以r＝＝，故該圓的標準方程是x2＋(y－1)2＝2. 答案：x2＋(y－1)2＝2 3．(2018·惠州調(diào)研)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為________________． 解析：設(shè)圓心坐標為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.綜上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圓心坐標為(2,1)，圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2

10、＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________． 解析：由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2≠0，解得a＝2或－1.當(dāng)a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圓；當(dāng)a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心坐標為(－2，－4)，半徑是5. 答案：(－2，－4)　5 考點(三) 直線與圓的位置關(guān)系 主要考查直線與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決弦長問題、參數(shù)問題或與圓有關(guān)的最值范圍問題.

11、 [典例感悟] [典例]　(1)(2019屆高三·齊魯名校聯(lián)考)已知圓x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0，當(dāng)圓的面積最小時，直線y＝x＋b與圓相切，則b＝(　　) A．±1　　　　　　　　 B．1 C．± D. (2)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] (3)已知點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運動，則的最大值與最小值分別為________． [解析]　(1)由題意可知，圓x2－2x＋y2－2

12、my＋2m－1＝0化為標準形式為(x－1)2＋(y－m)2＝m2－2m＋2，圓心為(1，m)，半徑r＝，當(dāng)圓的面積最小時，半徑r＝1，此時m＝1，即圓心為(1,1)，由直線和圓相切的條件可知＝1，解得b＝±.故選C. (2)設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|·dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取

13、值范圍是[2,6]． (3)設(shè)＝k，則k表示點P(x，y)與點A(2,1)連線的斜率．當(dāng)直線PA與圓相切時，k取得最大值與最小值．設(shè)過(2,1)的直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由＝1，解得k＝±. [答案]　(1)C　(2)A　(3)，－ [方法技巧] 1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的大小關(guān)系． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式

14、．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算． 2．與圓有關(guān)最值問題的求解策略 處理與圓有關(guān)的最值問題時，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問題，常見類型及解題思路如下： 常見類型 解題思路 圓的面積最小問題 轉(zhuǎn)化為求半徑最小問題 圓上的點到圓外的點(直 線)的距離的最值 應(yīng)先求圓心到圓外的點(直線)的距離，再加上半徑或減去半徑求得最值 μ＝型 轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題 t＝ax＋by型 轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2

15、型 轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題 [演練沖關(guān)] 1．(2018·寧夏銀川九中模擬)直線l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圓C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一條對稱軸，過點A(0，k)作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長為(　　) A. B. C. D．2 解析：選C　圓C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝2，表示以C(－2,2)為圓心，為半徑的圓．由題意可得，直線l：kx＋y＋4＝0經(jīng)過圓心C(－2,2)，所以－2k＋2＋4＝0，解得k＝3，所以點A(0,3)，故直線m的方程為y＝x＋3，即x－y＋3＝0，則圓心C到直線m

16、的距離d＝＝，所以直線m被圓C所截得的弦長為2× ＝.故選C. 2．(2018·江蘇蘇州二模)已知直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，傾斜角為2α的直線l2與圓M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C兩點，其中A(－1,0)，B，D在圓M上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積的最大值是________． 解析：由題意知，tan α＝，則tan 2α＝＝. 直線l2過點A(－1,0)，則l2：y＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0， 又A是圓M上的點，則(－1)2＋2×(－1)＋F＝0，得F＝1， 圓M的標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓心M(－1,1)， 其到

17、l2的距離d＝＝. 則|AC|＝2＝. 因為B，D兩點在圓上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，如圖所示，當(dāng)BD垂直平分AC(即BD為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，此時AC，BD相交于點E，則最大面積S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|BD|＝××2＝. 答案： 3．(2018·廣西桂林中學(xué)5月模擬)已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，則當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標為_________

18、___． 解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝.因為|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當(dāng)PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，則解得故當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標為. 答案： [必備知能·自主補缺]　依據(jù)學(xué)情課下看，針對自身補缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干 [主干知識要記牢] 1．直線方程的五種形式 點斜式 y－y1＝k(

19、x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 斜截式 y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 兩點式 ＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標軸和平行于坐標軸的直線) 截距式 ＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線) 一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0) 2．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝. (2)

20、兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. 3．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))． 4．直線與圓位置關(guān)系的判定方法 (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切． (2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d

21、相交，d>r?相離，d＝r?相切． 5．圓與圓的位置關(guān)系 已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則 (1)當(dāng)|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離； (2)當(dāng)|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切； (3)當(dāng)|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交； (4)當(dāng)|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內(nèi)切； (5)當(dāng)0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內(nèi)含． [二級結(jié)論要用好] 1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2

22、B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. [針對練1]　若直線l1：mx＋y＋8＝0與l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，則m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1 2．若點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則圓過該點的切線方程為：x0x＋y0y＝r2. [針對練2]　過點(1，)且與圓x2＋y2＝4相切的直線l的方程為____________． 解析：∵點(1，)在圓x2＋y2＝4上， ∴切線方程為x＋y＝4，即x＋y－4＝0. 答案：x＋y－4

23、＝0 [易錯易混要明了] 1．易忽視直線方程幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等設(shè)方程時，未討論截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，未討論斜率不存在的情況直接將過定點P(x0，y0)的直線設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等． [針對練3]　已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為__________________． 解析：當(dāng)截距為0時，直線方程為5x－y＝0； 當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為＋＝1，代入P(1,5)，得a＝6， ∴直線方程為x＋y－6＝0. 答案：5x－y＝0或x＋y－6＝0 2．討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于

24、零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直，若一條直線的斜率不存在，則另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免討論． [針對練4]　已知直線l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，則t的值為________． 解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1. 答案：－1或1 3．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解． [針對練5]　兩平行直線3x＋4y－5＝

25、0與6x＋8y＋5＝0間的距離為________． 解析：把直線6x＋8y＋5＝0化為3x＋4y＋＝0，故兩平行線間的距離d＝＝. 答案： 4．易誤認為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解． [針對練6]　已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0相切，則m＝________. 解析：由x2＋y2－2x－6y－1＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，由x2＋y2－10x－12y＋m＝0，得(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.當(dāng)兩圓外切時，有＝＋，解得m＝25＋10；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有＝，解得m＝25－10. 答案：25±10 A

26、級——12＋4提速練 一、選擇題 1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為(　　) A．－　　　　　　　　 B．0 C．－或0 D．2 解析：選C　由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝0或a＝－時均有l(wèi)1∥l2，故選C. 2．(2018·貴陽模擬)經(jīng)過三點A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圓的面積S＝(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：選D　法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將A(－

27、1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐標代入圓的方程可得解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－3，所以圓的方程為x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，所以圓的半徑r＝2，所以S＝4π.故選D. 法二：根據(jù)A，B兩點的坐標特征可知圓心在直線x＝1上，設(shè)圓心坐標為(1，a)，則r＝＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以S＝4π，故選D. 3．已知圓(x－1)2＋y2＝1被直線x－y＝0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 解析：選A　(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d＝＝，所以較短弧

28、所對的圓心角為，較長弧所對的圓心角為，故兩弧長之比為1∶2，故選A. 4．(2018·山東臨沂模擬)已知直線3x＋ay＝0(a>0)被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則a的值為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：選B　由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為，即＝，得a＝. 5．(2018·鄭州模擬)已知圓(x－a)2＋y2＝1與直線y＝x相切于第三象限，則a的值是(　　) A. B．－ C．± D．－2 解析：選B　依題意得，圓心(a,0)到直線x－y＝0的距離等于半徑，即有＝1，|a|＝.又切點位于第三象限，結(jié)

29、合圖形(圖略)可知，a＝－，故選B. 6．(2018·山東濟寧模擬)已知圓C過點A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線x＋y＝4上，若直線x＋2y－t＝0與圓C相切，則t的值為(　　) A．－6±2 B．6±2 C．2±6 D．6±4 解析：選B　因為圓C過點A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線y＝x上，又圓心C在直線x＋y＝4上，聯(lián)立解得x＝y(tǒng)＝2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r＝＝2.又直線x＋2y－t＝0與圓C相切，所以＝2，解得t＝6±2. 7．若過點A(1,0)的直線l與圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q兩點，線段PQ的中點

30、為M，l與直線x＋2y＋2＝0的交點為N，則|AM|·|AN|的值為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選B　圓C的方程化成標準方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圓心C(3,4)，半徑為2，則可設(shè)直線l的方程為kx－y－k＝0(k≠0)，由得N，又直線CM與l垂直，得直線CM的方程為y－4＝－(x－3)． 由 得M， 則|AM|·|AN|＝·＝××＝6.故選B. 8．(2019屆高三·湘東五校聯(lián)考)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選B　圓(x－3

31、)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B. 9．圓x2＋y2＝1上的點到直線3x＋4y－25＝0的距離的最小值為(　　) A．4 B．3 C．5 D．6 解析：選A　易知圓x2＋y2＝1的圓心坐標為(0,0)，半徑為1，圓心到直線3x＋4y－25＝0的距離d＝＝5，所以圓x2＋y2＝1上的點到直線3x＋4y－25＝0的距離的最小值為5－1＝4. 10．(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)若過點A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點，則直線l斜率的取值

32、范圍為(　　) A．(－，) B．[－， ] C. D. 解析：選D　數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)到直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即≤1，解得－≤k≤，故選D. 11．在平面直角坐標系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2－|PB|2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點P的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　設(shè)P(x，y)，則由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求滿足條件的點P的個數(shù)即為求直線與圓的交點個數(shù)

33、，圓心到直線的距離d＝＝＜2＝r，所以直線與圓相交，交點個數(shù)為2.故滿足條件的點P有2個． 12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－2)，點B(1，－1)，P為圓x2＋y2＝2上一動點，則的最大值是(　　) A．1 B．3 C．2 D. 解析：選C　設(shè)動點P(x，y)，令＝t(t>0)，則＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*) 易知當(dāng)1－t2≠0時，(*)式表示一個圓，且動點P在該圓上， 又點P在圓x2＋y2＝2上，所以點P為兩圓的公共點，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線l的方程為x－(1－2t2)y－2＋3t

34、2＝0， 所以圓心(0,0)到直線l的距離d＝≤，解得0

35、故a＝3. 答案：3 15．過點M的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時，直線l的方程為____________________． 解析：易知當(dāng)CM⊥AB時，∠ACB最小，直線CM的斜率為kCM＝＝－2，從而直線l的斜率為kl＝－＝，其方程為y－1＝，即2x－4y＋3＝0. 答案：2x－4y＋3＝0 16．(2018·南寧、柳州模擬)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于________． 解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|O

36、B|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan 150°＝－. 答案：－ B級——難度小題強化練 1．(2018·重慶模擬)已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝kx，其中k為[－，]上的任意一個數(shù)，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　當(dāng)直線l與圓C相離時，圓心C到直線l的距離d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－

37、，]，所以－≤k<－1或1

38、設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，此時方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B. 3．(2018·安徽黃山二模)已知圓O：x2＋y2＝1，點P為直線＋＝1上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因為點P是直線＋＝1上的一動點，所以設(shè)P(4－2m，m)． 因為PA，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，所以點A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即

39、弦AB是圓O和圓C的公共弦． 因為圓心C的坐標是，且半徑的平方r2＝，所以圓C的方程為(x－2＋m)22＝，① 又x2＋y2＝1，② 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直線方程為(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直線AB過定點.故選B. 4.(2018·南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則cos∠AOB＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D　法一：因為圓x2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝＝，所以弦長|AB|＝

40、2＝2.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 法二：取AB的中點D，連接OD(圖略)，則OD⊥AB，且∠AOB＝2∠AOD，又圓心到直線的距離d＝＝，即|OD|＝，所以cos∠AOD＝＝，故cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝2×2－1＝－. 5．已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在兩點關(guān)于直線l：x＋my＋1＝0對稱，經(jīng)過點M(m，m)作圓C的切線，切點為P，則|MP|＝________. 解析：圓C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圓心坐標為C(1,2)，半徑r＝2，因為圓上存在兩點關(guān)于直線l對稱，所以直線l：x＋my＋1＝0過點(1,2)，所以1＋2m＋

41、1＝0，得m＝－1，所以M(－1，－1)，|MC|2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r2＝4，所以|MP|＝＝3. 答案：3 6．(2019屆高三·湘中名校聯(lián)考)已知m>0，n>0，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是____________． 解析：因為m>0，n>0，直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圓心C(1,1)到直線的距離d＝＝1，即|m＋n|＝，兩邊平方并整理得m＋n＋1＝mn≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范圍為

42、[2＋2，＋∞)． 答案：[2＋2，＋∞)第二講 小題考法——圓錐曲線的方程與性質(zhì) 考點(一) 圓錐曲線的定義與標準方程 　主要考查圓錐曲線的定義及其應(yīng)用、標準方程的求法. [典例感悟] [典例]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2018·重慶模擬)已知點F是拋物線y2＝4x的焦點，P是該拋物線上任意一點，M(5,3)，則|PF|＋|PM|的最小值是(　　) A．6 B．5

43、 C．4 D．3 (3)(2018·湖北十堰十三中質(zhì)檢)一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [解析]　(1)根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝x，可知＝.① 又橢圓＋＝1的焦點坐標為(3,0)和(－3,0)， 所以a2＋b2＝9.② 根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5， 所以C的方程為－＝1. (2)由題意知，拋物線的準線l的方程為x＝－1，過點P作PE⊥l于點E，由拋物線的定義，得|PE|＝|PF|，易知當(dāng)P，E，M三點

44、在同一條直線上時，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故選A. (3)設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，由點P(2，)在橢圓上，知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，則＝.又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6，故橢圓的方程為＋＝1. [答案]　(1)B　(2)A　(3)A [方法技巧] 求解圓錐曲線標準方程的思路方法 (1)定型，即確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標準方程． (2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外

45、，當(dāng)焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)． [演練沖關(guān)] 1.(2018·合肥一模)如圖，橢圓＋＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H.若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為(　　) A．20 B．10 C．2 D．4 解析：選D　由F1，H是線段MN的三等分點，得H是F1N的中點，又F1(－c,0)，∴點N的橫坐標為c，聯(lián)立方程，得得N，∴H， M.把點M的坐標代入橢圓方程得＋＝1，化簡

46、得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由橢圓的定義知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周長為|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故選D. 2．(2018·河北五個一名校聯(lián)考)如果點P1，P2，P3，…，P10是拋物線y2＝2x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，x3，…，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________. 解析：由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p>0)上的點P(x0

47、，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10. 答案：10 3.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線交于點A，B，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的標準方程為________________，△BF1F2的面積為________． 解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，得|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a， |F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝

48、36a2＋16a2－2×6a×4a×，化簡得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，則雙曲線的方程為－＝1，△BF1F2的面積為|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8. 答案：－＝1　8 考點(二) 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線　　　的有關(guān)性質(zhì). [典例感悟] [典例]　(1)(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)(2018·全國卷Ⅱ)已知F

49、1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (3)(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________. [解析]　(1)∵e＝＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a. ∴漸近線方程為y＝±x. (2)如圖，作PB⊥x軸于點B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1. 由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|B

50、F2|＝1， 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4， 所以e＝＝. (3)法一：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則∴y－y＝4(x1－x2)， ∴k＝＝. 設(shè)AB中點M′(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M′(x0，y0)為AB中點， ∴M為A′B′的中點， ∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 法二：由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)， 設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，

51、 直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)， ＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90°，得·＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. [答案

52、]　(1)A　(2)D　(3)2 [方法技巧] 1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值；②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． 3．拋物線幾何性質(zhì)問題求解策略 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性，還要注意拋物線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用． [演練沖

53、關(guān)] 1．(2018·長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選C　依題意，設(shè)雙曲線的漸近線y＝x的傾斜角為θ，則由雙曲線的對稱性得3θ＝π，θ＝，＝tan＝，雙曲線C的離心率e＝ ＝2，選C. 2．(2018·福州四校聯(lián)考)已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，直線l過拋物線C的焦點F，且與拋物線的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，且|AB|＝8， M為拋物線C的準線上一點，則△ABM的面積為(　　) A．16 B．18

54、 C．24 D．32 解析：選A　不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，如圖，因為直線l過拋物線C的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直，所以線段AB為通徑，所以2p＝8，p＝4，又M為拋物線C的準線上一點，所以點M到直線AB的距離即焦點到準線的距離，為4，所以△ABM的面積為×8×4＝16，故選A. 3．(2018·福州模擬)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點．若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題設(shè)知，直線l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB

55、為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線l有公共點，所以≤，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又00，b>0)的左焦點F(－c,0)作圓x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2＝4cx于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　 B.

56、 C.＋1 D. (2)(2018·洛陽模擬)已知F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝(　　) A．16 B．4 C. D. (3)(2018·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4,1)，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)拋物線y2＝4cx的焦點F1(c,0)，準線l：x＝－c，連接PF1和EO(O為坐標原點)，如圖，則|PF1|＝2|EO|＝2a，

57、所以點P到準線l：x＝－c的距離等于2a，所以點P的橫坐標為2a－c，由點P在拋物線y2＝4cx上，得P(2a－c,2)．連接OP，則|OP|＝|OF|＝c，所以(2a－c)2＋[2]2＝c2，解得e＝＝，故選D. (2)因為直線4x－3y－2p＝0過C1的焦點F(C2的圓心)， 故|BF|＝|CF|＝， 所以＝. 由拋物線的定義得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD. 由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故選A. (3)設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，因為AB的中點

58、M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝＝1.由兩式相減得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是橢圓的離心率e＝＝＝，故選C. [答案]　(1)D　(2)A　(3)C [方法技巧] 處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點 (1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等． (2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準線的位置關(guān)系等． [演練沖關(guān)] 1．已知橢圓的短軸長為8，點F1，F(xiàn)

59、2為其兩個焦點，點P為橢圓上任意一點，△PF1F2的內(nèi)切圓面積的最大值為，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　不妨設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，則2b＝8，即b＝4，設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則有S△PF1F2＝(2a＋2c)r＝×2c|yP|，即r＝，當(dāng)點P運動到橢圓短軸的端點時，r有最大值，此時|yP|＝b，于是有＝，即3a＝5c，故橢圓的離心率e＝＝. 2．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　

60、　) A. B．2 C. D. 解析：選C　法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x， 則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b. 在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a， 又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中， 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－， 即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. 法二：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形．因為|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.

61、 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a， 所以e＝＝. 3．(2018·貴陽模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，且傾斜角為60°的直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，則p＝________. 解析：過點A，B向拋物線的準線x＝－作垂線，垂足分別為C，D，過點B向AC作垂線，垂足為E，∵A，B兩點在拋物線上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|. ∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|， ∵直線AB的傾斜角為60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|， 即2

62、(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|. ∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 設(shè)直線AB的方程為y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1. 答案：1 [必備知能·自主補缺]　依據(jù)學(xué)情課下看，針對自身補缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干 [主干知識要記牢] 圓錐曲線的定義、標準方程和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝

63、2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M 標準方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 軸 長軸長2a，短軸長2b 實軸長2a，虛軸長2b 離心率 e＝＝ (01) e＝1 漸近線 y＝±x [二級結(jié)論要用好] 1．橢圓焦點三角形的3個結(jié)論 設(shè)橢圓方程是＋＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P的坐標是(x0，y0)． (1)三角形的三個邊長是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex

64、0，|F1F2|＝2c，e為橢圓的離心率． (2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan . (3)橢圓的離心率e＝. 2．雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論 P(x0，y0)為雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點，△PF1F2為焦點三角形． (1)面積公式 S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)． (2)焦半徑 若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a. 3．拋物線y2＝2px(p>0)

65、焦點弦AB的4個結(jié)論 (1)xA·xB＝； (2)yA·yB＝－p2； (3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. 4．圓錐曲線的通徑 (1)橢圓通徑長為； (2)雙曲線通徑長為； (3)拋物線通徑長為2p. 5．圓錐曲線中的最值 (1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(長軸長)． (2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)． (3)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離． (4)拋物線上的點中頂點到拋物線準線的距離最短． [易錯易混要明了] 1．利用橢圓、雙曲線的

66、定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． [針對練1]　△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________________． 解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過點P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6. 根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． 答案：－＝1(x>3) 2．解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點的位置． [針對練2]　若橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為________． 解析：當(dāng)焦點在x軸上時，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4. 當(dāng)焦點在y軸上時，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝＝＝＝，解得k＝－.