2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何學(xué)案 理

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1、 第七章 立體幾何 第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖 1．簡單幾何體 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 棱錐 棱臺 圖形 底面 互相平行且相等 多邊形 互相平行 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點 側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形 (2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 圖形 母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)

2、 2．直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 3．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． 說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖． (2)作、看三視圖的3原則 ①位置原則： ②度量原則：長對正、

3、高平齊、寬相等(即正俯同長、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬)． ③虛實原則：輪廓線——現(xiàn)則實、隱則虛． 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(　　) (4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．(　　) (5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如

4、圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B. 3．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為(　　) A．2,2　　　　　　　 　B．2，2 C．4,2 D．2,4 解析：選D　由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長為4，故選D. 4．(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______． 答案：五棱柱　三棱柱 5．利用斜二測畫法得到

5、的 ①三角形的直觀圖一定是三角形； ②正方形的直觀圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀圖一定是菱形． 以上結(jié)論正確的個數(shù)是________． 解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤，故結(jié)論正確的個數(shù)為1. 答案：1 　　　　 [考什么·怎么考] 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)知識，很少單獨考查.多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低. 1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個

6、幾何體一定是(　　) A．圓柱　　　　　　　　 　B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．給出下列幾個命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、馘e誤，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相

7、等． 3．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直

8、角三角形． 答案：②③④ [怎樣快解·準(zhǔn)解] 空間幾何體概念辨析題的常用方法 定義法 緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進行判定． 反例法 通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反例即可. 　　　　 [考什么·怎么考] 單獨考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低. 1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(　　) 解析：選A　由直觀圖可知，在直觀圖中多邊

9、形為正方形，對角線長為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2.故選A. 2．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________． 解析：如圖，圖①、圖②分別表示△ABC的實際圖形和直觀圖． 從圖②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝. 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝. 答案： 3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為________ cm2. 解析：依

10、題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 答案：8 [怎樣快解·準(zhǔn)解] 1．原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變” (1)“三變” (2)“三不變” 2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系： (1)S直觀圖＝S原圖形；(2)S原圖形＝2S直觀圖． 　　　　 [題點全練] 角度(一)　已知幾何體，識別三視圖 1.(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用過點A，E

11、，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選C　如圖所示，過點A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C中的圖形． [題型技法]　識別三視圖的步驟 (1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置； (2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖； (3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置． 角度(二)　已知三視圖，判斷幾何體 2．(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則

12、該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3　　　　　　　　　 　B．2 C．2 D．2 解析：選B　在正方體中還原該四棱錐如圖所示， 從圖中易得最長的棱為 AC1＝＝＝2. [題型技法]　由三視圖確定幾何體的3步驟 熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問題： 角度(三)　已知幾何體三視圖中的某兩個視圖，確定另外一個視圖 3．如圖，一個三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個三棱柱的俯視圖為(　　) 解析：選D　由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個水平放置的正三棱柱．故選D. [

13、題型技法]　 由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法 解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢驗． [題“根”探求] 根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，常見的有以下幾類 三視圖的形狀 對應(yīng)的幾何體 三個三角形 三棱錐 兩個三角形，一個四邊形 四棱錐 兩個三角形，一個圓 圓錐 一個三角形，兩個四邊形 三棱柱 三個四邊形 四棱柱 兩個四邊形，一個圓 圓柱 [沖關(guān)演練] 1．(2018·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得

14、到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 解析：選B　從幾何體的左側(cè)看，對角線AD1在視線范圍內(nèi)，故畫為實線，右側(cè)面的棱C1F不在視線范圍內(nèi)，故畫為虛線，且上端點位于幾何體上底面邊的中點．故選B 2.(2018·石家莊質(zhì)檢)一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為(　　) 解析：選D　由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D. 3.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干

15、個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　　　　　　　　　 　B．12 C．14 D．16 解析：選B　由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為×2＝12，故選B. (一)普通高中適用作業(yè) A級——基礎(chǔ)小題練熟練快 1.如圖，△A′B′O′是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖，已知A′B′∥y′軸，O′B′＝4，且△ABO的面積為16，過A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長為(　　

16、) A．2　　　　　　　　 　B. C．16 D．1 解析：選A　因為A′B′∥y′軸，所以△ABO中，AB⊥OB. 又因為△ABO的面積為16，所以AB·OB＝16. 因為OB＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4. 因為A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′， 所以A′C′＝4·sin 45°＝2，故選A. 2．一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 解析：選B　由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內(nèi)部是一條水平線段連接兩個三角形，故選B. 3．若某幾何體的三視

17、圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 解析：選D　由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱．故選D. 4.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個三棱錐與半個圓錐的組合體，故側(cè)視圖為D. 5.如圖，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：選A　根據(jù)題意，三棱錐P -BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的

18、底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1. 6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是(　　) A．2 B. C. D．3 解析：選D　根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體積V＝××2×x＝3，解得x＝3，故選D. 7．設(shè)有以下四個命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點． 其中真命題的序號是________．

19、 解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的． 答案：①④ 8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為________cm. 解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C. 在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 9．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長為2，則該棱錐的高為

20、________． 解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高． 因為底面面積為16，所以AO＝2. 因為一條側(cè)棱長為2. 所以VO＝＝＝6. 所以正四棱錐V-ABCD的高為6. 答案：6 10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖

21、為如圖所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1，當(dāng)選擇的4個點是B1，B，C，C1時，可知①正確；當(dāng)選擇的4個點是B，A，B1，C時，可知②正確；易知③不正確． 答案：①② B級——中檔題目練通抓牢 1．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選C　畫出直觀圖可知，共需要6塊． 2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由長方體

22、ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐B1-A1BC1得到的，故其側(cè)視圖為選項B. 3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面中面積最大的是(　　) A．3 B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝，PM＝3，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個側(cè)面中面積最大的是6. 4．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為________． 解析：由

23、題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形． 答案：4 5.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于________ m. 解析：把圓錐側(cè)面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形， 由題意OP＝4，PP′＝4， 則cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝. 設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝×4，所以r＝. 答案： 6．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯

24、視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. 7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝

25、＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. C級——重難題目自主選做 1．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是(　　) A．圓弧 B．拋物線的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分 解析：選D　根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D. 2.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線

26、的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：選D　由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)．故選D. (二)重點高中適用作業(yè) A級——保分題目巧做快做 1.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)

27、家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是(　　) 解析：選B　根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B. 2.已知點E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點，點M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P-MNQ的俯視圖不可能是(　　)

28、 解析：選C　當(dāng)M與F重合，N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點時，三棱錐P-MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點位置時，存在三棱錐P-MNQ，使其俯視圖為D.故選C. 3.已知一個三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為(　　) 解析：選C　由已知條件得直觀圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C. 4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖

29、的直觀圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為(　　) A．48　　　　　　　　 　B．64 C．96 D．128 解析：選C　由題意可知該幾何體是一個直四棱柱，∵它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2， ∴它的俯視圖是邊長為6的菱形，∵棱柱的高為4， 故該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96. 5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面中面積最大的是(　　) A．3　　　　　　　　　　 　B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點

30、N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝，PM＝3，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個側(cè)面中面積最大的是6. 6．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為________cm. 解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C. 在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 7．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為_____

31、___． 解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形． 答案：4 8.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于________ m. 解析：把圓錐側(cè)面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形， 由題意OP＝4，PP′＝4， 則cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝. 設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝×4，所以r＝. 答案： 9.如圖是一個幾何體的正

32、視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積； (3)求出該幾何體的體積． 解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐． (2)其側(cè)視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝a， ∴該平面圖形的面積 S＝·a·a＝a2. (3)V＝×6×a2×a＝a3. 10．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝

33、2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做 1．(2018·邵陽模擬)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長度最長的棱的長是(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．2 C．2 D．4 解析：選C　由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示． 其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，邊AC上的高為2，所以BC＝＝2，AB＝＝4，而PB＝＝＝2，PC＝＝2，因此在四面體的六條棱中，長度最長的是BC，其長為2，選C. 2．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是(　　) A．圓弧

34、 B．拋物線的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分 解析：選D　根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D. 3.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：選D　由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平

35、面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)．故選D. 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為________． 解析：由三視圖知三棱錐如圖所示， 底面ABC是直角三角形，AB⊥BC， PA⊥平面ABC，BC＝2， PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2， 因此xy＝x ＝x≤＝64，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝128－x2，即x＝

36、8時取等號，因此xy的最大值是64. 答案：64 5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. 6．四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面

37、分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體ABCD的體積； (2)證明：四邊形EFGH是矩形． 解：(1)由題意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∵BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝. (2)證明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥EH. 同理，EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC， ∴EF⊥FG，∴四邊

38、形EFGH是矩形． 第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請

39、在括號中打“√”或“×”) (1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(　　) (2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．(　　) (4)球的體積之比等于半徑之比的平方．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　) A.π　　　　　　　　 　B.π C．16π D．24π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個球的體積為πR3＝π. 3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該

40、幾何體的表面積為(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 4．(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3. 答案：3

41、5．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為________． 解析：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1. ∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1. 答案：1 　　　　 空間幾何體的表面積在高考中的考查多以三視圖的形式給出，考查的載體多為柱體、錐體、球和簡單組合體.題型為選擇題或填空題，難度中等. 求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何問題的主要出發(fā)點. [典題領(lǐng)悟] 1

42、．(2016·全國卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36　　　　　　　 　B．54＋18 C．90 D．81 解析：選B　由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18. 2.(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選B　

43、如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2. 又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故選B. [解題師說] 1．三類幾何體表面積的求法 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系 求不規(guī)則幾何體的表面積時 通常將所給幾何體分割成基本的

44、柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積 2．避免兩類失誤 (1)因?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)，混淆幾何體側(cè)面的邊長與三視圖中有關(guān)數(shù)據(jù)的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯誤．一定要熟記三視圖中的數(shù)據(jù)反應(yīng)的是空間幾何體的長、寬、高，而不一定是空間幾何體的棱長．(如典題領(lǐng)悟第1題，易誤認(rèn)為側(cè)棱長為6而導(dǎo)致解題錯誤) (2)在審視組合體的圖形時，圖形結(jié)構(gòu)特征審視不準(zhǔn)致誤．(如典題領(lǐng)悟第2題中的幾何體是一個半球和一個半圓柱的組合體，求表面積時，應(yīng)去掉兩幾何體的接觸面) [沖關(guān)演練] 1．(2018·沈陽質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實

45、線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積是(　　) A．36＋6 B．36＋3 C．54 D．27 解析：選A　由三視圖知該幾何體的表面積為S＝2××(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×＝36＋6. 2．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．4π＋96 B．(2＋6)π＋96 C．(4＋4)π＋64 D．(4＋4)π＋96 解析：選D　由三視圖知，該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S＝6×4

46、2＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96. 3．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為(　　) A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 解析：選D　由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2×4×2＝16，兩個底面面積之和為2××2×＝2；半圓柱的側(cè)面積為π×4＝4π，兩個底面面積之和為2××π×12＝π，所以幾何體的表面積為5π＋16＋2，故選D. 　　　　 高考中空間幾何體體積的考查是幾何體相關(guān)問題中出現(xiàn)頻率較高

47、的，主要考查由三視圖求相關(guān)幾何體的體積.高考中主要以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等. [典題領(lǐng)悟] 1．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π　　　　　　　　 　B．63π C．42π D．36π 解析：選B　法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－×π×32×6＝63π. 法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一

48、半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π. 2．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 解析：選A　由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長為的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V＝××π×12×3＋××××3＝＋1. 3．(2017·山東高考)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 解析：該幾何

49、體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成， 故該幾何體的體積V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 答案：2＋ [解題師說] 1．處理體積問題的思路 2．求體積的常用方法 直接法 對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算． 割補法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算． 等體積法 選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換. [沖關(guān)演練] 1．(2017

50、·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：選D　如圖，把三棱錐A-BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5,3,4，△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A-BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝××5×3×4＝10. 2．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋π　　　　　　 　B.＋π C.＋π D．1＋π 解析：選C　由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1＋×

51、×3＝＋π. 3．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：選A　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝×2×1×1＋××2×1×1＝. 　　　 [題點全練] 角度(一)　球與柱體的切、接問題 1．已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 =12，則球O的半徑為( ) A.　　　　　　　 　B．2 C. D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的

52、垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 2.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設(shè)球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以＝＝. 答案： 角度(二)　球與錐體的切、接問題 3．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為(　　) A. B.－1 C. D.－1 解析：選D　

53、如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE， ∵△ABC是正三角形， ∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心． ∵AB＝2， ∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝. ∴S表＝3××2×＋3＝3＋3. ∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝×3×1＝. 設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐， 則r＝＝－1. 4．(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S -ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S -ABC的體積為9，則球O的表面積為______

54、__． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點O為SC的中點， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO ＝××AO， 即9＝××R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π. 答案：36π [題“根”探求] 1．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是： 2．有

55、關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切球計算問題的常用結(jié)論 (1)球(半徑為R)與正方體(設(shè)棱長為a)有以下三種特殊情形： ①球內(nèi)切于正方體，此時2R＝a； ②球與正方體的棱相切，此時2R＝a； ③球外接于正方體，此時2R＝a. (2)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即＝2R. (3)棱長為a的正四面體，斜高為a，高為a，其外接球的半徑為a，內(nèi)切球的半徑為a. (4)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球： ①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心； ②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可

56、以補形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心． (5)求一個棱錐內(nèi)切球的半徑，可以根據(jù)球心到各個面的距離相等以及棱錐的體積列式得出．也可以先找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決，作截面時主要抓住棱錐過球心的對角面來作． (6)求一個幾何體的外接球的半徑，可以結(jié)合球心到各個頂點的距離相等列式得出． (7)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題，球與多面體的組合通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作截面解題．此類問題在計算時，經(jīng)常用到截面圓．如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝O

57、O′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2. [沖關(guān)演練] 1．(2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________． 解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為. 設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝， 所以這個球的體積為πR3＝×＝. 答案： 2．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于________． 解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，

58、其半徑為r＝＝＝2. 答案：2 3．已知一個四面體的一條邊長為，其余邊長均為2，則此四面體的外接球的半徑為________． 解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖所示，取BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC. ∵AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD. 又∵OA＝OD＝，AD＝， ∴OA2＋OD2＝AD2，∴AO⊥DO， ∴該四面體的外接球的球心在AD的中點E與點O的連線上，設(shè)球心為G，球的半徑為R， 即GA＝GB＝GC＝GD， 又G在線段OE上， ∴AG2－AE2＝EG2，BG2－BO2＝GO2，EO＝EG＋GO， ∴＝＋，解得R＝， 故此四面體的外接

59、球的半徑為. 答案： (一)普通高中適用作業(yè) A級——基礎(chǔ)小題練熟練快 1．(2018·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　) A．48＋π　　　　　　　 　B．48－π C．48＋2π D．48－2π 解析：選A　該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A. 2．如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π

60、 B．18π C．20π D．28π 解析：選A　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π. 3.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛 B．22

61、斛 C．36斛 D．66斛 解析：選B　設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)． 4．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝××1×1×1＝，剩余部分的體積V2＝13－＝.所以＝＝. 5．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是

62、AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a. ∵M是AB上的動點，且易知AB∥平面DFEC，∴點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，距離為a，∴V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝. 6．(2018·廣東五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A

63、.＋1 B. C.＋1 D.＋1 解析：選C　由三視圖可知該幾何體是一個圓柱和半個圓錐的組合體，故其表面積為π＋1＋2π×2＋π＝＋1，故選C. 7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________． 解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝×1＝. 答案： 8．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為_______． 解析：設(shè)圓臺較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.

64、 答案：7 9．一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________． 解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××22×h＝2， ∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12. 答案：12 10.已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，設(shè)O為BD的中點，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面B

65、CD. 又OC＝＝1， ∴V三棱錐A-BCD＝××1＝. 答案： B級——中檔題目練通抓牢 1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 cm，粗線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．2 cm3 B．4 cm3 C．6 cm3 D．8 cm3 解析：選B　由三視圖知幾何體是一個以俯視圖中的直角梯形為底面，高h(yuǎn)＝2 cm的四棱錐．由三視圖中的數(shù)據(jù)得四棱錐的底面面積S＝×(2＋4)×2＝6(cm2)，所以其體積V＝Sh＝×6×2＝4(cm3)． 2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為(　　) A．64－ B．64－ C．6

66、4－16π D．64－ 解析：選A　由三視圖可知，該幾何體是一個正方體中間挖去兩個頂點相接的圓錐，其中，兩個圓錐的體積和是V錐＝Sh＝×π×22×4＝π，∴V＝V正方體－V錐＝43－π＝64－π. 3．(2018·江西七校聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是(　　) A．6π B．12π C．18π D．9π 解析：選C　因為∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補成一個長方體(PA，PE，PF是從同一頂點出發(fā)的三條棱)，則四面體和補全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝＝3，故該球的表面積S＝4πR2＝4π2＝18π. 4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23－××2×2×2－××1×1×1＝. 答案： 5．已知四棱錐P-ABCD的