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1、2022年高三數(shù)學(xué) 2.3函數(shù)的極限(第二課時(shí))大綱人教版選修
課 題
§2.3.2 函數(shù)的極限(二)
教學(xué)目標(biāo)
一、教學(xué)知識點(diǎn)
1.當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限的概念.
2.函數(shù)的左極限.
3.函數(shù)的右極限.
二、能力訓(xùn)練要求
1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限,并會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限.
2.已知函數(shù)的左、右極限,會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右極限.
3.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限的關(guān)系.
三、德育滲透目標(biāo)
1.認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系與區(qū)別,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.
2.要用運(yùn)動(dòng)的、聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.
教學(xué)重點(diǎn)
函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限.
教學(xué)難點(diǎn)
2、函數(shù)在一點(diǎn)處的極限的概念的理解,以及與函數(shù)的左、右極限之間的關(guān)系.要與函數(shù)的第一類極限即自變量趨向于無窮大區(qū)別開.
教學(xué)方法
建構(gòu)主義方法,讓學(xué)生在做中學(xué).
教具準(zhǔn)備
幻燈片三張
第一張:兩類極限的區(qū)別(記作§2.3.2 A).
第二張:函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的值的關(guān)系(記作§2.3.2 B).
第三張:函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限的關(guān)系(記作§2.3.2 C).
教學(xué)過程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
[師]上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了當(dāng)x趨向于∞即x→∞時(shí),函數(shù)f(x)的極限.當(dāng)x趨向于∞時(shí),函數(shù)f(x)的值就無限趨近于某個(gè)常數(shù)a.我們可以把∞看成數(shù)軸上的一個(gè)特殊的點(diǎn),那么如
3、果對于數(shù)軸上的一般的點(diǎn)x0,當(dāng)x趨向于x0時(shí),函數(shù)f(x)的值是否會(huì)趨近于某個(gè)常數(shù)a呢?先看幾個(gè)具體的例子.
Ⅱ.講授新課
(一)舉例
[師]我們要考慮當(dāng)x無限趨近于2時(shí),函數(shù)y=x2的變化趨勢,可以有哪些方法呢?
[生]畫圖和列表.
[板書]1.y=x2,當(dāng)x→2時(shí).(如圖2-21)
圖2-21
列表如下:
x
1.5
1.9
1.99
1.999
1.9999
1.99999
…
y=x2
2.25
3.61
3.96
3.996
3.9996
3.99996
…
|y-4|
1.75
0.39
0.04
0.004
0.000
4、4
0.00004
…
x
2.5
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
…
y=x2
6.25
4.41
4.04
4.004
4.0004
4.00004
…
|y-4|
2.25
0.41
0.04
0.004
0.0004
0.00004
…
x
2.1
1.9
2.01
1.999
2.0001
1.99999
…
y=x2
4.41
3.61
4.04
3.996
4.0004
3.99996
…
|y-4|
0.41
0.39
0.04
0.004
0.0
5、004
0.00004
…
[結(jié)論](1)x從表示2的點(diǎn)的左邊無限趨近于2,|y-4|的值無限趨近于0,即y=x2的值無限趨近于4.
(2)x從表示2的點(diǎn)的右邊無限趨近于2,則|y-4|的值無限趨近于0,即y=x2的值無限趨近于4.
(3)x從表示2的點(diǎn)的兩側(cè)交錯(cuò)地?zé)o限趨近于2,則|y-4|的值無限趨近于0,即y=x2的值無限趨近于4.
2.(x∈R,x≠1).
[師]考慮x無限趨近于1但不等于1時(shí),函數(shù)的變化趨勢,只用圖象,寫出結(jié)論.
圖2-22
(學(xué)生板演)圖2-22.
[結(jié)論](1)x從1的左邊無限趨近于1,則的值無限趨近于2.
(2)x從1的右邊無限趨近于1
6、,則的值無限趨近于2.
(3)x從1的兩側(cè)交錯(cuò)地?zé)o限趨近于1,則的值無限趨近于2.
3.分段函數(shù)
當(dāng)x→0時(shí)的變化趨勢.
圖2-23
(學(xué)生板演)圖2-23.
[結(jié)論](1)x從0的左邊無限趨近于0,則y的值無限趨近于-1.
(2)x從0的右邊無限趨近于0,則y的值無限趨近于1.
(二)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限
1.當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0(但x不等于x0)時(shí),如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說當(dāng)x趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限是a,記作x0f(x)=a或當(dāng)x→x0時(shí),f(x)→a.f(x)叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的極限.
2.如果當(dāng)x從點(diǎn)x=
7、x0左側(cè)(即x<x0)無限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左極限,記作f(x)=a.
3.如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0右側(cè)(即x>x0)無限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右極限,記作f(x)=a.
4.常數(shù)函數(shù)f(x)=C在點(diǎn)x=x0處的極限有f(x)=C(分別給出幻燈片A、B、C).
[注意](1)第一類函數(shù)極限f(x)中的自變量x是無限趨近于∞;第二類函數(shù)極限f(x)中的自變量x是無限地趨近于一個(gè)點(diǎn)x0.
(2)f(x)中x無限趨近于x0,但不包含x=x0,即x≠x0.所以函數(shù)f(x)的極限a僅與函數(shù)
8、f(x)在點(diǎn)x0附近的函數(shù)值的變化有關(guān),而與函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的值無關(guān).
①點(diǎn)x0可以不屬于函數(shù)f(x)的定義域.
如.
②點(diǎn)x0可以屬于函數(shù)f(x)的定義域,但函數(shù)f(x)的極限與函數(shù)值f(x0)無關(guān).
如
.
(3)是x從x0的兩側(cè)無限趨近于x0,是雙側(cè)極限.
、都是x從x0的單側(cè)無限趨近于x0,是單側(cè)極限.
同樣,是雙側(cè)極限,
、是單側(cè)極限.
.
.
函數(shù)f(x)的左、右極限存在,但它的極限不一定存在.只有當(dāng)左、右極限都存在并且相等時(shí),函數(shù)f(x)的極限才存在并且等于它的左極限(或右極限).
圖2-24
(三)課本例題
當(dāng)時(shí),寫出下列函數(shù)的極限.(學(xué)生
9、板演)
(1)y=x2;
解:.
圖2-25 圖2-26
(2)y=sinx;
解:.
(3)y=x;
解:.
(4)y=5.
解:∵y=5是常數(shù)函數(shù),∴.
(四)精選例題
寫出下列函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)的左、右極限,哪些有極限?
(1)
解:,
,
∴f(x)在x=0處有極限,即.
(2)
解:,
,
∴f(x)在x=0處無極限,即不存在.
(3)f(x)=(x≠-3);
解:,
,
∴f(x)在x=0處有極限,即.
(4)
解:,
不存在,∴f(x)在x=0處無極限,即不存在.
Ⅲ.課堂練習(xí)
1.,討論f(x)在x→0
10、和x→1時(shí)的極限.
解:,
,∵,∴f(x)在x→0時(shí)的極限不存在.
又,,∴且f(1)=1.
2.下列函數(shù)在x=0處的左、右極限各是什么?哪些有極限?(學(xué)生口答)
(1)
[生]在x=0處左極限為1,右極限為0,無極限.
(2)
[生]在x=0處左極限為0,右極限為0,極限為0.
(3).
[生]在x=0處左極限為-1,右極限為1,無極限.
3.已知函數(shù)其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),給出下列判斷:①;②;③;④.其中正確的命題的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:①,②,③,④,.
∴不存在.
綜上所述,只有①③正確.
11、故選B.
答案:B
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了第二類函數(shù)極限.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的極限,左、右極限.要弄清極限與左、右極限的關(guān)系,第一類函數(shù)極限實(shí)質(zhì)上是第二類函數(shù)極限的特例.要學(xué)會(huì)求一些簡單函數(shù)的左、右極限和極限.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)課本P83習(xí)題2.4 2(5)~(8),3.
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:課本P84~P85.
2.預(yù)習(xí)提綱:
(1)預(yù)習(xí)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則,理解極限運(yùn)算與“+、-、×、÷”可交換順序.
(2)預(yù)習(xí)由函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則推出的兩個(gè)式子.
板書設(shè)計(jì)
§2.3.2 函數(shù)的極限(二)
一、幾個(gè)概念
1.f(x)在x=x0處的極限.
2.f(x)在x=x0處的左極限.
3.f(x)在x=x0處的右極限.
4.常數(shù)函數(shù)在x=x0處的極限.
二、舉例
1.y=x2 x→2
畫圖
列表
結(jié)論
2. (x→1)
圖、結(jié)論
3.
圖、結(jié)論
課本例題
課堂練習(xí)
課后作業(yè)