2021中考數(shù)學專題復習 數(shù)學思想方法

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1、 數(shù)學思想方法 數(shù)學思想方法是把知識轉化為能力的橋梁，是解題規(guī)律的總結，是達到以點帶面、觸類旁通、擺脫題海的有效之路.因此我們應抓住臨近中考的這段時間，去研究、歸納、熟悉那些常用的解題方法與技巧，從而為奪取中考高分搭起靈感和智慧的平臺. 初中數(shù)學中的主要數(shù)學思想有整體思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、方程和函數(shù)思想等.由于我們前面各種思想方法均有滲透，故本專題只是側重如下幾個思想方法予以強化. 類型之一 整體思想 例1 (2014·內江)已知+=3，則代數(shù)式的值為 . 【思路點撥】要求分式的值，必須要知道分式中所有字母的取值，從條件看無法

2、解決；觀察分式的結構發(fā)現(xiàn)分子與分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式，所以從條件中找出(a+2b)與ab之間的關系，即可解決問題. 【解答】∵+=3， ∴=3，即a+2b=6ab. ∴====-. 方法歸納：整體思想就是在解決問題時，不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過對整體的把握和運用達到解決問題的目的. 1.(2014·安徽)已知x2-2x-3=0，則2x2-4x的值為( ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 2.(2014·樂山)若a

3、=2,a-2b=3,則2a2-4ab的值為 . 3.(2014·宿遷)已知實數(shù)a，b滿足ab=3，a-b=2，則a2b-ab2的值是 . 4.(2014·菏澤)已知x2-4x+1＝0，求-的值. 類型之二 分類思想 例2 (2013·襄陽)在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點與斜邊中點的連線剪去兩個三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長是 . 【思路點撥】從圖中看有兩個直角，這兩個直角都有可能是原直角三角形的直角,分兩種情況將原圖補充完整，即可求出原直角三角形的斜邊長.

4、 【解答】如圖1，以點B為直角頂點，BD為斜邊上的中線，在Rt△ABD中，可得BD＝. ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是2； 如圖2，以點A為直角頂點，AC為斜邊上的中線，在Rt△ABC中，可得AC＝3. ∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長是6. 故填2或6. 方法歸納：在幾何問題中，當圖形的形狀不完整時，需要根據(jù)圖形的已知邊角及圖形特征進行分類畫出圖形，特別注意涉及等腰三角形與直角三角形的邊和角的分類討論. 1.(2014·涼山)已知⊙O的直徑CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8 cm，則AC的長為( ) A.2cm

5、 B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm 2.(2014·涼山)已知一個直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為 . 3.已知點D與點A(8，0)，B(0，6)，C(3，-3)是一平行四邊形的頂點，則D點的坐標為 . 4.(2014·株洲調研)已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則P點的坐標為 . 5.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，

6、BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2 cm，QM=4 cm.動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1 cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心， cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上)，請寫出t可取的一切值 (單位：秒). 6.(2013·呼和浩特)在平面直角坐標系中，已知點A(4，0)、B(-6，0)，點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為 . 7.(2014·襄陽)在□ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，則□ABCD的周長等于 .

7、 類型之三 轉化思想 例3 (2014·濱州)如圖，點C在⊙O的直徑AB的延長線上，點D在⊙O上，AD=CD,∠ADC=120°. (1)求證：CD是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積. 【思路點撥】(1)因為D點在圓上，連接OD，證明OD與CD垂直即可； (2)連接OD，將圖中不規(guī)則的陰影部分面積轉化為三角形與扇形的面積之差. 【解答】(1)證明：連接OD. ∵AD=CD，∠ADC=120°，∴∠A=∠C=30°. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°， ∴∠ODC=120°-30°=90°， ∴OD⊥CD. 又∵點D在⊙O上,∴CD是

8、⊙O的切線. (2)∵∠ODC=90°,OD=2，∠C=30°， ∴OC=4，CD==2， ∴S△COD=OD·CD=×2×2=2， S扇形OCB==π， ∴S陰影=S△OCD-S扇形OCB=2-π. 方法歸納：化歸意識是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，將“未知”轉化為“已知”、將“陌生”轉化為“熟知”、將“復雜”轉化為“簡單”的解題方法，其核心就是將有待解決的問題轉化為已有明確解決的問題，以便利用已有的結論來解決問題. 1.(2014·泰安)如圖，半徑為2 cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為( ) A

9、.(-1)cm2 B.(+1)cm2 C.1 cm2 D. cm2 2.(2013·濰坊)對于實數(shù)x,我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[3]=3,[-2.5]=-3.若[]=5，則x的取值可以是( ) A.40 B.45 C.51 D.56 3.(2014·菏澤調考)將4個數(shù)a、b、c、d排成兩行、兩列，兩邊各加一條豎線段記成，定義=ad-bc，上述記號就叫做二階行列式，若

10、 =8，則x= . 4.(2014·白銀)如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為 . 5.(2014·涼山)如圖，圓柱形容器高為18 cm，底面周長為24 cm，在杯內壁離杯底4 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內壁B處的最短距離為 cm. 6.(2014·棗莊)圖1所示的正方體木塊棱長為6 cm，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角，得到如圖2的

11、幾何體，一只螞蟻沿著圖2的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為 cm. 類型之四 數(shù)形結合思想 例4 (2014·黃州模擬)如圖1，點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P，點Q同時從點B出發(fā)，點P沿BE→ED→DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1 cm/s，設P，Q出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為y cm2，已知y與t的函數(shù)關系的圖形如圖2(曲線OM為拋物線的一部分)，則下列結論：①AD＝BE＝5 cm；②當0＜t≤5時，y= t2；③直線NH的解析式為y＝-t+27；④若△ABE與△QBP相似，則t＝秒.其中正確的結論個數(shù)為

12、( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解答】①根據(jù)圖2可得，當點P到達點E時點Q到達點C，BC=BE，故①小題正確； ②當0＜t≤5時，設y=at2,將t=5,y=10代入求得a=，故②小題正確； ③根據(jù)題意可得N(7，10)，H(11，0)，利用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝-t+，故③小題錯誤； ④∵∠A=90°,而點P在運動過程中，∠BPQ≠90°，∠PBQ≠90°，∴△ABE與△QBP相似，Q點在C點處，P點運動到CD邊上，∠PQB=90°.此時分△ABE∽△QBP和

13、△ABE∽△QPB兩種情況，當△ABE∽△QBP時，則=可知QP=，可得t=，符合題意；當△ABE∽△QPB時，= ，可知QP=>4，不符合題意，應舍去.故④小題正確. 因此答案選B. 方法歸納：數(shù)形結合主要有兩種：①由數(shù)思形，數(shù)形結合，用形解決數(shù)的問題；②由形思數(shù)，數(shù)形結合，用數(shù)解決形的問題. 1.(2014·菏澤)如圖，Rt△ABC中，AC＝BC=2，正方形CDEF的頂點D，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，設CD的長為x， △ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關系的是( ) 2.(2014·內江)若關于x的方程m(x+h)2+k＝

14、0(m、h、k均為常數(shù)，m≠0)的解是x1＝-3，x2＝2，則方程m(x+h-3)2+k＝0的解為( ) A.x1＝-6，x2＝-1 B.x1＝0，x2＝5 C.x1＝-3，x2＝5 D.x1＝-6，x2＝2 3.小文、小亮從學校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽,小文步行一段時間后,小亮騎自行車沿相同路線行進,兩人均勻速前行.他們的路差s(米)與小文出發(fā)時間t(分)之間的函數(shù)關系如圖所示.下列說法：①小亮先到達青少年宮；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480.其中正確的是(

15、 ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4.(2014·黃石調考)如圖，兩個正方形的面積分別為16、9，兩陰影部分的面積分別為a，b(a>b)，則a-b等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 5.(2014·棗莊)如圖，在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為(a+2)的小正方形(a＞2)，將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為( ) A.

16、a2+4 B.2a2+4a C.3a2-4a-4 D.4a2-a-2 類型之五 方程、函數(shù)思想 例5 (2014·泰安調考)將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內接一個圓柱(如圖所示)，當圓柱的側面的面積最大時，圓柱的底面半徑是 cm. 【思路點撥】設圓柱的底面半徑為r，圓柱的側面積為S，建立S與r之間的函數(shù)關系式，利用函數(shù)的性質確定S取最大值時r的值. 【解答】∵將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐， ∴圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為2，高為2.

17、設圓柱底面圓的半徑為r,高為h，側面積為S，根據(jù)題意，得 =，∴h=. ∴S=2πr（）=-2π（r-1）2+2π. ∴當r=1時，S取最大值為2π. 方法歸納：在問題中涉及“最大值”或“最小值”時，一般要運用函數(shù)思想去解決問題，解決這里問題的關鍵是建立兩個變量之間的函數(shù)關系. 1.(2014·安徽)如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為( ) A. B. C.4 D.5

18、2.(2014·武漢)如圖，若雙曲線y=與邊長為5的等邊△AOB的邊OA，AB分別相交于C，D兩點，且OC=3BD，則實數(shù)k的值為 . 3.(2014·廣州)若關于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有兩個實數(shù)根x1、x2，則x1（x2+x1）+x22的最小值為 . 4.(2014·鄂州)如圖，正方形ABCD邊長為1，當M、N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2，則△AMN的面積的最小值為 . 參考答案 類型之一 整體思想 1.B 2.12 3.6 4.原式==. ∵x2-4x+1＝0，∴x2-

19、4x=-1. ∴原式===-23. 類型之二 分類思想 1.C 2.5或 3.(5,9)或(11，-9)或(-5,3) 4.(3，4)或(2，4)或(8，4) 5.t=2或3≤t≤7或t=8 6.(0，12)或(0，-12) 提示：當點C在y軸的上方時，如圖，作BD⊥AC于D,與y軸交于點E. ∵∠BCA=45°， ∴∠CBD=∠BCA=45°,∴BD=CD. ∵∠CDE=∠ADB=90°,∠CED=∠BEO, ∴∠ECD=∠ABD,∴△CED≌△BAD, ∴EC=AB=10. 設OE=x，∵∠COA=∠BOE=90°, ∴△BEO∽△CAO, ∴=

20、，x=2或x=-12(舍去)， ∴OC=OE+CE=2+10=12，∴點C(0,12). 當點C在y軸的下方時，同理可求得點C(0,-12). 故答案為(0，12)或(0，-12). 7.12或20 提示：如圖1所示. ∵在□ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2， ∴EC==2，AB=CD=5，BE==3， ∴AD=BC=5， ∴□ABCD的周長等于20. 如圖2所示. ∵在□ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2， ∴EC=AC2-AE2=2，AB=CD=5，BE=AB2-AE2=3， ∴BC=3-2=1， ∴□ABCD的周長等于1+

21、1+5+5=12. 則□ABCD的周長等于12或20. 故答案為：12或20. 類型之三 轉化思想 1.A 2.C 3.2 4.12 5.20 6.() 提示：如圖所示. △BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形， 在Rt△BCD中，CD==6（cm）， ∴BE=CD=3 cm， 在Rt△ACE中，AE==3（cm）， ∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為()cm. 故答案為：(). 類型之四 數(shù)形結合思想 1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 類型之五 方程、函數(shù)思想 1.C 提示：設BN=x,則依據(jù)折疊原理可得DN=AN

22、=9-x.又D為BC的中點，∴BD=3.在Rt△NBD中，利用勾股定理，可得BN2+BD2=DN2，則有32+x2=(9-x)2，解得x=4,即BN=4.故選擇C. 2. 提示：過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F， 設OC=3x，則BD=x， 在Rt△OCE中，∠COE=60°， 則OE=x，CE=x，則點C坐標為(x，x)， 在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，則BF=x，DF=x， 則點D的坐標為(5-x，x)， 將點C的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得k=x2， 將點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得k=x-x2， 則x2=x-x2，解得x1=

23、1，x2=0(舍去)， 故k=×12=. 3. 提示：由根與系數(shù)的關系得到： x1+x2=-2m，x1x2=m2+3m-2， 原式化簡=3m2-3m+2=3（m-）2+. ∵方程有實數(shù)根，∴Δ≥0，m≤23. 當m=時，3m2-3m+2的最小值為. 4.-1 提示：延長MB至G使GB=DN，連接AG. ∴△ADN≌△ABG. ∵CN+CM+MN=2，CN+CM+DN+BM=2, ∴MN=MG.∴△AMN≌△AMG. 要使△AMN的面積的最小，即△AGM的面積最小. ∵AB=1，所以MG最小，即MN最小. 在Rt△CMN中，周長一定，當△CMN為等腰直角三角形時， 斜邊MN最小.設CM=x，則CN=x,MN=x， ∴x+x+x=2,∴x=2-,MN=2-2. ∴△AMN的面積的最小值為-1. 10