中考數(shù)學(xué)壓軸題的滿分攻略 -考典40 幾何計(jì)算域說理計(jì)算問題

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1、中考數(shù)學(xué)壓軸題的滿分攻略 -考典40 幾何計(jì)算域說理計(jì)算問題 【真題典藏】 1. （xx年上海市第24題）參見《考典35 梯形的存在性問題》第1題，如圖1． 2. （xx年上海市第24題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，頂點(diǎn)為B． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)D在直線AE上，DE＝1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 圖1 圖2 3．（xx年上海市第24題）如圖3，已知平面直角坐標(biāo)系

2、xOy，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點(diǎn)A(4,0)、B(1,3)． （1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(m,n)在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值． 圖3 4．（xx年上海市第24題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋6x＋c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(4, 0)、B(－1,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD＝t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足為F． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）求線

3、段EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）； （3）當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，求t的值． 圖4 【滿分攻略】 我們用三種方法證明第1題（xx年上海市第24題）的第（2）題DC//AB： 方法一，由于點(diǎn)在雙曲線上，所以． 因?yàn)椋?，所以，因此DC//AB． 這里依據(jù)“三角形一邊的平行線判定定理推論”． 方法二，因?yàn)?，? 所以，因此DC//AB． 方法三，如圖6，由反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，知△AOC與△BOD的面積相等． 圖5中的△ADC與圖6中的△AOC的面積相等，圖5中的△BCD與圖6中的△BOD的面積相等，經(jīng)過等量代換，圖5中的△ACD與△BCD的面積相等．因?yàn)檫@兩個(gè)

4、三角形是同底CD的，因此它們是同底等高的三角形，所以DC//AB． 圖5 圖6 圖7 其中方法一和方法二是通過計(jì)算進(jìn)行說理，方法三是說理證明． 第2題（xx年上海市第24題）的第（2）題求點(diǎn)D的坐標(biāo)是幾何計(jì)算． 準(zhǔn)備動(dòng)作：． 羅列點(diǎn)：A(－1,0)，B(1,4)，C(4,0)． 畫圖：先畫直線BC，過點(diǎn)A向BC畫垂線，垂足為E． 拿起圓規(guī)，以E為圓心，1長(zhǎng)為半徑畫圓，圓與直線AE有幾個(gè)交點(diǎn)？這就是行動(dòng)體現(xiàn)思想，你畫圖的過程已經(jīng)體現(xiàn)了分類討論思想，點(diǎn)D有兩個(gè)（如圖7

5、）． 試問有必要畫拋物線嗎？ 解題的過程反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合思想——不要問為什么——拿來就用．示范一下： 注意標(biāo)志性語句的引領(lǐng)作用，體現(xiàn)書寫的層次性，吸引閱卷老師的注意力． 第3題（xx年上海市第24題）的第（1）題做完之后停一停，確認(rèn)無誤之后再作第（2）題，否則就是徒勞無益． 第（1）題用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，無需畫圖．拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x，對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)． 第（2）題的最大障礙就是畫示意圖了，事實(shí)上，無需畫出拋物線，如圖8，只要順次畫出點(diǎn)A、對(duì)稱軸、點(diǎn)P的大概位置（在點(diǎn)A的右下方）、點(diǎn)E、點(diǎn)F，

6、就可以直觀感受到，四邊形OAPE是等腰梯形，四邊形OAPF是平行四邊形． 說理是關(guān)鍵的一步： 平行四邊形OAPF的底邊OA＝4是確定的，高是點(diǎn)P到x軸的距離，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示為－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，會(huì)得到m有兩個(gè)解，根據(jù)題目條件“點(diǎn)P(m,n)在第四象限”舍去不合題意的解． 如果不用上述幾何說理的方法，我們也可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行說理： 這個(gè)說理方法的最大困難是用m表示點(diǎn)F的坐標(biāo)(4－m,n)． 圖8 第4題（xx年上海市第24題），DE和AD橫看成嶺側(cè)成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt△ADE的兩條直角邊的比，也是兩

7、個(gè)相似的△DEF和△ADO的斜邊比． 第（1）題求得拋物線的解析式y(tǒng)＝－2x2＋6x＋8，與y軸交于點(diǎn)C(0，8)． 第（2）題，如圖9，在Rt△ADE中，已知，所以． 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF與∠ADO都是∠EDF的余角． 因此∠DEF＝∠ADO． 所以△DEF∽△ADO．因此，即． 于是得到，．所以． 圖9 圖10 第（3）題難在示意圖怎么畫？在森林中認(rèn)識(shí)樹木：當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，如果延長(zhǎng)CE與x軸交于點(diǎn)M，根據(jù)等角對(duì)等邊，那么△MAC是等腰三角形，MA＝MC．這樣我們作AC的垂直

8、平分線先找到點(diǎn)M，在MC的適當(dāng)位置畫一個(gè)點(diǎn)E，這樣示意圖就畫好了． 如圖10，設(shè)AC的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC． 當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，點(diǎn)E在MC上． 由于，而OA＝4，OC＝8，所以． 因此．所以MO＝6． 由EF//MO，得，即．解得t＝6． 考典40 幾何計(jì)算說理與說理計(jì)算問題 1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋6x＋c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(4, 0)、B(－1,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD＝t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足為F． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）求線段

9、EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）； （3）當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，求t的值． 圖1 2．如圖2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA＝PB． （1）先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由； （2）設(shè)PA＝m，PC＝n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)和面積； （3）設(shè)CP與AB交于點(diǎn)D，試探索當(dāng)邊AC、BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由．

10、圖2 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）． （1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖3為例說明理由； （2）若∠ABC＝60°，厘米． ①求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度； ②設(shè)△APQ的面積為S(平方厘米)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖3為例說明理由． 圖3 4．在Rt△ABC中， AB＝BC＝4，∠B＝90°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊

11、AC的中點(diǎn)M處，將三角板繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長(zhǎng)線上交于D、E兩點(diǎn)(假設(shè)三角板的兩直角邊足夠長(zhǎng))，如圖4、圖5表示三角板旋轉(zhuǎn)過程中的兩種情形． （1）直角三角板繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE＝ 時(shí)，△MEC是等腰三角形； （2）直角三角板繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到圖1的情形時(shí)，求證：MD＝ME； （3）如圖6，若將直角三角板的直角頂點(diǎn)M在斜邊AC上移動(dòng)，設(shè)AM∶MC＝m∶n(m、n為正數(shù))，試判斷MD、ME的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 圖4 圖5 圖6 考典40 幾何計(jì)算說理與說理計(jì)算問題 1．（1）y＝

12、－2x2＋6x＋8． （2）如圖1，在Rt△ADE中，已知，所以． 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF與∠ADO都是∠EDF的余角． 因此∠DEF＝∠ADO． 所以△DEF∽△ADO．因此，即． 于是得到，．所以． 圖1 圖2 （3）如圖2，設(shè)AC的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC． 當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，點(diǎn)E在MC上． 由于，而OA＝4，OC＝8，所以． 因此．所以MO＝6． 由EF//MO，得，即．解得t＝6． 2．（1）求作點(diǎn)P的作圖痕跡如圖3所示．△PAB是

13、等腰直角三角形，證明如下： 作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N． 因?yàn)辄c(diǎn)P在∠ACB的平分線上，所以PM＝PN． 又因?yàn)镻A＝PB，所以Rt△APM≌Rt△BPN（HL）．因此∠1＝∠2． 又因?yàn)椤?與∠BPM互余，所以∠1與∠BPM互余，即∠APB＝90°． 所以△PAB是等腰直角三角形． （2）如圖4，在等腰直角三角形PAB中，PA＝m，所以AB＝m． 在等腰直角三角形MPC中，PC＝n，所以CM＝n． 由Rt△APM≌Rt△BPN，得AM＝BN．所以CA＋CB＝2CM＝n． 因此△ABC的周長(zhǎng)＝AB＋CA＋CB＝m＋n． △ABC的面積可以這樣割補(bǔ)： S△A

14、BC＝S正方形MPNC－S△PAB ． （3）如圖5，作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，那么四邊形CEDF是正方形，CD＝DE＝DF． 設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)． 由，，兩式相加，得． 于是得到． 圖3 圖4 圖5 3．（1）如圖6，∠B與∠1都是∠C的余角，所以∠B＝∠1． ∠BMP與∠NMQ都是∠PMN的余角，所以∠BMP＝∠NMQ． 所以△PBM∽△QNM． （2）①當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，． 由△PBM∽△QNM，得． 而已知BM＝CM，所以． 因?yàn)?，所以NQ＝t．因此點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

15、每秒1厘米． ②在Rt△ABC中，∠B＝60°，，所以AC＝12，． 在Rt△CMN中，，∠C＝30°，所以CN＝8． 因此AN＝4，AQ＝4＋t． 如圖7，當(dāng)P在BA上時(shí)，0≤t≤4，． 此時(shí)． 如圖8，當(dāng)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)， t＞4，． 此時(shí)． 圖6 圖7 圖8 （3）如圖9，過點(diǎn)C作AB的平行線交BM的延長(zhǎng)線于P′， 那么△QCP′是直角三角形，P′Q2＝P′C2＋CQ2． 因?yàn)镻′C//AB，M是BC的中點(diǎn)，所以BP＝CP′，PM＝P′M． 所以QM垂直平分PP′，PQ＝P′Q． 于是得到PQ2＝BP2

16、＋CQ2． 圖9 第（3）題容易想到代數(shù)方法，通過計(jì)算得到結(jié)論： ， ，． 所以PQ2＝BP2＋CQ2． 4．（1）0，2，或． （2）如圖10，△MGD≌△MHE，MD＝ME． （3）如圖11，△AGM和△MHC都是等腰直角三角形，Rt△AGM∽R(shí)t△MHC． 因此．又因?yàn)椤鱉GD∽△MHE，所以． 圖10 圖11 后敘 一、這不是一本中考的試題集，這是一本關(guān)于中考解題策略的書，如敘家常． 二、本書分三部分，我們把每一部分概論中的第一句話摘錄如下： 簡(jiǎn)單題錯(cuò)失一道將悔恨不已，因此要加強(qiáng)簡(jiǎn)單題的準(zhǔn)確性訓(xùn)練． 簡(jiǎn)答題丟失一

17、步將滿分無望，因此要加強(qiáng)簡(jiǎn)答題的規(guī)范性訓(xùn)練． 壓軸題多練一道就自信一分，因此要加強(qiáng)壓軸題的規(guī)律性訓(xùn)練． 三、我們摘錄每一部分的高頻詞語和經(jīng)典語句： 第一部分的高頻詞語有：粗心，不要口算，即刻回頭檢查． 第二部分的經(jīng)典語句有：沒有不會(huì)的，只有不對(duì)的；重溫課本；想好了再寫——時(shí)間誠(chéng)可貴，答對(duì)價(jià)更高；標(biāo)志性語句的引領(lǐng)，表明書寫的層次，吸引閱卷老師的眼球；踩分點(diǎn)；中考的版面有限，不能寫到框外，要注意撲捉命題意圖哦！ 第三部分的經(jīng)典語句有：導(dǎo)航儀不代表體力——想的對(duì)不等于能做對(duì)；拿起尺、規(guī)畫圖，答案就在圖形中；你的思想還不成熟——數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想；歇歇腳再走，否則徒勞無益． 四、一

18、位上高一的學(xué)生來看我，說他離夢(mèng)想的那所市重點(diǎn)高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被錄取了． 我笑笑． 他納悶． 我解釋說，例如數(shù)學(xué)，上?？忌s10萬人，減去極端高分和極端低分2萬人，那么分?jǐn)?shù)集中在100—140分之間的40分，平均每分xx人． 中考1分意味著什么呢？ 五、這本書剖析近6年的中考數(shù)學(xué)題目——應(yīng)該注意的問題、容易出現(xiàn)的失誤、思維的出發(fā)點(diǎn)、書寫的規(guī)范——你標(biāo)記了多少認(rèn)同的地方？ 六、本書最牛的一句話——選擇放棄也是一種好的策略，保證其他題目準(zhǔn)確無誤也是高分——壓軸題中你不會(huì)的那道小題，可能絕大多數(shù)人都不會(huì)．例如xx年最后兩道壓軸題皆因輔助線而難倒眾生，其實(shí)第25題第（2）題需要添加的輔助線，本來是常見的聯(lián)結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線，但是因?yàn)閳D形中其它線條的干擾，使眾多考生沒有發(fā)現(xiàn)這條輔助線．如果添加了這條輔助線，那么問題一下子就解決了． 七、或許你做對(duì)了，但是你寫的字讓人誤解或者費(fèi)解，吃虧的不是別人．這句話開始說過，這里再說一次；這句話語文老師一定也說過，理化和英語老師同樣說過． 八、好運(yùn)留給有準(zhǔn)備的人——祝你好運(yùn)！