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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第69課時 二項式定理教案
教學(xué)目標(biāo):正確理解二項式定理,能準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式會區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù) 掌握二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用.
熟練掌握二項式定理的基本問題――通項公式及其應(yīng)用.
教學(xué)重點:利用二項式展開式可以證明整除性問題,討論項的有關(guān)性質(zhì),證明組合數(shù)恒等式,進行近似計算, 代數(shù)式求值,放縮法證明不等式.
(一) 主要知識及主要方法:
二項式定理及其特例:
,
二項展開式的通項公式:
常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項:
求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時,要根據(jù)通項公式討論對的限制;求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性
2、.
二項式系數(shù)表(楊輝三角)
展開式的二項式系數(shù),當(dāng)依次取…時,二項式系數(shù)表,表中每行兩端都是,除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.
二項式系數(shù)的性質(zhì):
展開式的二項式系數(shù)是,,,…,.可以看成以為自變量的函數(shù),定義域是,例當(dāng)時,其圖象是個孤立的點(如圖)
對稱性.
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等().直線是圖象的對稱軸.
增減性與最大值:
當(dāng)是偶數(shù)時,中間一項取得最大值;當(dāng)是奇數(shù)時,中間兩項,取得最大值.
各二項式系數(shù)和:∵,
令,則
在使用通項公式時,要注意:
通項公式是表示第項,而不是第項.展開式中第項的二項式系數(shù)與第項的系數(shù)不同.通項公式中含有五
3、個元素,只要知道其中的四個元素,就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中,常常遇到已知這五個元素中的若干個,求另外幾個元素的問題,這類問題一般是利用通項公式,把問題歸納為解方程(或方程組).這里必須注意是正整數(shù),是非負整數(shù)且≤. 證明組合恒等式常用賦值法.要正確理解二項式定理,準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù). 二項式展開式系數(shù)可用通項公式及組合知識.
用二項式定理進行近似運算,關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厣崛〔挥绊懢鹊捻棧话愕兀寒?dāng)
很小時,有.
(二)典例分析:
問題1.(全國Ⅱ)的展開式中常數(shù)項為 (用數(shù)字作答).
求展開式中的
4、系數(shù)(要求用兩種方法解答).
求展開式中系數(shù)最大的項
求展開所得的多項式中,系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)
問題2.已知,
則
(安徽文)已知,
則的值等于 .
(浙江)若多項式,則
(天津)設(shè),則
問題3.求的近似值(精確到)
已知能被整除,則最小值
5、
問題4.求證:≤();你能把不等式中的上限變得更小些嗎?
(三)課后作業(yè):
展開式中含項的系數(shù)是
展開式中的系數(shù)是
的展開式中的系數(shù)是
今天是星期日,不算今天,再過天后的第一天是星期幾?
()被除后的余數(shù)是
設(shè) ,則的反函數(shù)
設(shè),則
的值為
6、
若則
(屆西工大附中模擬文)設(shè)為滿足的最大自然數(shù),
則_____
(四)走向高考:
(湖北) 的展開式中整理后的常數(shù)項為
(全國Ⅱ)的展開式中項的系數(shù)是
(江西)已知展開式中,各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為,則等于
(陜西文)的展開式中項的系數(shù)是 (用數(shù)字作答)
(四川)設(shè)函數(shù),且
當(dāng)時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;
對任意的實數(shù),證明>是的導(dǎo)函數(shù))
是否存在,使得<恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出的值;若不存在,請說明理由.
(陜西)已知各項全不為零的數(shù)列的前項和為,且,其中.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)對任意給定的正整數(shù)(≥),數(shù)列滿足(),,求.
論并求出的值;若不存在,請說明理由.