《2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個考點的典型例題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個考點的典型例題(2頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個考點的典型例題
【典型例題】
考點一 研究直線與圓的位置關(guān)系
例1 ?已知直線L過點(-2,0),當(dāng)直線L與圓x2+y2=2x有兩個不同交點時,求斜率k的取值范圍。
法一:設(shè)直線L的方程為:y=k(x+2),與圓的方程聯(lián)立,代入圓的方程令△>0可得:。
法二:設(shè)直線L的方程為:y=k(x+2),利用圓心到直線的距離dO-L∈[0,R]可解得:。
?
考點二 研究圓的切線
例2 ?直線y=x+b與曲線有且僅有一個公共點,求b的取值范圍。
分析:作出圖形后進行觀察,以找到解決問題的思路。
解:曲線即x2+y2=1(x≥0),當(dāng)直線y=x+b
與
2、之相切時,滿足:
由觀察圖形可知:
當(dāng)或時,它們有且僅有一個公共點。
?
例3 ?過點P(1,2)作圓x2+y2=5的切線L,求切線L的方程。
解:因P點在圓上,故可求切線L的方程為x+2y=5。
說明:?過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0)的切線方程為:
?如果是過圓外一點作圓的切線,其切線方程的求解應(yīng)利用△=0或利用圓心到直線的距離等于半徑進行。
?
考點三 求圓的切線長
例4 ?過點P(2,3)作圓x2+y2=5的切線L,切點為M,求切線段LM的長。
分析:數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造三角形求LM,如圖。
解:
說明:自圓x2+y2+Dx+Ey+
3、F=0外一點P(x0,y0)向圓所引切線段的長為:
?
考點四 研究兩圓的位置關(guān)系
例5 ?求過兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x=0的交點且與直線相切的圓的方程。
解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2-1+λ(x2+y2-4x)=0,整理后得:
因為該圓與直線相切,故圓心到直線的距離等于半徑,即:
代入即可得所求圓的方程為:3x2+3y2+32x-11=0.
說明:利用過兩圓交點的圓系方程求解比較簡潔。過兩定圓交點的圓系方程為:,λ、μ不同時為0,兩邊同除以λ(或μ),則該方程只有一個待求參數(shù)。
?
考點五 研究兩相交圓的公共弦所在直線方程
例6? 求兩圓x2
4、+y2-1=0和x2+y2-4x=0的交點弦所在的直線方程。
解:聯(lián)立兩圓方程,消去平方項得4x-1=0即為交點弦所在的直線方程。
說明:相交兩圓的公共弦或相外切兩圓的內(nèi)公切線或相內(nèi)切兩圓的公切線所在的直線方程的求解均可采用“交軌法”,將兩圓方程的平方項消去,所得的二元一次方程即為所求的直線方程。
?
考點六 與圓有關(guān)的其它問題
例7 ?求圓x2+y2-4x=0關(guān)于直線x-y=1對稱的圓的方程。
解:圓x2+y2-4x=0的圓心為P(2,0),半徑為2;P關(guān)于直線x-y=1對稱的點Q的坐標(biāo)可求得為(1,1),故所求對稱圓的方程為:
(x-1)2+(y-1)2=4
說明:關(guān)于直線對稱的兩圓半徑是相同的,其圓心關(guān)于該直線對稱,故只需求出圓心的對稱點即可。
?
例8? 已知點P的坐標(biāo)滿足x2+y2-4x=0,M(8,6),求PM的中點Q所在的曲線方程。
解:設(shè)點Q(x,y),P(x0,y0),則由Q是PM的中點知:x0=2x-8,y0=2y-6。
又P在x2+y2-4x=0上,故有(2x-8)2+(2y-6)2-4(2x-8)=0,整理即得Q點所在曲線方程為:x2+y2-10x-6y+33=0。