2022年高三數(shù)學(xué) 專題9 數(shù)列通項、求和、綜合應(yīng)用練習(xí)
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1、2022年高三數(shù)學(xué) 專題9 數(shù)列通項、求和、綜合應(yīng)用練習(xí) 一、前測訓(xùn)練 1.(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+3n(n∈N且n≥2),則an= . (2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=2nan-1(n∈N且n≥2),則an= . 答案:(1)an=;(2)an=2. 2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn=n2an?(n∈N*),則an= . 答案:an=. 3.已知數(shù)列{an}中,a1=1, an=an-1+1 (n∈N且n≥2),則an= . 答案:an=3-2×()n-1. 4.已知數(shù)列{an}中,a1=1
2、, an=2an-1+2n (n∈N且n≥2),則an= . 答案:an=(2n-1)×2n-1. 5.已知數(shù)列{an}中,a1=1, an= (n∈N且n≥2),則an= . 答案:an=. 6. (1) 已知數(shù)列{an}中,a1+2a2+…+nan=n2(n+1),則an= . (2) 已知數(shù)列{an}中,a1a2…an=n2,則an= . 答案:(1) an=2n;(2) an= 7. (1) 已知數(shù)列{an}中,an+an+1=2n,a1=1 (n∈N*),則an= . (2) 已知數(shù)列{an}中,anan+1=2
3、n,a1=1 (n∈N*),則an= . 答案:(1) an=;(2) an= 8. 已知數(shù)列{an}中,an+1=,若a1=,則axx的值為 . 答案:. 9.(1)數(shù)列1+2,1+2+4,1+2+4+8,…,1+2+4+…+2n的前n項的和為 . (2)數(shù)列an=的前n項的和為 . (3)數(shù)列an=(2n-1)·3n的前n項的和為 . (4)設(shè)f(x)=,則f()+f()+f()+…+f()的值為 . (5)已知數(shù)列an=(-1)n·n,則Sn= . 答案:(1)2n+2-(4+n);
4、(2)-(+);(3)(n-1)·3n+1+3;(4); (5) Sn=. 10.(1)數(shù)列{an}通項公式為an=an2+n,若{an}滿足a1<a2<a3<a4<a5,且an>an+1對n≥8恒成立, 則實數(shù)a的取值范圍為 . (2)已知數(shù)列an=()n-2,bn=λan-n2,若數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍為 . 答案:(1)(-17,-9);(2)λ>-1. 11.求數(shù)列an=4n2()n-1(n∈N*)的最大項. 答案:最大項為a9. 二、方法聯(lián)想 1.形如an-an-1=f(n)(n∈N且n≥2) 方法 疊加法,即當(dāng)
5、n∈N,n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1. 形如=f(n)(n∈N且n≥2) 方法 用疊乘法,即當(dāng)n∈N*,n≥2時,an=··…··a1. 注意 n=1不滿足上述形式,所以需檢驗. 2.形如含an,Sn的關(guān)系式 方法 利用an=,將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有an的關(guān)系式(如果轉(zhuǎn)化為an不能解決問題,則考慮轉(zhuǎn)化為僅含有Sn的關(guān)系式). 注意 優(yōu)先考慮n=1時,a1=S1的情況. 3.形如an=pan-1+q (n∈N且n≥2) 方法 化為an+=p(an-1+)形式.令bn=an+,即得bn=pbn-1,轉(zhuǎn)化成{bn}
6、為等比數(shù)列,從而求數(shù)列{an}的通項公式. 4.形如an=pan-1+f(n) (n∈N且n≥2) 方法 兩邊同除pn,得=+,令bn=,得bn=bn-1+,轉(zhuǎn)化為利用疊加法求bn(若為常數(shù),則{bn}為等差數(shù)列),從而求數(shù)列{an}的通項公式. 5.形如an= (n∈N且n≥2) 方法 兩邊取倒數(shù)得=+,令bn=,得bn=bn-1+,轉(zhuǎn)化成{bn}為等差數(shù)列,從而求數(shù)列{an}的通項公式. 6.形如a1+2a2+…+nan=f(n)或a1a2…an=f(n) 方法 (1)列出 (n∈N*且n≥2),兩式作差得an= (n∈N*且n≥2),而a1=f(1). (2)列
7、出 (n∈N*且n≥2),兩式作商得an= (n∈N*且n≥2),而. 注意 n=1是否滿足上述形式須檢驗. 7.形如an+an+1=f(n)或anan+1=f(n)形式 方法 (1)列出,兩式作差得an+2-an=f(n+1)-f(n),即找到隔項間的關(guān)系. (2)列出,兩式作商得=,即找到隔項間的關(guān)系. 8.歸納猜想 方法 列出前幾項,找到數(shù)列的規(guī)律(如周期性),利用歸納猜想得數(shù)列的項. 9.形如an±bn的形式 方法 分組求和法. 形如或等形式 方法 采用裂項相消法. 形如anbn形式(其中an為等差,bn為等比) 方法 采用錯位相減法.
8、 首、尾對稱的兩項和為定值的形式 方法 倒序相加法. 正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式 方法 并項相加法. 10.?dāng)?shù)列的單調(diào)性 方法1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性,如利用圖象分析. 注意 圖象分析時,數(shù)列圖象為離散的點. 方法2 利用an+1-an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系,其中an>0)判斷(或證明)數(shù)列的單調(diào)性. 11.?dāng)?shù)列的最值 方法1 利用an+1-an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系,其中an>0)判斷數(shù)列的單調(diào)性. 方法2 若第m項為數(shù)列的最大項,則 若第m項為數(shù)列的最小項,則 三、例題分析 第一層次學(xué)校 例1 已知數(shù)列{an},{bn},
9、an=n-16,bn=(-1)n|n-15|,其中n∈N*. (1)求滿足an+1=|bn|的所有正整數(shù)n的集合; (2)n≠16,求數(shù)列{}中的最大項和最小項; (3)記數(shù)列{anbn}的前?n項和為Sn,求所有滿足S2m=S2n (m<n)的有序整數(shù)對(m,n). 答案:(1) {n|n≥15,n∈N*} (2)最大項為第18項,最小項為第17項-2; (3)m=7,n=8. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.求數(shù)列的最大項與最小項問題: 方法① 利用數(shù)列的單調(diào)性,即用比較法判斷an+1與an的大小. 方法② 利用通項所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性.
10、 2.?dāng)?shù)列中的解方程問題: 方法:利用數(shù)列的通項公式、求和公式及遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于自然數(shù)n的一元或多元方程, 對于多元方程,若方程的個數(shù)不夠,往往是根據(jù)數(shù)的整除性來求解的. (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題中通項所對應(yīng)的函數(shù)是基本函數(shù),單調(diào)性已知,便于處理,但要注意最值點必須是自變量取正整數(shù);所以選擇②. 對于問題2,本題中第一小問,直接解一個含絕對值的方程,即可求得n的值;對于第三小問,既可以去求前n項和,再去解二元方程S2n=S2m,但顯然這樣運算量大,而且前n項也不太好求,本題是將條件S2n=S2m化歸為去找相鄰若干項(
11、從某個奇數(shù)項到某個偶數(shù)項)的和為0. 例2 已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù),且對任意n∈N*,都有a=anan+2+k (k為常數(shù)). (1)若k=(a2-a1)2,求證:a1,a2,a3成等差數(shù)列; (2)若k=0,且a2,a4,a5成等差數(shù)列,求的值; (3)已知a1=a,a2=b (a,b為常數(shù)),是否存在常數(shù)λ,使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立?若存在.求出λ;若不存在,說明理由. 答案:(1) 用定義證; (2)q=1或q=. (3)存在常數(shù)λ=使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立. ∵a=an
12、an+2+k,∴a=an-1an+1+k,n≥2,n∈N* ∴a-a=anan+2-an-1an+1, 即a+an-1an+1=a+anan+2,∵an>0, ∴=. ∴==…=. ∴an+an+2=an+1. ∵a1=a,a2=b,a=anan+2+k,∴a3=,∴=, ∴存在常數(shù)λ=使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.證明一個數(shù)列是等差數(shù)
13、列: 方法①定義法:an+1-an=d(常數(shù)),n∈N*; ②等差中項法:2an=an+1+an-1,n≥2,n∈N*; 2.等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列,求公比: 方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式,進(jìn)行基本量的計算 3.存在性問題: 方法①假設(shè)存在,由特殊情況,求參數(shù)的值,再證明; ②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題是研究3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列; 所以選擇②. 對于問題3,學(xué)生一般會選擇①,對于存在性問題,常規(guī)的方法就是先從特殊性出發(fā)探究出參數(shù)和值,再進(jìn)行證明,這樣處理思路清晰,運算量小。所以選擇方法
14、①. 例3 已知數(shù)列{an}滿足=n (n∈N*),且a2=6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn= (n∈N*,c為非零常數(shù)),若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,記cn=,Sn=c1+c2+…+cn,求Sn. 答案: (1) an=n(2n-1),n∈N* (2) Sn=4-. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項: 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式;②疊加(乘)法;③構(gòu)造等差(比)數(shù)列;④猜想證明. 2.已知數(shù)列是等差數(shù)列,求參數(shù)的值: 方法①選特殊化,求參數(shù)的值,再證明;②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; 3.?dāng)?shù)列求和
15、問題: 方法①等差(比)數(shù)列求和;②分組求和;③拆項相消;④錯位相減; ⑤倒序相加;⑥并項求和法.. (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為遞推關(guān)系形如an-an-1=f(n)(n∈N且n≥2), 所以選擇②疊加法. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇方法①,因為選擇方法①,運算量比較小. 對于問題3,學(xué)生一般會選擇④,因為本題通項是由一個等差與一個等比數(shù)列相應(yīng)項相乘而得, 所以選擇方法④. 第二層次學(xué)校 例1 已知數(shù)列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0). (1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值; (2)
16、若對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍. 答案 (1)數(shù)列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0. (2)-10<a<-8. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.求數(shù)列的最大項與最小項問題: 方法① 利用數(shù)列的單調(diào)性,即用比較法判斷an+1與an的大?。? 方法② 利用通項所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性. 方法③ 在等差數(shù)列中,可以通過解不等式組求最大項ak,解不等式組求最小項ak. 2.?dāng)?shù)列中的不等式恒成立問題: 方法①:轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項與最小項問題. 方法②:分離常數(shù)后,再求最值. (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題
17、1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題中通項所對應(yīng)的函數(shù)是基本函數(shù),單調(diào)性已知,便于處理,但要注意最值點必須是自變量取正整數(shù);所以選擇②.本題第一小問選擇③也是比較簡單的. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇方法①,因為數(shù)列通項所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性已知. 例2 一位幼兒園老師給班上k(k≥3)個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n=1,2,3,…,k)個小朋友.如果設(shè)分給第n個小朋友后(
18、未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an. (1) 當(dāng)k=3,a0=12時,分別求a1,a2,a3; (2) 請用an-1表示an;令bn=(n+1)an,求數(shù)列{bn}的通項公式; (3)是否存在正整數(shù)k(k≥3)和非負(fù)整數(shù)a0,使得數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的k和a0,如果不存在,請說明理由. 【答案】(1)a1=7,a2=6,a3=6. (2)an=(an-1+2),bn=n(n+1)+a0; (3)a0=0時,對于任意正整數(shù)k(k≥3)數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列; 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.由遞推關(guān)系求
19、數(shù)列的通項: 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式;②疊加(乘)法;③構(gòu)造等差(比)數(shù)列;④猜想證明. 2.探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問題: 方法①由必要條件(特殊情況),求參數(shù)的值,再證明; ②考慮一般情形,轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題遞推關(guān)系符合:bn+1-bn=f(n); 所以選擇②. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇①,由必要條件出發(fā)比較容易找出參數(shù)的值,并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法①. 本題還有變式:如果班上有5名小朋友,每個小朋友都分到糖果,求a0的最小值. 例3 已知數(shù)列{an
20、}滿足=n (n∈N*),且a2=6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn= (n∈N*,c為非零常數(shù)),若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,記cn=,Sn=c1+c2+…+cn,求Sn. 答案:(1) an=n(2n-1),n∈N* (2) Sn=4-. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項: 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式;②疊加(乘)法;③構(gòu)造等差(比)數(shù)列;④猜想證明. 2.已知數(shù)列是等差數(shù)列,求參數(shù)的值: 方法①選特殊化,求參數(shù)的值,再證明;②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; 3.?dāng)?shù)列求和問題: 方法①等差(比)數(shù)列求
21、和;②分組求和;③拆項相消;④錯位相減; ⑤倒序相加;⑥并項求和法.. (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為遞推關(guān)系形如an-an-1=f(n)(n∈N且n≥2), 所以選擇②疊加法. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇方法①,因為選擇方法①,運算量比較小. 對于問題3,學(xué)生一般會選擇④,因為本題通項是由一個等差與一個等比數(shù)列相應(yīng)項相乘而得, 所以選擇方法④. 第三層次學(xué)校 例1:一位幼兒園老師給班上k(k≥3)個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把
22、盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n=1,2,3,…,k)個小朋友.如果設(shè)分給第n個小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an. (1) 當(dāng)k=3,a0=12時,分別求a1,a2,a3; (2) 請用an-1表示an;令bn=(n+1)an,求數(shù)列{bn}的通項公式; (3)是否存在正整數(shù)k(k≥3)和非負(fù)整數(shù)a0,使得數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的k和a0,如果不存在,請說明理由. 【答案】(1)a1=7,a2=6,a3=6. (2)an=(an-1+2),bn=n(
23、n+1)+a0; (3)a0=0時,對于任意正整數(shù)k(k≥3)數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列; 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項: 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式;②疊加(乘)法;③構(gòu)造等差(比)數(shù)列;④猜想證明. 2.探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問題: 方法①由必要條件(特殊情況),求參數(shù)的值,再證明; ②考慮一般情形,轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題遞推關(guān)系符合:bn+1-bn=f(n); 所以選擇②. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇①,由必要條件出發(fā)比
24、較容易找出參數(shù)的值,并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法①. 本題還有變式:如果班上有5名小朋友,每個小朋友都分到糖果,求a0的最小值. 例2:已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a (x∈R)同時滿足以下兩個條件: ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素; ②在定義域內(nèi)存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n). (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; (2)求數(shù)列{an}的通項公式; (3)設(shè)bn=(),cn=- (n∈N*),數(shù)列{cn}的前n項和為Tn, 求證:Tn<. 答案:(1)f(x)=x2-4x+4
25、.(2)an= (3)Tn=-,證明略 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.求二次函數(shù)的解析式問題: 方法 待定系數(shù)法,可設(shè)一般式,零點式與頂點式. 2.求數(shù)列的通項問題: 方法:①利用數(shù)列的通項an與前n和Sn的關(guān)系,在已知Sn條件下求通項an. ②利用等差(比)數(shù)列的通項公式,求通項; ③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項; ④用累加(乘)法求通項. 3.與數(shù)列有關(guān)不等式證明: 方法①:將數(shù)列的項與和具體求出來后,再用證明不等式的方法(比較法、綜合法,分析法,反證法等)處理; 方法②:利用放縮法,先去掉一些項(或項中的一部分)后,再將
26、數(shù)列的項或和具體求出后,再比較. (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇用待定系數(shù)法,但本題條件實際上是一個等式與一個不等式,從等式中可求出a的值,但有2個,不等式中可確定a的取值范圍,從而確定a的值,本小題的難點在于對條件的轉(zhuǎn)化,要求學(xué)生對二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)有全面的認(rèn)識. 對于問題2,學(xué)生一般會選擇方法①,因為數(shù)列的前n項已知,可由通項與前n項之間的關(guān)系來求. 對于問題3,學(xué)生一般會選擇方法①,因為本題中數(shù)列的通項是某一數(shù)列相鄰兩項差的形式,用疊加法很容易求出和Tn,證明很容易,本題也可增加證明Tn≥.也還有很多其他的變式. 例3:已知數(shù)列{an}的
27、各項都為正數(shù),且對任意n∈N*,都有a=anan+2+k (k為常數(shù)). (1)若k=(a2-a1)2,求證:a1,a2,a3成等差數(shù)列; (2)若k=0,且a2,a4,a5成等差數(shù)列,求的值; (3)已知a1=a,a2=b (a,b為常數(shù)),是否存在常數(shù)λ,使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立?若存在.求出λ;若不存在,說明理由. 答案:(1) 用定義證; (2)q=1或q=. (3)存在常數(shù)λ=使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立. ∵a=anan+2+k,∴a=an-1an+1+k,n≥2,n∈N
28、* ∴a-a=anan+2-an-1an+1, 即a+an-1an+1=a+anan+2,∵an>0, ∴=. ∴==…=. ∴an+an+2=an+1. ∵a1=a,a2=b,a=anan+2+k,∴a3=,∴=, ∴存在常數(shù)λ=使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問題歸類與方法: 1.證明一個數(shù)列是等差數(shù)列: 方法①定義法:an+1-an=d(常數(shù)),n∈N*; ②等差中項法:2an=an+1+an-1,n≥2,n∈N*; 2.等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列,求公比: 方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式,進(jìn)行基本量的計算 3.存在性問題: 方法①假設(shè)存在,由特殊情況,求參數(shù)的值,再證明; ②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題; (2)方法選擇與優(yōu)化建議: 對于問題1,學(xué)生一般會選擇方法②,因為本題是研究3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列; 所以選擇②. 對于問題3,學(xué)生一般會選擇①,對于存在性問題,常規(guī)的方法就是先從特殊性出發(fā)探究出參數(shù)和值,再進(jìn)行證明,這樣處理思路清晰,運算量小。所以選擇方法①. 四、課后反饋:
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