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1、2022年高二3月月考 數學(文科) 含答案(IV)
一、選擇題 (本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.設為實數,函數的導函數為,且是偶函數,則曲線在原點處的切線方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2.曲線在點處的切線方程為( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.下列等于1的積分是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.函數在點處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.1
【答案】C
5.函數的導數是( )
A. B.
C.
2、D.
【答案】B
6.設函數f(x)在R上可導,其導函數為f’(x),且函數f(x)在x=-1處取得極小值,則函數y=x f’(x)的圖象可能是( )
【答案】C
7.,若,則的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.曲線所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】B
9.一物體在力 (單位:N)的作用下沿與力F相同的方向,從x=0處運動到x=4(單位:m)處,則力F(x)作的功為( )
A.44 B.46 C.48 D.50
【答案】B
10.已知曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為( )
A
3、.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
11.曲線y=+1在點(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為( )
A. B. C. D.1
【答案】A
12.由函數的圖象所圍成的一個封閉圖形的面積是( )
A.4 B. C. D.
【答案】B
二、填空題 (本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
13.曲線在點(1,-1)處的切線方程是 .
【答案】x-y-2=0
14.由曲線圍成的封閉圖形面積為____________.
【答案】
15.已知,則 .
【答案】-4
16.拋物線
4、與直線圍成的平面圖形的面積為
【答案】
三、解答題 (本大題共6個小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.已知函數在點處的切線方程為.
⑴求函數的解析式;
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有,求實數的最小值;
⑶若過點可作曲線的三條切線,求實數的取值范圍.
【答案】⑴.
根據題意,得即解得
所以.
⑵令,即.得.
因為,,
所以當時,,.
則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值,都有
,所以.
所以的最小值為4.
⑶因為點不在曲線上,所以可設切點為.
則.
因為,所以切線的斜率為.
則=,
即.
因為過點
5、可作曲線的三條切線,
所以方程有三個不同的實數解.
所以函數有三個不同的零點.
則.令,則或.
則 ,即,解得.
18.某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀念品,每件產品的成本是元,銷售價是元,月平均銷售件.通過改進工藝,產品的成本不變,質量和技術含金量提高,市場分析的結果表明,如果產品的銷售價提高的百分率為,那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進工藝后,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是(元).
(Ⅰ)寫出與的函數關系式;
(Ⅱ)改進工藝后,確定該紀念品的售價,使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
【答案】 (Ⅰ)改進工藝后,每件產品的銷售價為,月平均銷售量為件,則月平均利潤(
6、元),
∴與的函數關系式為 .
(Ⅱ)由得,(舍),
當時;時,
∴函數 在取得最大值.
故改進工藝后,產品的銷售價為元時,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
19.定義在上的函數滿足兩個條件:①對于任意,都有
;②曲線存在與直線平行的切線.
(Ⅰ)求過點的曲線的切線的一般式方程;
(Ⅱ)當,時,求證:.
【答案】(Ⅰ)令得,,解得或.
當時,令得,,即,
,由得,,此方程在上無解,這說
明曲線不存在與直線平行的切線,不合題意,則,
此時,令得,,即,,
由得,
7、,此方程在上有解,符合題意.
設過點的切線切曲線于,則切線的斜率為,
其方程為,把點的坐標代入整理得,
,解得或,
把或分別代入上述方程得所求的切線方程是
和,即和.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當時,
由,知,,那么
所以.
20.已知函數,.
(Ⅰ)判定在上的單調性;
(Ⅱ)求在上的最小值;
(Ⅲ)若, ,求實數的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)
設,則,
∵,設
則
∴在上單調遞
8、減,則
即∴
從而 ,
∴在上單調遞減
∴在上單調遞減,∴
∴在上的單調遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即
∴
∴在上的單調遞減,則有
∴在上的最小值為
(Ⅲ)∵, ,
∴
對 恒成立,只需求右邊的最小值
∵對中, 取,得,
又由(Ⅱ)可知,在上的最小值為,
故 的最小值為,
∴的取值范圍是
21.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設計要求容器的體積為立方米,且.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元,半球形部分每平方米建造費用為.設該容器的建造費用為
9、千元.
(Ⅰ)寫出關于的函數表達式,并求該函數的定義域;
(Ⅱ)求該容器的建造費用最小時的.
【答案】(I)設容器的容積為V,
由題意知
故
由于
因此
所以建造費用
因此
(II)由(I)得
由于
當
令
所以
(1)當時,
所以是函數y的極小值點,也是最小值點。
(2)當即時,
當函數單調遞減,
所以r=2是函數y的最小值點,
綜上所述,當時,建造費用最小時
當時,建造費用最小時
22.將邊長為a的一塊正方形鐵皮的四角各截去一個大小相同的小正方形,然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒.欲使所得的方盒有最大容積,截去的小正方形的邊長應為多少?方盒的最大容積為多少?
【答案】設小正方形的邊長為x,則盒底的邊長為a-2x,∴方盒的體積
∴函數V在點x=處取得極大值,由于問題的最大值存在,
∴V()=即為容積的最大值,此時小正方形的邊長為.