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1、2022年高三數學一輪復習 專項訓練 等差、等比綜合問題（含解析）
1、 已知等差數列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解 (1)設{an}的公差為d.由題意，得a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數列．
從而
2、Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
2、已知數列{an}是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和Tn.
解 (1)由題意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，
所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)
得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)
解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.
(2)由(1)知an＝2n＋1，則Sn＝n(n＋2)，
＝，
Tn＝
＝
＝－.
考點二：數列與函數、不等式的綜合應用
3、
1、設數列{an}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對任意n∈N*，函數f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x滿足f′＝0.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)由題設可得，對任意n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.
f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，
即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}為等差數列．
由a1＝2，a2＋a4＝8，解得數列{an}的公差d＝1，
所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
(2
4、)由bn＝＝2＝2n＋＋2，
知Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.
2、已知正項數列{an}的首項a1＝1，前n項和Sn滿足an＝＋(n≥2)．
(1)求證：{}為等差數列，并求數列{an}的通項公式；
(2)記數列的前n項和為Tn，若對任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，求實數a的取值范圍．
解 (1)因為an＝＋，所以Sn－Sn－1＝＋，
即－＝1，所以數列{}是首項為1，公差為1的等差數列，得＝n，
所以an＝＋＝n＋(n－1)＝2n－1(n≥2)，當n＝1時，a1＝1也適合，所以an＝2n－1.
(2)因為＝＝，
所以，Tn＝＝.∴
5、Tn＜，
要使不等式4Tn＜a2－a恒成立，只需2≤a2－a恒成立，解得a≤－1或a≥2，
故實數a的取值范圍是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
考點：數列綜合練習題
1．公比不為1的等比數列{an}的前n項和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數列，若a1＝1，則S4＝( )．
A．－20 B．0 C．7 D．40
解析 記等比數列{an}的公比為q(q≠1)，依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，則S4＝＝－20.
答案 A
2．若－9，
6、a，－1成等差數列，－9，m，b，n，－1成等比數列，則ab＝( )．
A．15 B．－15 C．±15 D．10
解析 由已知得a＝＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)×(－3)＝15.
答案 A
3．數列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是( )．
A．9 B．10 C．11 D．12
解析 因為a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝
7、2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11.
答案 C
4．已知{an}為等比數列，Sn是它的前n項和．若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5＝( )．
A．35 B．33 C．31 D．29
解析 設數列{an}的公比為q，則由等比數列的性質知，
a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.
由a4與2a7的等差中項為知，a4＋2a7＝2×，
∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝.
∴a4＝a1q3＝a1×＝2，∴a1＝16，∴S5＝＝31.
答案 C
5．設y＝f(x)是一次函數，若f(0
8、)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于( )．
A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
解析 由題意可設f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.
答案 A
6．已知實數a1，a2，a3，a4構成公差不為零的等差數列，且a1，a3，a4構成等比數列，則此等比數列的公比等于________．
解析 設公差為d，公比為q.
則a＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
解得a1＝－4d，所以q＝＝＝.
答案
7．某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則需要的最少天數n(n∈N*)等于________．
解析 每天植樹棵數構成等比數列{an}，
其中a1＝2，q＝2.則Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天數n＝6.
答案 6
2022年高三數學一輪復習 專項訓練 等差、等比綜合問題（含解析）
