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1、2022年高中數(shù)學 第四章《圓的一般方程》教案 新人教A版必修2
三維目標：
? 知識與技能?。骸?(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件
(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。
(3):培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方
2、法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。
教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F．
教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用
教 具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
課題引入：
問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。
利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究：
請同學們寫出圓的標準方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2
3、，圓心(a，b)，半徑r．
把圓的標準方程展開，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
這個方程是圓的方程．
反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
② (配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？
(1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；
（2）當時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）;
（3）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形
綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓
4、
只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)
(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．
?、跊]有xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。
知識應用與解題研究：
例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。
學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②
5、、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的
.
例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。
分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程
解：設所求的圓的方程為：
∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，
即
解此方程組，可得：
∴所求圓的方程為：
；
得圓心坐標為（4，-3）.
或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3)
學
6、生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：
①、 根據(jù)提議，選擇標準方程或一般方程；
②、 根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；
③、 解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。
例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。
分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。
解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是 ①
上運動，所以點A的坐標滿足方程,即
②
把①代入②，得
課堂練習：課堂練習第1、2、3題
小結 ：
1．對方程的討論(什么時候可以表示圓)
2．與標準方程的互化
3．用待定系數(shù)法求圓的方程
4．求與圓有關的點的軌跡。
課后作業(yè)：習題4.1第2、3、6題
2022年高中數(shù)學 第四章《圓的一般方程》教案 新人教A版必修2
