6、q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內(nèi)成立。
四．典例解析
題型1：方程的根與函數(shù)零點
例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。
解析：
（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。
7、實際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。
（2）原方程等價于
即
構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：
①當(dāng)或時，原方程有一解；
②當(dāng)時，原方程有兩解；
③當(dāng)或時，原方程無解。
點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷。
例2．（xx廣東19）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7
8、］上，只有。
（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［－xx，xx］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。
解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,
從而知函數(shù)不是奇函數(shù),
由
,從而知函數(shù)的周期為
又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
(II)由
(III) 又
故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個解,在[－xx.0]上有400個解,所以函數(shù)在[－xx,xx]上有802個解。
點評：解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點，也就是方程的根。
題型2：零點存在性定理
9、
例3．（xx廣東21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。
（1）當(dāng)為何值時，；
（2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得
試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時，方程在內(nèi)有兩個實根。
解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且
當(dāng)x∈(－m,1－m)時,f ’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)
當(dāng)x∈(1－m, +∞)時,f ’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且
對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m
故當(dāng)整數(shù)m≤1時，f(x) ≥
10、1－m≥0
(2)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時，f(1－m)=1-m<0,
函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).
由所給定理知，存在唯一的
而當(dāng)整數(shù)m>1時，
類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的
故當(dāng)m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。
點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。
例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，不存在實數(shù)使得；
11、B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得；
C．若，有可能存在實數(shù)使得；
D．若，有可能不存在實數(shù)使得；
解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實數(shù)解”。
點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎(chǔ)。
題型3：二分法的概念
例5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）
A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點；
C．應(yīng)用“
12、二分法”求方程的近似解，在[a,b]內(nèi)有可能無零點；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解；
解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。
點評：該題深入解析了二分法的思想方法。
例6．方程在[0，1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是（ ）
A．0.05 B．0.005 C．0.0005 D．0.00005
13、
解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時，精度達到。此時差限是0.0005，選項為C。
點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。
題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解
例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）。
解析：原方程即。
令，
用計算器做出如下對應(yīng)值表
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
觀察上表，可知零點在（1，2）內(nèi)
取區(qū)間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內(nèi)；
再取區(qū)間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1
14、.25，1.5）內(nèi)；
同理取區(qū)間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內(nèi)；
由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。
點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。
例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確到）。
分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)？
略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個零點。
點評：①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機或計算
15、器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間；
②建議列表樣式如下：
零點所在區(qū)間
中點函數(shù)值
區(qū)間長度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點
例9． 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當(dāng)時，證明。
證明：由題意可知，
,
∴ ,
∴ 當(dāng)時，。
又,
∴ ,
綜上可知，所給問題獲證。
點評：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的
16、關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式。
例10．已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.
（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；
（2）如果，，求的取值范圍.
解析：設(shè)，則的二根為和。
（1）由及，可得 ，即，
即
兩式相加得，所以，；
（2）由, 可得 。
又，所以同號。
∴ ，等價于
或,
即 或
解之得 或。
點評：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化。
題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式
例11．設(shè)，若，，, 試證明：對于任意，有。
解析：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 當(dāng)時，
17、當(dāng)時，
綜上，問題獲證。
點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。
例12．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，有，求證：當(dāng)時，有
解析：由題意知：，
∴ ，
∴ 。
由時，有，可得 。
∴ ,
。
（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時，
∴ 此時問題獲證.
（2）若，則當(dāng)時，
又，
∴ 此時問題獲證。
綜上可知：當(dāng)時，有。
點評：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù)，只需三個獨立條件，本題可以考
18、慮，，，這樣做的好處有兩個：一是的表達較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。
要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。
題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
例13．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ）
解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標(biāo)為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。
解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=
19、0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故選A。
點評：本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。
例14．（xx全國高考題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.
（1）討論f(x)的奇偶性
（2）求f(x)的最小值.
解：（1）顯然a=0時，f(x)為偶函數(shù)，
當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1, f(－a)=a2+2|a|+1
f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0
∴ 此時f(x)為非奇非偶函數(shù).
（2）首先應(yīng)先去掉絕對值，再進行討論.
①當(dāng)x≤a時，.
若,則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減，
∴ f(x)的最小
20、值為f(a)=a2+1.(如圖(I))
若，則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上的最小值為（如圖II).
②當(dāng)x≥a時，，
若，則f(x)在[a,+∞]上的最小值為（如圖III）。
若，則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增。
則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。
綜上，當(dāng)時，f(x)最小值為。
當(dāng)時，f(x)最小值為a2+1。
當(dāng)時，f(x)最小值為。
點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。
題型8：二次函數(shù)的綜合問題
例15．（xx浙江文20）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，且。
21、(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；
(Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。
解析：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點為，則
∵點在函數(shù)的圖象上
∴
(Ⅱ)由
當(dāng)時，，此時不等式無解。
當(dāng)時，，解得。
因此，原不等式的解集為。
（Ⅲ）
①
②
?。?
ⅱ）
點評：本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。
例16．已知函數(shù)。
（1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)，已知
22、的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍。
解析：(1)
(2)設(shè)的圖像上一點，點關(guān)于的對稱點為，由點Q在的圖像上，所以
，
于是
即
（3）。
設(shè)，則。
問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立. 即
對恒成立. （*）
故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時，必有；而當(dāng)時，顯然不能保證（*）成立.），此時，由于二次函數(shù)的對稱軸，所以，問題等價于，即，
解之得：。
此時，，故在取得最小值滿足條件。
點評：緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力。
五．思維總結(jié)
1．函數(shù)零點的求法：
①（代數(shù)
23、法）求方程的實數(shù)根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。
2．學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。
由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。
（1）二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。
（2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。
2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版
