5、D.
5.將函數(shù)y＝2sin(ω＞0)的圖象分別向左、向右各平移個單位長度后，所得的兩個圖象對稱軸重合，則ω的最小值為________.
答案 2
解析 將函數(shù)y＝2sin，ω＞0的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，ω＞0；向右平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，ω＞0.因為平移后的對稱軸重合，所以ωx＋＝ωx－＋kπ，k∈Z，化簡得ω＝2k，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值為2.
考點二 三角函數(shù)的性質(zhì)
方法技巧 (1)整體思想研究性質(zhì)：對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考慮y＝Asin t的性質(zhì).
(2)數(shù)形結(jié)合思想研究性質(zhì).
6、
6.若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，則f(x)的最大值為( )
A.1 B.2 C.＋1 D.＋2
答案 B
解析 f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin，
∵0≤x<，∴≤x＋＜，∴f(x)max＝2.
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)對任意的x∈R，都有f(－x)＝f ，若函數(shù)g(x)＝sin(ωx＋φ)－2，則g的值是( )
A.1 B.－5或3 C. D.－2
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋φ)對任意的x∈R，都有f(－x)＝f ，
∴函數(shù)f(x)＝4cos(ωx＋
7、φ)的其中一條對稱軸為x＝，
∴ω×＋φ＝kπ(k∈Z)，則g＝sin－2＝sin kπ－2＝－2.
8.使函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)的θ的一個值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin是奇函數(shù)，
∴θ＋＝kπ，k∈Z，θ＝kπ－，k∈Z.
當k為奇數(shù)時，令k＝2n－1，n∈Z，f(x)＝－2sin 2x，滿足在上是減函數(shù)，此時，θ＝2nπ－，n∈Z，選項B滿足條件.
當k為偶數(shù)時，令k＝2n，n∈Z，f(x)＝2sin 2x，不滿足在上是減函數(shù).
8、
綜上，只有選項B滿足條件.故選B.
9.(xx·豫南九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－2cos2x，下列結(jié)論錯誤的是( )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期是π
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
D.函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝2sin 2x－1的圖象向右平移個單位長度得到
答案 D
解析 f(x)＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，故A正確；當x＝時，函數(shù)取最大值，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，故B正確；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－
9、≤x≤kπ＋(k∈Z)，由此可知函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C正確；函數(shù)g(x)＝2sin 2x－1的圖象向右平移個單位長度得到φ(x)＝2sin－1的圖象，不是函數(shù)f(x)＝2sin－1的圖象，故D錯誤.故選D.
10.關(guān)于函數(shù)f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的四個結(jié)論：
p1：函數(shù)的最大值為；
p2：把函數(shù)g(x)＝sin 2x－1的圖象向右平移個單位長度后可得到函數(shù)f(x)＝2(sin x－cos x) cos x的圖象；
p3：單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；
p4：圖象的對稱中心為，k∈Z.
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.
10、4個
答案 B
解析 因為f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，所以函數(shù)的最大值為－1，所以p1錯誤；
把g(x)＝sin 2x－1的圖象向右平移個單位長度后得到h(x)＝sin－1＝sin－1的圖象，所以p2錯誤；
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為，k∈Z，即，k∈Z，所以p3正確；
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以圖象的對稱中心為，k∈Z，所以p4正確，故選B.
考點三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合
要點重組 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx
11、＋φ)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個周期，一個最高點和與其相鄰的一個最低點的橫坐標之差的絕對值也是半個周期，兩個相鄰的最高點之間的距離是一個周期，一個對稱中心和與其最近的一條對稱軸之間的距離是四分之一個周期.
11.(xx·全國Ⅱ)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為( )
A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)
答案 B
解析 由題意將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋，得函數(shù)的對稱軸為x＝＋(k∈Z)，故選B.
12
12、.將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向右平移φ個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，則φ等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，滿足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨設(shè)此時y＝f(x)和y＝g(x)分別取得最大值與最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此時|x1－x2|＝＝.又0＜φ＜，故φ＝，故選D.
13.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是
13、2，4，8，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z
B.[6kπ－3，6kπ]，k∈Z
C.[6k，6k＋3]，k∈Z
D.[6k－3，6k]，k∈Z
答案 D
解析 因為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象與直線y＝a(0＜a＜A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2，4，8，所以T＝＝8－2＝6，且當x＝＝3時函數(shù)取得最大值，所以ω＝，×3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，所以f(x)＝Asin.由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z.
14.(xx·云南曲靖模擬)同時具有性質(zhì)：
14、①圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是；②在上是增函數(shù)的一個函數(shù)為( )
A.y＝sin B.y＝cos
C.y＝sin D.y＝cos
答案 C
解析 由圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是可知，＝，T＝π，選項B，C滿足；
由x∈，得2x－∈，函數(shù)y＝sin為增函數(shù)，符合題意.故選C.
15.函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，點A，B是最高點，點C是最低點，若△ABC是直角三角形，則f ＝________.
答案
解析 由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
所以AB＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2，
即AB＝
15、4，而T＝AB＝＝4，
解得ω＝.
所以f(x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝.
1.已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
答案 A
解析 由題意知，函數(shù)f(x)的周期T＝π，所以ω＝2，
即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.
把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)＝cos 2x的圖象，故選
16、A.
2.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則( )
A.f(x)在上單調(diào)遞減
B.f(x)在上單調(diào)遞減
C.f(x)在上單調(diào)遞增
D.f(x)在上單調(diào)遞增
答案 A
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，
∵f(x)的最小正周期為π，
∴＝π，即ω＝2.
又f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函數(shù)，
即φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z).
∵|φ|＜，取k＝0，則φ＝，∴f(x)＝cos 2x，且在上單調(diào)遞減，故選A.
3.(xx·安徽宿州一模)將函數(shù)f(x)＝
17、3sin的圖象向左平移個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象( )
A.關(guān)于點(－2，0)對稱 B.關(guān)于點(0，－2)對稱
C.關(guān)于直線x＝－2對稱 D.關(guān)于直線x＝0對稱
答案 B
解析 將函數(shù)f(x)＝3sin的圖象向左平移個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝3sin－4＝3sin－4＝3sin 2－4，f(x)＝3sin 2，故兩個函數(shù)的圖象關(guān)于點(0，－2)對稱，故選B.
4.若關(guān)于x的方程sin＝k在[0，π]上有兩解，則k的取值范圍是________.
答案 [1
18、，)
解析 ∵0≤x≤π，
∴－1≤sin≤，
又sin＝k在[0，π]上有兩解，
∴1≤k＜.
解題秘籍 (1)圖象平移問題要搞清平移的方向和長度，由f(ωx)的圖象得到f(ωx＋φ)的圖象平移了個單位長度(ω≠0).
(2)研究函數(shù)的性質(zhì)時要結(jié)合圖象，對參數(shù)范圍的確定要注意區(qū)間端點能否取到.
1.(xx·四川)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin 2x的圖象上所有的點( )
A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度
C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度
答案 D
解析 由題可知，y＝sin＝sin，
則只需把y＝s
19、in 2x的圖象向右平移個單位長度，故選D.
2.(xx·全國Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
答案 A
解析 由圖可知，T＝2＝π，所以ω＝2，
由五點作圖法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，
所以函數(shù)的解析式為y＝2sin，故選A.
3.先把函數(shù)f(x)＝sin的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，再把新得到的圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，當x∈時，函數(shù)g(x)的值域為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 依題意得g(
20、x)＝sin＝sin，當x∈時，2x－∈，sin∈，即g(x)的值域是.
4.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
5.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 由題圖可知，＝－＝，則T＝π，ω＝2，
又＝，所以f(
21、x)的圖象過點，
即sin＝1，又|φ|＜，可得φ＝，
所以f(x)＝sin.
由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2＝－＋＝，
所以f(x1＋x2)＝f?＝sin＝sin＝.
6.函數(shù)y＝sin在x＝2處取得最大值，則正數(shù)ω的最小值為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵函數(shù)y＝sin在x＝2處取得最大值，
∴2ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴ω＝kπ＋，k∈Z.
∴正數(shù)ω的最小值為，故選D.
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其圖象關(guān)于直線x＝0對稱，則( )
A.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單
22、調(diào)遞增
B.y＝f(x)的最小正周期為π，且在上單調(diào)遞減
C.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞增
D.y＝f(x)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，因為其圖象關(guān)于x＝0對稱，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos 2x.
其最小正周期T＝＝π，且在上單調(diào)遞減.
8.(xx·安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且對任意x∈R，都有f(x)≤f 成立，則f(x)圖象的一個對稱中心的坐標是( )
A
23、. B. C. D.
答案 A
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝.∵f(x)≤f 恒成立，∴f(x)max＝f ，則×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z).由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)圖象的對稱中心為(k∈Z)，當k＝0時，f(x)圖象的一個對稱中心的坐標為，故選A.
9.已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f ＝____.
答案
解析 如圖所示，可知＝－＝，所以T＝，
所以＝，所以ω＝2.因為圖象過點，
所以Ata
24、n＝0，即tan＝0.又|φ|＜，
所以φ＝.又圖象過點(0，1)，Atan＝1，
所以A＝1，所以f(x)＝tan.
所以f ＝tan＝tan ＝.
10.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
答案 (k∈Z)
解析 因為f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x，令2x∈(k∈Z)，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
11.已知函數(shù)y＝co
25、s x與函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它們的圖象有一個橫坐標為的交點，則φ的值是________.
答案
解析 由題意cos ＝sin，
即sin＝，＋φ＝kπ＋(－1)k·(k∈Z)，因為0≤φ＜π，所以φ＝.
12.(xx·吉林市普通中學(xué)調(diào)研)已知f(x)＝sin xcos x－sin2x，把f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象.若對任意實數(shù)x，都有g(shù)(a－x)＝g(a＋x)成立，則g＋g＝________.
答案 4
解析 因為f(x)＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－＝sin－，
把f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)＝sin＋＝sin 2x＋.
若對任意實數(shù)x，都有g(shù)(a－x)＝g(a＋x)成立，
則y＝g(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱，
所以2a＝＋kπ，k∈Z，故可取a＝，
有g(shù)＋g＝sin＋＋sin ＋＝4.
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