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1、2022年高考數學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.3 待定系數法(測)理
(一)選擇題(12*5=60分)
1. 1.若冪函數的圖象經過點,則的定義域為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意得,冪函數,所以定義域為.故選D.
2.若不等式對恒成立,則實數的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
3.【xx屆山東省濟寧市高三上學期期末】已知函數的圖象經過定點,若冪函數的圖象過點,則的值等于( )( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】
2、B
【解析】令,得.此時,所以函數.
由題意得,解得.選B.
4. 一條光線從點射出,經軸反射后與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為( )
(A)或 (B) 或 (C)或 (D)或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知,反射光線的反向延長線必過點 ,設反射光線所在直線的斜率為 ,則反身光線所在直線方程為: ,即:,又因為光線與圓相切, 所以, ,整理: ,解得: ,或 ,故選D.
5.【xx屆湖北省天門、仙桃、潛江高三上學期期末】函數的圖像如圖所示,則的值等于
A. B. C. D. 1
【答案
3、】B
【解析】由圖知 ,
所以 ,選B.
6.設斜率為2的直線過拋物線 的焦點F,且和y軸交于點A. 若為坐標原點)的面積為,則拋物線的方程為( )
A.y2=4x B.y2=8x C.y2=±4x D.y2=±8x
【答案】
【解析】試題分析:的焦點是,直線的方程為,令得,所以由的面積為得,,故選.
7.中心為原點,焦點在軸上,離心率為,且與直線相切的橢圓的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知雙曲線的左焦點為F,左頂點為C,過點F作圓O:的兩條切線,切點為A、B,若,則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B.
4、 C. D.
【答案】A
【解析】連結,則,由,得為正三角形,∴,又在中,可得,∴,∴,∴雙曲線的漸近線方程為.
9.【xx屆廣東省深圳市高三第一次調研】函數 (, 是常數, , )的部分圖象如圖所示,為得到函數,只需將函數的圖象( )
A. 向左平移個長度單位 B. 向右平移個長度單位
C. 向左平移個長度單位 D. 向右平移個長度單位
【答案】A
【解析】由圖象可得, , ,則時, 時,可得, ,將向左平移個單位,可得,所以為得到函數,只需將函數的圖象向左平移個長度單位,故選A.
10.【xx屆山東省菏澤市高三第一學期期末九校聯】函數 的部分圖像
5、如圖所示,則當時, 的值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
11.已知數列,,其中是首項為3,公差為整數的等差數列,且,,,則的前項和為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由題意,得,又由,,可得.因為公差為整數,所以,所以.因為,即,所以,所以數列是以8為首項,4為公比的等比數列,所以,故選C.
12.【xx屆華大新高考聯盟高三1月】拋物線的頂點在坐標原點,開口向上,其準線經過雙曲線 的一個頂點,則此拋物線的標準方程為 ( )
A.
6、B. C. D.
【答案】A
【解析】雙曲線的下頂點為,據此結合題意可知: ,
拋物線的方程為: ,即.
本題選擇A選項.
(二)填空題(4*5=20分)
13.【xx屆天津市部分區(qū)高三上學期期末】以點為圓心的圓與直線相切于點,則該圓的方程為__________.
【答案】
【解析】由題意設圓的方程為,
根據條件得,解得.
∴該圓的方程為.
答案:
14.已知數列是公差不為0的等差數列,,,稱等比數列,且, .
【答案】
【解析】
設數列的前項和為,公差為,則,可得 ①,又②,由①-②得,,故答案為.
15.已知函數 的圖像如圖所示,
7、則 .
【答案】0
【解析】∵由圖形可知A=2,∴函數的解析式是,∵在函數的圖象上,
16.【xx屆福建省閩侯第四中學高三上學期期末】已知拋物線: 的焦點也是橢圓: 的一個焦點,點, 分別為曲線, 上的點,則的最小值為__________.
【答案】2
(三)解答題(共6道小題,共70分)
17.已知各項都為正數的等比數列滿足是與的等差中項,且.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)設,且為數列的前項和,求數列的的前項和.
【答案】(I);(II).
【解析】
(Ⅰ)設等比數列的公比為,由題意知,且,
∴,解得,故.……………………………………………………
8、(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),得,所以.………………………………………………(7分)
∴,……………………………………………………………(8分)
故數列的前項和為
.……………………………………………………………………………(10分)
18.已知二次函數的最小值為,且.
(1)求的解析式;
(2)若在區(qū)間上不單調,求實數的取值范圍;
(3)在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實數的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】試題分析: (1)由, 根據二次函數的對稱性可得函數的對稱軸,又已知函數的最小值,可設二次函數的頂點式,再,得值,可得二次函數;(2)二次
9、函數在區(qū)間不單調,則對稱軸方程在此區(qū)間內,可得關于的不等式,解不等式即可;(3)將圖像問題轉化為不等式恒成立問題,即在區(qū)間上恒成立,再進一步轉化為二次函數的最小值大于的問題.可得的范圍.
試題解析: (1),故二次函數關于直線對稱,又由二次函數的最小值為,故可設 ,由,得,故.
(2)要使函數不單調,則,則.
(3)若在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,即在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,設,則只要,而,得.
19.【xx屆廣東省汕頭市高三上學期期末】已知圓的圓心在直線上,且圓經過曲線與軸的交點.
(1) 求圓的方程;
(2) 已知過坐標原點的直線與圓交兩點,若,求直線的方
10、程.
【答案】(1)(2)或.
試題解析:
(1)在中,
令,得,
解得或,
所以曲線與軸的交點坐標為.
設圓的方程為,
依題意得,
解得,
所以圓的方程為.
(2)解法一:
由題意知直線的斜率顯然存在,故設直線的斜率為,則直線的方程為.
由消去整理得
,
因為直線與圓交兩點,
所以.
設,
則
因為,
所以,
所以
解得或,
經檢驗得或滿足,
所以直線的方程為或.
解法二:
如圖取的中點,連接,
則
設
由,得
由
所以
解得
所以圓心到直線的距離等于2,
設直線的方程為,即
所以,
解得或,
所以直線的方程為
11、或.
解法三:
設直線的傾斜角為,則直線的參數方程為 (為參數).
把代入并整理得:
設對應的參數分別為,
則
因為,
所以, ,
所以
所以,
所以
所以,
所以或
所以直線的方程為或.
20.【xx屆山西省晉中市高三1月高考適應性調研】已知拋物線: ()的焦點是橢圓: ()的右焦點,且兩曲線有公共點
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓的左、右頂點分別為, ,若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于, 兩點,已知直線與相較于點,試判斷點是否在一定直線上?若在,請求出定直線的方程;若不在,請說明理由.
【答案】(1) (2
12、) 點在定直線上
【解析】試題分析:(1)由條件易得: ,從而得到橢圓的方程;
(2)先由特殊位置定出,猜想點在直線上,由條件可得直線的斜率存在, 設直線,聯立方程,消得: 有兩個不等的實根,利用韋達定理轉化條件即可.
(2)方法一
當點為橢圓的上頂點時,直線的方程為,此時點, ,則直線和直線,聯立,解得,
當點為橢圓的下頂點時,由對稱性知: .
猜想點在直線上,證明如下:
由條件可得直線的斜率存在,設直線,
聯立方程,
消得: 有兩個不等的實根,
,
設,則,
則直線與直線
聯立兩直線方程得(其中為點橫坐標)
將代入上述方程中可得,
即,
即證
13、將代入上式可得
,此式成立
∴點在定直線上.
方法二
由條件可得直線的斜率存在, 設直線
聯立方程,
消得: 有兩個不等的實根,
,
設,則,
,
由, , 三點共線,有:
由, , 三點共線,有:
上兩式相比得
,
解得
∴點在定直線上.
21.【xx屆廣東省深圳市高三第一次調研】已知橢圓的離心率為,直線與橢圓有且只有一個交點.
(1)求橢圓的方程和點的坐標;
(2) 為坐標原點,與平行的直線與橢圓交于不同的兩點, ,求的面積最大時直線的方程.
【答案】(1)橢圓的方程為,點的坐標為;(2)或.
【解析】試題分析:(1) 根據橢圓的離心率為,直
14、線與橢圓有且只有一個交點,結合性質 ,列出關于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得結果;(2) 設直線的方程為,設, ,聯立消去,利用韋達定理,弦長公式以及點到直線距離公式與三角形面積公式可得,利用二次函數的性質可得結果.
試題解析:(1)由,得,故.
則橢圓的方程為.
由,消去,得.①
由,得.
故橢圓的方程為.
所以,所以點的坐標為;
(2)設直線的方程為,
設, ,聯立消去,得,
則有,
由,得,
.
設原點到直線的距離為.
則.
所以.
所以當時,即時, 的面積最大.
所以直線的方程為或.
【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的
15、位置關系和數量積公式,屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上,還是兩個坐標軸都有可能;②設方程:根據上述判斷設方程或 ;③找關系:根據已知條件,建立關于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設方程,即為所求.
22.【xx屆海南省高三上學期期末】已知橢圓,拋物線的焦點均在軸上, 的中心和的頂點均為原點,從, 上分別取兩個點,將其坐標記錄于下表中:
3
-2
4
0
-4
(1)求的標準方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的垂直平分線過定點,求實數的取值范圍.
【答案】(1) : .;(2) .
【解析】試題分析:(1)先分析出點, 在拋物線上,點, 在橢圓上,利用待定系數法可得到的標準方程;(2)設, ,將代入橢圓方程,消去得,利用韋達定理以及中點坐標公式可得線段的垂直平分線的方程為,由點在直線上,得,結合判別式大于零可得實數的取值范圍.
(2)設, ,將代入橢圓方程,消去得,
所以,即.①
由根與系數關系得,則,
所以線段的中點的坐標為.
又線段的垂直平分線的方程為,
由點在直線上,得,
即,所以,
由①得,所以,即或,
所以實數的取值范圍是.