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1、2022年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含答案
一、本大題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的。
1. 在數(shù)列中,,且,則等于( )
(A)8 (B)6 (C)9 (D)7
2. 將一根長為3m的繩子在任意位置剪斷,則剪得兩段的長都不小于1m的概率是
( )
(A) (B) (C) (D)
3. 在△ABC中,若,則△ABC的形狀是( )
(A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)不能確定
4.
2、 若,則下列不等式中成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
5. 若實(shí)數(shù)x,y滿足則的最小值是( )
(A) (B)0 (C)1 (D)-1
6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出s的值為( )
(A)2
(B)
(C)3
(D)
7. 已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任意取出3件產(chǎn)品,設(shè)A表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”,B表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,C表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列結(jié)論正確的是( )
(A)B與C互斥
3、 (B)A與C互斥
(C)任意兩個事件均互斥 (D)任意兩個事件均不互斥
8. 口袋中裝有三個編號分別為1,2,3的小球,現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球,每次取一個球,確定編號后放回,連續(xù)取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為( )
(A) (B) (C) (D)
9. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(4,3),B是x正半軸上一點(diǎn),則△OAB中的最大值為( )
(A) (B) (C) (D)
10. 對于項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列和,記bk為中的最小值。給出下列判斷:
①若數(shù)列
4、的前5項(xiàng)是5,5,3,3,1,則;
②若數(shù)列是遞減數(shù)列,則數(shù)列也一定是遞減數(shù)列;
③數(shù)列可能是先減后增數(shù)列;
④若,C為常數(shù),則。
其中,正確判斷的序號是( )
(A)①③ (B)②④ (C)②③ (D)②
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。
11. 不等式的解集為________________。
12. 在△ABC中,,則a=___________。
13. 某校高一年級三個班共有學(xué)生120名,這三個班的男、女生人數(shù)如下表。
已知在全年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到二班女生的概率是0.2。則
5、x=_____;現(xiàn)用分層抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生,則應(yīng)在三班抽取的學(xué)生人數(shù)為____________。
一班
二班
三班
女生人數(shù)
20
x
y
男生人數(shù)
20
20
z
14. 甲、乙兩人各參加了5次測試,將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數(shù)相等,則m=________;乙得分的方差等于____。
15. 設(shè)是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)的和。若,則_______;
當(dāng)Sn取得最小值時,n=__________。
16. 當(dāng)x∈[1,9]時,不等式恒成立,則k的取值范圍是_________。
三、解答題:本
6、大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17. (本小題滿分13分)
在等比數(shù)列中,。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)是等差數(shù)列,且b2 =a2,b4=a4。求數(shù)列的公差,并計(jì)算的值。
18. (本小題滿分13分)
某市某年一個月中30天對空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下:
61 76 70 56 81 91 55 91 75 81
88 67 101 103 57 91 77 86 81 83
82 82 64 79 86
7、 85 75 71 49 45
(Ⅰ)完成下面的頻率分布表;
(Ⅱ)完成下面的頻率分布直方圖,并寫出頻率分布直方圖中a的值;
(Ⅲ)在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天,求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的概率。
分組
頻數(shù)
頻率
[41,51)
2
[51,61)
3
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
[91,101)
[101,111)
2
19. (本小題滿分13分)
在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,
8、C所對的邊,已知c=3,。
(Ⅰ)若sinB=2sinA,求a,b的值;
(Ⅱ)求a2+b2的最大值。
20. (本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求在區(qū)間[-1,2]上的值域;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)解關(guān)于x的不等式。
21. (本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列。
(i)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn;
(ii)求bn的最大值。
22. (本小題滿分13分)
對于數(shù)列A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3),定義“T變換”:T將數(shù)列A變換成數(shù)列B:b1,b2,b
9、3,其中,且。這種“T變換”記作B=T(A),繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”,得到數(shù)列C:cl,c2,c3,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時變換結(jié)束。
(Ⅰ)寫出數(shù)列A:2,6,4經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)若a1,a2,a3不全相等,判斷數(shù)列A:a1,a2,a3經(jīng)過不斷的“T變換”是否會結(jié)束,并說明理由;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列A:400,2,403經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小,求k的最小值。
【試題答案】
一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分。
1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8
10、. A 9. B 10. B
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分,
11. 12. 13. 24 9
14. 6,8.4 15. -11,6 16.
注:一題兩空的試題,第一空2分,第二空3分:
三、解答題:本大題共3小題,共36分,
17. 解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,
由已知, …………2分
兩式相除,得q=2。 …………4分
所以a1=2,
11、…………6分
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式。 …………7分
(Ⅱ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
則 ………………9分
解得………………11分
………………12分
…………13分
18. 解:(Ⅰ)如下圖所示。 ……………………4分
(Ⅱ)如下圖所示?!?分
由己知,空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71,81)的頻率為,所以a= 0.02?!?分
分組
頻數(shù)
頻率
…
…
…
[81,91)
10
[91,101)
3
…
…
…
(Ⅲ)設(shè)A表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天,這兩天中至少有
12、一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”,
由己知,質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91,101)內(nèi)的有3天,
記這三天分別為a,b,c,
質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的有2天,
記這兩天分別為d,e,
則選取的所有可能結(jié)果為:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)。
基本事件數(shù)為10。………………10分
事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”的可能結(jié)果為:
(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)。
基本事件數(shù)為7,
13、 ………………12分
所以 ………………13分
19. 解:(Ⅰ)因?yàn)閟in B=2sinA,由正弦定理可得b=2a,………………3分
由余弦定理c2= a2 +b2 -2abcosC, ………………5分
得9=a2 +4a2 -2a2, ………………7分
解得a2=3, ………………8分
所以
14、 ………………9分
(Ⅱ)由余弦定理c2= a2 +b2 -2abcosC,得ab=a2+b2-9,………………10分
又a2 +b2≥2ab, ………………11分
所以a2+b2≤18,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。 ………………12分
所以a2+b2的最大值為18。 ………………13分
20. 解:(Ⅰ)當(dāng)a=l時,,
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增
所以,在區(qū)間上的最小值為…………2分
又。
所以在區(qū)間上的最大值為…………………3分
15、在區(qū)間上的值域?yàn)椤?分
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,,在區(qū)間上是減函數(shù),符合題意……5分
當(dāng)時,若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),
則,且, ……………………7分
所以-1≤a<0, ……………………9分
所以a的取值范圍是[-1,0]
(Ⅲ)由已知,解不等式。
當(dāng)a=0時,x>-1。 ……………………10分
當(dāng)a>0時,,解得 ………………11分
當(dāng)a<0時,,
若,即時,; ………………12分
若,即時,或 ………………13分
若,即時
16、,或 ………………14分
綜上,當(dāng)a>0時,不等式的解集為;
當(dāng)a=0時,不等式的解集為;
當(dāng)-1
17、 ………………12分
所以,且,即最大, ………………13分
又。
所以,的最大值為 ………………14分
22. 解:(Ⅰ)依題意,5次變換后得到的數(shù)列依次為
4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2…………3分
所以,數(shù)列A:2,6,4經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列為2,0,2,……4分
(Ⅱ)數(shù)列A經(jīng)過不斷的“T變換”不可能結(jié)束
設(shè)數(shù)列D:d1,d2,d3,E:e1,e2,e3,F(xiàn):O,0,0,且T(D)=E,T(E)=F
依題意,所以
即非零常數(shù)列才能通過“T變換”結(jié)束。…………①…………6分
設(shè)(e為非零自然數(shù))。
為變換得
18、到數(shù)列E的前兩項(xiàng),數(shù)列D只有四種可能
而任何一種可能中,數(shù)列E的笫三項(xiàng)是O或2e。
即不存在數(shù)列D,使得其經(jīng)過“T變換”成為非零常數(shù)列?!凇?分
由①②得,數(shù)列A經(jīng)過不斷的“T變換”不可能結(jié)束。
(Ⅲ)數(shù)列A經(jīng)過一次“T變換”后得到數(shù)列B:398,401,3,其結(jié)構(gòu)為a,a+3,3。
數(shù)列B經(jīng)過6次“T變換”得到的數(shù)列分別為:3,a,a-3;a-3,3,a-6:a-6,a-9,3;3,a-12,a-9;a-15,3,a-12;a-18,a-15,3。
所以,經(jīng)過6次“T變換”后得到的數(shù)列也是形如“a,a+3,3”的數(shù)列,變化的是,除了3之外的兩項(xiàng)均減小18。 ……10分
因?yàn)?98 =18×22+2,所以,數(shù)列B經(jīng)過6×22 =132次“T變換”后得到的數(shù)列為2,5,3。
接下來經(jīng)過“T變換”后得到的數(shù)列分別為:3,2,1;1,1,2;0,1,1;1,0,1;1,1,0;0,1,1;1,0,1,……。
至此,數(shù)列和的最小值為2,以后數(shù)列循環(huán)出現(xiàn),數(shù)列各項(xiàng)和不會更小?!?2分
所以經(jīng)過1+132+3 =136次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和達(dá)到最小,
即k的最小值為136。 ………………13分