2022年高三數學上學期第一次五校聯考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數學上學期第一次五校聯考試題 文（含解析）新人教A版 本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘 【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復習的特點，穩(wěn)中有變，變中求新,適當調整了試卷難度，考查的知識涉及到函數、三角函數、數列、導數等幾章知識，重視學科基礎知識和基本技能的考察，同時側重考察了學生的學習方法和思維能力的考察，有相當一部分的題目靈活新穎，知識點綜合與遷移。試卷的整體水準應該說可以看出編寫者花費了一定的心血。但是綜合知識、創(chuàng)新題目的題考的有點少,試題以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎性充分體現了考素質，考基礎，考方法，考潛能的檢測功能。試題起到了引

2、導高中數學向全面培養(yǎng)學生數學素質的方向發(fā)展的作用. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 【題文】1．已知集合，集合，則 A． B． C． D． 【知識點】集合運算. A1 【答案解析】B 解析：集合B用列舉法表示為：，所以 故選B. 【思路點撥】先把集合B用列舉法表示，再根據交集定義求. 【題文】2．設復數，，若，則 A． B． C． D． 【知識點】復數運算. L4 【答案解析】A 解析：因為，所以 ，所以x=-2，故選A. 【思路點撥】利

3、用復數乘法求得，由復數是實數則復數的虛部為0得結論. 【題文】3．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是 A． B． C． D． 【知識點】空間中線面平行、垂直的判定與性質. G4 G5 【答案解析】D 解析：對于選項A: m,n平行、相交、異面都有可能；對于選項B: 可能平行、可能相交；對于選項C： 可能平行、可能相交；所以選項A、B、C都不正確，故選D. 【思路點撥】依次分析各選項得選項A、B、C都不正確，故選D. 【題文】4．已知向量，且，則的值為 A． B． C．5 D．13 【知識點】向量共線的意義；向量模的計算.

4、F1 F2 【答案解析】B 解析：由，且得12=-3x，即x=-4,所以 ，故選B. 【思路點撥】由向量共線得x=-4，從而得. 【題文】5．等差數列的前項和為，已知，則 A． B． C． D． 【知識點】等差數列. D2 【答案解析】C 解析：由得，所以，又 所以，從而d=2，所以，故選C. 【思路點撥】根據等差數列的前n項和公式，求得，再由求得d=2， 所以. 【題文】6．執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的= A． B． C． D． 【知識點】算法與程序框圖. L1 【答案解

5、析】D 解析：由程序框圖得循環(huán)過程中y的取值依次是這是一個以3為周期的周期數列，而xx除以3余1，所以輸出的y值是此數列的第一個數2，故選D. 【思路點撥】由程序框圖得y取值規(guī)律: 以3為周期的周期數列,由此得輸出的y值. 【題文】7．將函數的圖像向右平移個單位后所得的 圖像的一個對稱軸是 A． B． C． D． 【知識點】函數的圖像與性質. C4 【答案解析】A 解析：將函數的圖像向右平移個單位后所得： ，而對稱軸是使函數取得最值的x值，經檢驗成立，故選A. 【思路點撥】函數的圖像向右平移個單位后為， 再根據對稱軸是使函數取得最

6、值的x值得結論. 【題文】8．函數在區(qū)間[0，4]上的零點個數是 A．4 B．5 C．6 D． 7 【知識點】函數的零點. B9 【答案解析】C 解析：由得x-1=0或，又 所以，所以x=1或，所以函數在區(qū)間[0，4]上的零點個數是6，故選C. 【思路點撥】根據函數零點的意義:函數的零點就是函數值為0的方程的根，因此只需求方程解的個數即可. 【題文】9．已知直線，若曲線上存在兩點P、Q關于直線對稱，則的值為 A． B． C． D． 【知識點】直線與圓的位置關系. H4 【答案解析】D 解析：因為曲線是圓， 若圓上存在兩點

7、P、Q關于直線對稱，則直線， 過圓心（-1,3），所以，解得，故選D. 【思路點撥】將已知曲線方程配方得其為圓，若圓上存在兩點P、Q關于直線對稱，則 直線過圓心，由此得關于m的方程，從而求得m值. 【題文】10．已知函數是定義在R上的奇函數，，當時，有成立，則不等式的解集是 A． B． C． D． 【知識點】函數的奇偶性；導數的應用. B4 B12 【答案解析】A 解析：構造函數，則， 所以是上過點（1,0）的增函數.所以當時，從而得； 當時，從而得.由于函數是定義在R上的奇函數，所以 不等式的解集,故選A. 【思路點撥】構造

8、函數，確定函數是上過點（1,0）的增函數，由此得在（0,1）上，在上，由函數是定義在R上的奇函數，得不等式的解集. 二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分． （一）必做題（11～13題） 【題文】11. 函數的定義域為. 【知識點】函數的定義域. B1 【答案解析】 解析：自變量x滿足的條件為 所以函數的定義域為. 【思路點撥】根據函數有意義的條件列出關于x的不等式組求解. 【題文】12.一個幾何體的三視圖如圖， 則該幾何體的體積為 . 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】 解析：

9、由三視圖可知此幾何體 是底面半徑為2，高為3的半圓柱，所以其體積為 . 【思路點撥】由幾何體的三視圖得該幾何體的形狀，從而求該幾何體的體積. 【題文】13.設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為____. 【知識點】雙曲線與拋物線的幾何性質. H6 H7 【答案解析】 解析：根據題意知：雙曲線的離心率，一焦點, 所以，從而，又焦點在y軸上，所以，此雙曲線的方程為. 【思路點撥】先根據已知條件求得雙曲線的字母參數a,b,c的值，再由焦點位置求得雙曲線方程. （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題） 【題文】14. （幾

10、何證明選講選做題）如圖，是圓的切線，切點為，點在圓上， ，，則圓的面積為________． 【知識點】幾何證明. N1 【答案解析】 解析：連接OC，因為CD是圓O的切線， C為切點，所以,因為， 所以,作于H，則H為BC中點，因為BC=，所以 所以半徑OC=，所以圓的面積為. 【思路點撥】利用圓的切線的性質及垂徑定理，求得圓的半徑，從而求出圓面積. 【題文】15. （正四棱錐與球體積選做題）棱長為1的正方體的外接球的體積為________． 【知識點】多面體與球. G8 【答案解析】 解析：因為正方體外接球的直徑是正方體的對角線，而正方體的棱長為1，所以球

11、的直徑，棱長為1的正方體的外接球的體積為： . 【思路點撥】由正方體外接球的直徑等于正方體的對角線，求得正方體的外接球的直徑，進而求得球的體積. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 【題文】16．（本小題滿分12分） 已知函數 （1）求函數的最小正周期和值域； （2）若，求的值． 【知識點】二倍角公式；兩角和與差的三角函數；三角函數的性質；三角函數的求值. C6 C5 C3 C7 【答案解析】(1) 的最小正周期為，值域為;(2) . 解析：（1）由已知，得 -------4分- 所以的最小正

12、周期為，值域為. ……6分 （2）由（1）知，所以. …8分 所以， ……………………………12分 或由得：…………8分 兩邊平方得：，所以.……………12分 【思路點撥】(1)利用二倍角公式、兩角和與差的三角函數公式化簡已知函數得： ，由此求函數的最小正周期和值域； （2）由（1）及得，所以 . 【題文】17．（本小題滿分13分） 某中學高三年級從甲（文）、乙（理）兩個年級組各選出7名學生參加高校自主招生數學選拔考試，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生的平均分是85，乙組學生成績的中位數是83． （1）求和的值； （2）計算甲組7位學

13、生成績的方差； （3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生， 求甲組至少有一名學生的概率． 【知識點】用樣本估計總體（莖葉圖）；概率. I2 K2 【答案解析】（1）x=5,y=3;（2）. 解析：（1）∵甲組學生的平均分是85， ∴. ∴.……………1分 ∵乙組學生成績的中位數是83， ∴.……………………2分 （2）甲組7位學生成績的方差為： …………5分 （3）甲組成績在90分以上的學生有兩名，分別記為， 乙組成績在90分以上的學生有三名，分別記為. ……………6分 從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況： .…9分 其中

14、甲組至少有一名學生共有7種情況： .………11分 記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲組至少有一名學生”為事件， 則.…………………12分 答：從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲組至少有一名學生的概率為. 【思路點撥】（1）根據平均數、中位數的意義x、y的值；（2）90分以上的學生共5名，其中有2名甲組學生，3名乙組學生，從這5名學生中隨機取出2名學生的情況有10種，可用列舉法一一寫出來，其中甲組至少有一名學生共有7種情況，所以從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，其中甲組至少有一名學生的概率是. 【題文】18．（本小題滿分13分） 如圖甲，在平面

15、四邊形ABCD中，已知，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點． （1）求證：DC平面ABC； （2）設，求三棱錐A－BFE的體積． 【知識點】空間位置關系的判定與性質； 幾何體體積的計算. G1 G4 G5 【答案解析】(1)略；（2） 解析：（1）證明：在圖甲中，∵且 ∴ ,即………………1分 又在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．…………………………3分 ∵，∴DC⊥BC…………………………4分 又由…………………………5分

16、 ∴DC平面ABC．…………………………6分[] （2）∵點E、F分別為AC、AD的中點∴EF//CD………………7分 又由（1）知，DC平面ABC ∴EF⊥平面ABC …………………………8分 于是EF即為三棱錐的高， ∴……………9分 在圖甲中，∵, ∴, 由得 ,……………11分 ∴∴………12分 ∴………………13分 （若有其他解法，可視情況酌情給分） 【思路點撥】（1）根據線面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到兩條相交直線都與直線DC垂直即可，顯然平面ABC中的兩條相交直線是BC和BA；（2）∵點E、F分別為AC、AD的中點，∴EF//CD，又由（1）知，

17、DC平面ABC，∴EF⊥平ABC ， =. 【題文】19．（本小題滿分14分） 各項均不相等的等差數列的前四項的和為，且成等比數列． （1）求數列的通項公式與前n項和； （2）記為數列的前n項和，若對任意的正整數n都成立，求實數λ的最小值． 【知識點】等差數列及其前n項和；數列求和；恒成立問題. D2 D4 【答案解析】(1) ，;(2) .解析：（1）設數列的公差為，由已知得……………………2分 解得或 由數列的各項均不相等，所以…………3分 所以，解得. …………………………4分 故，……………………6分 （2）因為…………………8分 所以………

18、……10分 因為對恒成立。即，，對恒成立。 等價于對恒成立?！?1分 又， 且在時取等號……………13分 所以實數的最小值為. …………14分 【思路點撥】(1)由已知條件獲得關于首項和公差的方程組，解方程組，求得首項和公差， 從而求得數列的通項公式與前n項和；（2）由裂項求和法求得， 因為對恒成立. 即，，對恒成立. 等價于對恒成立. 又， 且在時取等號，所以實數的最小值為. 【題文】20．（本小題滿分14分） 已知橢圓：（）的上頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．若有一個菱形的頂點、在橢圓上，該菱形對角線所在直線的斜率為． （1）求橢圓的方程；

19、 （2）當直線過點時，求直線的方程； （3）當時，求菱形面積的最大值. 【知識點】橢圓及其幾何性質；直線的方程；直線與圓錐曲線. H5 H1 H8 【答案解析】(1) ; (2) ; (3) 解析：（1）依題意，…………………………1分 解，得，…………………………2分 所以，，…………………………3分 于是橢圓的方程為?！?分 （2）由已知得直線：，…………………………5分 設直線：，、…………………………6分 由方程組得，………………7分 當時， AC的中點坐標為，，……8分 因為是菱形，所以的中點在上， 所以，解得

20、，滿足，…………9分 所以的方程為?！?0分 （3）因為四邊形為菱形，且，所以， 所以菱形的面積，………………11分 由（2）可得 ………13分 又因為，所以當且僅當時，菱形的面積取得最大值， 最大值為?！?4分 【思路點撥】(1)根據題意得，解得a,b值，進而得到橢圓的方程；（2）利用直線方程的點斜式得直線BD方程y=-x+1. 設直線AC:y=x+b,代入橢圓方程，由韋達定理得用b表示的線段AC的中點坐標，此坐標滿足直線BD方程，求得b，從而得到直線AC的方程. （3）在菱形ABCD中，由知：，所以菱形ABCD的面積可用對角線AC的長表示為，由弦長公式得關于

21、b的表達式，即得到菱形ABCD的面積S關于b的函數，求此函數最大值即可. 【題文】21．（本小題滿分14分） 已知函數，． （1）若，判斷函數是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由； （2）設函數，若至少存在一個，使得成立，求實數a的取值范圍； （3）求函數的單調區(qū)間． 【知識點】導數的應用. B12 【答案解析】 解析：（1）當時，，其定義域為（0，+￥）. 因為，…………1分 所以在（0，+￥）上單調遞增，……………2分 所以函數不存在極值. ………………3分 （2）由存在一個，使得成立， 等價于，即成立……………4分 令，等價于“當

22、時，”.…5分 因為，且當時，， 所以在上單調遞增，……………7分 故，因此. ………8分 （3）函數的定義域為． …………9分 當時，因為在（0，+￥）上恒成立， 所以在（0，+￥）上單調遞減.…10分 當時，在上， 方程與方程有相同的實根. 時，D>0，可得，， 且……………11分 因為時，，所以在上單調遞增； 因為時， ，所以在上單調遞減； 因為時，，所以在上單調遞增；……………12分 ②當時，，所以在（0，+￥）上恒成立， 故在（0，+￥）上單調遞增. ……………13分 綜上所述，當時，的單調減區(qū)間為（0，+￥）； 當時，的單調增區(qū)間為與； 單調減區(qū)間為； 當時，的單調增區(qū)間為（0，+￥）.……………14分 【思路點撥】（1）當a=1時，，x>0，則在上恒成立，所以在（0，+￥）上單調遞增，所以函數不存在極值. （2）至少存在一個，使得成立，即至少存在一個，使 ，即在 有解，令，，則 ，利用導數求得即可；（也可用數形結合法：至少存在一個，使，也就是過定點（0,0）的直線y=ax的圖像在區(qū)間上，有在函數 上方的部分，所以a>0. （3）先求函數的定義域及導函數，再討論a的取值條件得大于零或小于零的x取值范圍，得函數的單調區(qū)間.