2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 數(shù)列 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 數(shù)列 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理 2．轉(zhuǎn)化法． 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并． 3．錯位相減法． 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． 4．倒序相加法． 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，把它與原數(shù)列相加，若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和． 5．裂

2、項相消法． 利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和． 1．應(yīng)用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號，實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推理予以解決． 2．?dāng)?shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟上涉及利潤、成本、效益的增減，解決此類題的關(guān)鍵是建立一個數(shù)列模型{an}，利用該數(shù)列的通項公式、遞推公式或前n項和公式求解． 3．解應(yīng)用問題的基本步驟． 　　　　　　　　　　　　　　　　

3、 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)． (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(√) (2)當(dāng)n≥2時，＝.(√) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋……＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(×) (4)數(shù)列的前n項和為n2＋.(×) (5)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝.(√) (6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋……＋sin288°＋sin289°＝44.5

4、.(√) 1．(xx·福建卷)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(D) A．6　　　　　　　　　　　　B．7　　　 C．8　　　　　　　　　　　　D．9 解析：不妨設(shè)a>b，由題意得 ∴ a>0，b>0， 則a，－2，b成等比數(shù)列，a，b，－2成等差數(shù)列， ∴ ∴ ∴ p＝5，q＝4，∴ p＋q＝9. 2．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(A) A．5 B．7 C．9

5、 D．11 解析：解法一　∵ a1＋a5＝2a3，∴ a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴ a3＝1， ∴ S5＝＝5a3＝5，故選A. 解法二　∵ a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴ a1＋2d＝1， ∴ S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故選A. 3．在數(shù)列{an}中，an＝，則： (1)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________； (2)數(shù)列{Sn}的前n項和Tn＝__________． 解析：(1)an＝＝＝× Sn＝×[(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＋…＋n×(n

6、＋1)×(n＋2)－(n－1)×n×(n＋1)]＝. (2)Sn＝ ＝ ＝×[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)] Tn＝×[(1×2×3×4－0×1×2×3)＋(2×3×4×5－1×2×3×4)＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)×6(n＋3)－(n－1)×n×(n＋1)×(n＋2)]＝. 答案：(1) (2) 4．(xx·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{}前10項的和為________． 解析：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得

7、 an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又∵ a1＝1，∴ an＝(n≥2)． ∵ 當(dāng)n＝1時也滿足此式，∴ an＝(n∈N*)． ∴ ＝＝2(－)． ∴ S10＝2(－＋－＋…＋－) ＝2×(1－)＝. 答案： 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若a1＋a2 012＝1，a2 013＝－1 006，則使Sn取最值時n的值為(D) A．1 005 B．1 006 C．1 007 D．1 006或1 007 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－

8、11，a3＋a7＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n＝(D) A．9 B．8 C．7 D．6 3．等比數(shù)列{an}前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是(C) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 解析：∵a3a6a18＝a1q2·a1q5·a1q17＝(a1q8)3＝(a9)3為定值． ∴T17＝a1a2…a17＝(a1q8)17＝(a9)17也是定值． 4．已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時，log2a1＋log2a3＋…＋log

9、2a2n－1＝(C) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a＝22n，an＞0，則an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故選C. 5．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項， S8＝32，則S10＝(C) A．18 B．24 C．60 D．90 解析：由a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32，得2a1＋7d＝8，則d＝2，a

10、1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故選C. 6．已知函數(shù)f(x)＝把函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為(B) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝n－1 C．a(chǎn)n＝n(n－1) D．a(chǎn)n＝2n－2 解析：若0

11、

12、2x－1和y＝x在0

13、(n，n＋1]上的根依次為3，4，…，n＋1. 綜上所述方程f(x)－x＝0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，n＋1， 其通項公式為an＝n－1.故選B. 二、填空題 7．對正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an，則的前n項和是2n＋1－2． 解析：曲線y＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，曲線導(dǎo)數(shù)為y′＝nxn－1－(n＋1)xn，所以切線斜率為k＝n2n－1－(n＋1)2n＝－(n＋2)2n－1，切點為(2，－2n)，所以切線方程為y＋2n＝－(n＋2)2n－1(x－2)，令x＝0得，y＋2n＝(n＋2)2n，即y＝(n＋

14、1)2n，所以an＝(n＋1)2n，所以＝2n，是以2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝2n＋1－2. 8．等比數(shù)列{an}的公比q＞0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，則{an}的前4項和S4＝． 解析：由an＋2＋an＋1＝6an得：qn＋1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q＞0，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝，S4＝＝. 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求a1，a2的值． (2)設(shè)a1＞0，數(shù)列的前n項和為Tn，當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值． 解析：(1)取

15、n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，① 取n＝2，得a＝2a1＋2a2，② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③ 若a2＝0, 由①知a1＝0， 若a2≠0，易知a2－a1＝1.④ 由①④得：a1＝＋1， a2＝2＋或a1＝1－，a2＝2－； 綜上所述，a1＝0，a2＝0或a1＝1＋，a2＝2＋或a1＝1－，a2＝2－. (2)當(dāng)a1>0時，由(1)知， a1＝＋1，a2＝2＋； 當(dāng)n≥2時，有(2＋)an＝S2＋Sn， (2＋)an－1＝S2＋Sn－1. 兩式相減得(1＋)an＝(2＋)an－1. 所以an＝an－1(n≥2)． 所以an＝a1

16、()n－1＝(＋1)×()n－1. 令bn＝lg，則bn＝1－lg()n－1＝lg. 又b1＝1，bn－bn－1＝＝－lg 2， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項，－lg 2為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列． 則b1>b2>…>b7＝lg＞lg 1＝0. 當(dāng)n≥8時，bn≤b8＝lg ＜lg 1＝0. 所以，n＝7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7＝＝7－lg 2. 10．(xx·北京卷)已知數(shù)列{an}滿足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1，2，…)．記集合M＝{an|n∈N*}． (1)若a1＝6，寫出集合M的所有元素； (2)若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)

17、，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)； (3)求集合M的元素個數(shù)的最大值． 解析：(1)6，12，24. (2)證明：因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)． 由an＋1＝可歸納證明對任意n≥k，an是3的倍數(shù)． 如果k＝1，則M的所有元素都是3的倍數(shù)． 如果k＞1，因為ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍數(shù)，于是ak－1是3的倍數(shù)．類似可得，ak－2，…，a1都是3的倍數(shù)． 從而對任意n≥1，an是3的倍數(shù)，因此M的所有元素都是3的倍數(shù)． 綜上，若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù)． (3)由a1≤36，an＝可歸納證明an≤36(n＝2，3，…)． 因為a1是正整數(shù)，a2＝所以a2是2的倍數(shù)． 從而當(dāng)n≥3時，an是2的倍數(shù)． 如果a1是3的倍數(shù)，由(2)知對所有正整數(shù)n，an是3的倍數(shù)． 因此當(dāng)n≥3時，an∈{12，24，36}，這時M的元素個數(shù)不超過5. 如果a1不是3的倍數(shù)，由(2)知對所有正整數(shù)n，an不是3的倍數(shù)． 因此當(dāng)n≥3時，an∈{4，8，16，20，28，32}，這時M的元素個數(shù)不超過8. 當(dāng)a1＝1時，M＝{1，2，4，8，16，20，28，32}有8個元素． 綜上可知，集合M的元素個數(shù)的最大值為8.