2022年高中數(shù)學競賽教材講義 第十四章 極限與導數(shù)

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1、2022年高中數(shù)學競賽教材講義 第十四章 極限與導數(shù) 一、 基礎知識 1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當n>m且n∈N時，恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。 2．極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab, 3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f

2、(x)在x=x0處連續(xù)。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．導數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導數(shù)(x0)等于曲線y=f(x

3、)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6．幾個常用函數(shù)的導數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8） 7．導數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)≠0,則 （1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。 8．復合函數(shù)求導法：設函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導，f(u)在對應的點u(u=(x))處可導，則復合函數(shù)y=f[(x)]在點x處可導，且（f[(x)]=. 9.導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a

4、,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則 11.極值的第一充分條件：設f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導，（1）若當x∈(x-δ,x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當x∈(x0-δ，x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極大值。 12．極值的第二充分條件：設f(x)在x0的某領域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導，在x=x0處二階可導，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，

5、則f(x)在x0處取得極大值。 13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使 [證明] 若當x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，.若當x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。 14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，則存在ξ∈(a,b)，使 [證明] 令F

6、(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即 15．曲線凸性的充分條件：設函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導數(shù)，（1）如果對任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16．琴生不等式：設α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(x

7、n). 二、方法與例題 1．極限的求法。 例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4） [解]（1）=； （2）當a>1時， 當0

8、的連續(xù)性。 [解] 當x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當x∈[1,2)時，令x+1=t，則當t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。 3．

9、利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 [解] 因為點(2,0)不在曲線上，設切點坐標為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0. 4．導數(shù)的計算。 例5 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。 [解] （1）3cos(3x+1). (2) （3） （4） （5） 5．用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6 設a>0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)

10、(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 [解] ，因為x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0. （1）當a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單

11、調(diào)遞增，而當2-a-2x. [證明] 設f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當時，（因為0f(0)=0，即sinx+tanx>2x. 7.利用導數(shù)討論極值。 例8 設f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時

12、f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。 [解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得 所以. 所以當x∈(0,1)時，，所以f(x)在(0,1]上遞減； 當x∈(1,2)時，，所以f(x)在[1，2]上遞增； 當x∈(2,+∞)時，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。 綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。 例9 設x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 [解] 首先，當x∈[0,π],y

13、∈[0,1]時， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=, 當時，因為cosx>0,tanx>x，所以； 當時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以； 又因為g(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。 又因為0<(1-y)xg(x)，即， 又因為，所以當x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0. 其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0. 當y=1時，f(x,y)=-

14、sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx≥0. 綜上，當且僅當x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。 三、基礎訓練題 1．=_________. 2．已知，則a-b=_________. 3．_________. 4．_________. 5．計算_________. 6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________. 7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導，且，則_________. 8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標為_________. 9．函數(shù)f(x)=x-

15、2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________. 10．函數(shù)的導數(shù)為_________. 11．若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)a. 12.求sin290的近似值。 13．設0

16、點(x0,y0)的切線方程為_________. 8．當x>0時，比較大?。簂n(x+1) _________x. 9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_________，最小值為_________. 10．曲線y=e-x(x≥0)在點M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_________. 11．若x>0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導。導函數(shù)是減函數(shù)，且>0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切

17、線方程，另設g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當x∈(0,+∞)時，g(x)≥f(x)；（3）若關于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關系。 13.設各項為正的無窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+). 五、聯(lián)賽一試水平訓練題 1．設Mn={（十進制）n位純小數(shù)0?只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________. 2．若(1-2x)9展開式的第3項為288，則_________. 3．設f(x)

18、,g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時， ，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________. 4．曲線與的交點處的切線夾角是_________. 5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________. 6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________. 7．當x∈(1,2]時，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_________. 8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[]<0恒成立，則實數(shù)

19、m取值范圍是_________. 9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設01.