新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 數(shù)列求和

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 數(shù)列求數(shù)列求和和第1頁/共42頁11352192462.10nnn 已知，則 的值為299.110nnn n 由已知得，解得解析：9第2頁/共42頁 41.12nnnanSan nS 數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，若，則等于4541111+1111111114(1)()()()1223344555naSn nnn 因?yàn)椋核馕鲆缘?頁/共42頁11111,2345248163.n數(shù)列， ， ， 的前 項(xiàng)和為111-+122nn n 4.1+22+322+423+n2n-1=_ (n-1)2n+1 第4頁/共42頁5.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和

2、Sn=n2-10n(n=1,2,3，)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是第_項(xiàng) an=2n-113 解析：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-9；當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2-10(n-1)=2n-11，a1=-9也符合上式，an=2n-11(nN*)由nan=2n2-11n=2(n- )2-知，當(dāng)n=3時(shí)nan為數(shù)值最小的項(xiàng)114第5頁/共42頁用公式法求和用公式法求和 【例1】已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*，p，q是常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列 (1)求p，q的值； (2)求數(shù)列xn的前n項(xiàng)和Sn.第6頁/共42頁【解析】

3、(1)因?yàn)閤13，xn2npnq，所以x424p4q16p4q，x525p5q32p5q. 因?yàn)閤1，x4，x5成等差數(shù)列，所以2x4x1x5， 即32p8q32p5q3，所以q1.又x12pq3，所以p1. 23122(2222 )(123)2 1 211221 222nnnnnnxnSnn nn n 因?yàn)?，所以 第7頁/共42頁 本題考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，主要考查運(yùn)算能力和推理能力可以直接代入等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和的前提是由已知條件求得首項(xiàng)和公差或公比，因此，要求不僅要牢記公式，還要計(jì)算準(zhǔn)確無誤第(2)問如果先寫出x13，x26，x311，x420，再來找規(guī)律較難，用拆項(xiàng)

4、分組求和則要好得多 第8頁/共42頁【變式練習(xí)1】在等比數(shù)列an中，a2a518，a3a432，并且an1an(nN*) (1)求a2、a5以及數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tnlga1lga2lga3lgan，求當(dāng)Tn最大時(shí)，n的值 第9頁/共42頁 3425255225251114116*118321623216.122132 ( )22()nnnnaaaaaaaaaaaaaqaa qa qqaanN因?yàn)?，所以由已知條件可得，并且，解得 ， ，從而其首項(xiàng) 和公比滿足：故數(shù)列的通項(xiàng)公【式為 解析】第10頁/共42頁 6*222lglg2(6)lg2()lg5lg24lg23lg2(6)lg2

5、5432(6)lg2561lg2(11)lg2.221lg2011256.nnnnnnannaTnnnnnnnnTTn N因?yàn)?，數(shù)列是等差數(shù)列，所以 由于，當(dāng)且僅當(dāng)最大時(shí)，最大，所以，當(dāng)最大時(shí)， 或第11頁/共42頁裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法求和 212231.1112()212nnnnnnanSSnana aa aaa已知數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ， 求證：數(shù)列為等差數(shù)列；求和：【例 】第12頁/共42頁【解析】(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1.顯然a11滿足an2n1，所以an1an2，所以數(shù)列an為等差數(shù)列 第13頁/共42頁 11223111223 21111()(

6、2)2 23211111 111 11111()()()2 132 352 23211.21nnnnaannnnna aa aaannnn 因?yàn)?，所以L第14頁/共42頁本題主要考查(1)Sn與an的遞推關(guān)系；(2)裂項(xiàng)求和法 第15頁/共42頁 1122123164642111132.4nnnnnnnaanSbbb SbaabSSS等差數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)， ，其前項(xiàng)和為 ，等比數(shù)列中， ，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列求 與 ；證明：【變式練習(xí) 】第16頁/共42頁 13613 (1)22113(1).642. *(6)64(6)6461,2,3,6*28.32(1)218.nnnnnnddnn

7、dnnnnadbqdandbqbaqqbaqs bd qd qqddqannb設(shè)的公差為 ，的公比為 ，則 為正整數(shù)， ， 依題意有由 知 為正有理數(shù)，故 為 的因子之一，解得 ， 故 ， 【解析】第17頁/共42頁 12235(21)(2)1111111+1 32 43 5211111111(1)232435211113(1+).22124nnSnn nSSSn nnnnn 證明：因?yàn)?，所以 LL第18頁/共42頁錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和 【例3】求S12x3x24x3(n1)xn的值 第19頁/共42頁 2323123111121011221123(1)23011234(1)23(1

8、).(1)1(1)1(1)111nnnnnnnnxSnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx SxxxxnxxnxxxSx 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以 由得 ，所以 【解析】111nnxx 第20頁/共42頁 通過觀察，本題有如下特征：系數(shù)成等差數(shù)列、字母成等比數(shù)列，即它是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列，具備用錯(cuò)位相減法的條件；同時(shí)本題也有陷阱：并沒有確定x是否為0或1，故容易貿(mào)然地用錯(cuò)位相減法求解，而需先分類討論在求解過程中還要注意，在等比數(shù)列求和時(shí)，項(xiàng)數(shù)也容易搞錯(cuò) 第21頁/共42頁【變式練習(xí)3】設(shè)an為等比數(shù)列，Tnna1(n1)a22an1a

9、n，已知T11，T24. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式 第22頁/共42頁 11221121221231231112222.2(1 2(2) 22 2222(1) 2(2) 22 22 .(2222 )2 1 22(2)1 2nnnnnnnnnnnnnaqaTaTaaqaaTnnnTnnnTnnn 設(shè)等比數(shù)列的公比為 ， ， ，所以 ，所以 因?yàn)?，所以 由得 【解析】第23頁/共42頁分組分解法求和分組分解法求和 23.21()22().4nnnnnnnnnnnanSaanccncnT已知數(shù)列的前 項(xiàng)和 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；是奇數(shù)若數(shù)列滿足 ，是偶數(shù)求數(shù)列的前 項(xiàng)和【

10、例 】第24頁/共42頁 2221*1124113123123(1)3(1)221(2)21()21()(222)4 1 4246(1)1 4nnnnnnnnnnnSnnnnaSSnnnaSannnnTaaan NN因?yàn)?，所以 ，又 適合上式，所以 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)， 【解析】第25頁/共42頁224131221111422(1) 22(21)223434(21).43()(222 )4 1 4(24)1 414242 222(21)(21)22343nnnnnnnnnnnnnnTaaann nnnn 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 第26頁/共42頁 分組分解法是通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的分析研究，將數(shù)列

11、分解為若干個(gè)能夠求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列和的一種求和方法如本題將數(shù)列分成奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，分別應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求解 第27頁/共42頁【變式練習(xí)4】求值：Sn1234(1)n1n. 第28頁/共42頁(12)(34)(1)21(23)(45)(1)11122()21()2nnnnnSnnnSnnnnnnSn當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)所以 為奇數(shù)【解析】第29頁/共42頁 2122221_._1nnnnanSaaaL數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則1(41)3n 111212221221212224.11444(41)3nnnnnnnnnnnnnSaSSaaa

12、a因?yàn)?，所以 ，所以 所【以 】解析第30頁/共42頁 1.0211nnaannnn數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，若其前 項(xiàng)的和為 ，則 的值為_12012111( 2 1)( 32)(1)1 110120.nnnannnnSaaannnn因?yàn)?，所以 ，所以 【解析】第31頁/共42頁 13121.nnnnnnnanbTba anT若，設(shè)，是數(shù)列的前 項(xiàng)和，則69nn 1111()21 232 21231 111111()2 355721231 11().2 32369nnbnnnnTnnnnn 因?yàn)?，析：所解以?2頁/共42頁4.求值：10029929829722212_5050 222222(

13、10099 )(9897 )(21 )1009998972110010015050.2 原式 【解析】第33頁/共42頁 11010302010122(21)0.12.5.nnnnnaanSSSSanSnT 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng) ，前項(xiàng)和為 ，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求的前 項(xiàng)和第34頁/共42頁 103020201010102010201010102010112 ()2().002111.( ) .221122211(1)1221.12212nnnnnnnnnSSSSqSSSSaSSqqaaaqnSnSn由已知得，即因?yàn)?，所以，所以，所以 從而 因?yàn)槭鞘醉?xiàng) ，公比 的等比數(shù)列，故 ， 【解析】

14、第35頁/共42頁2231211112(12)(),2221121(12)()2222221111(12)()22222211112214212112.222nnnnnnnnnnnnnnnSnnTnTnnnTnnn nnn nnT 則數(shù)列的前 項(xiàng)和 前兩式相減，得 即 第36頁/共42頁 本節(jié)內(nèi)容是在等差數(shù)列、等比數(shù)列等特殊數(shù)列求和的基礎(chǔ)上，將兩個(gè)(或幾個(gè))數(shù)列復(fù)合而成的數(shù)列求和，主要從四個(gè)方面考查，一是直接用等差、等比數(shù)列求和公式來求；二是拆分成等差、等比數(shù)列或其他特殊數(shù)列來求；三是倒序相加來求；四是兩邊乘以同一個(gè)數(shù)后，用錯(cuò)位相減法來求要求在熟記特殊數(shù)列求和公式的基礎(chǔ)上，觀察數(shù)列的特征，選擇

15、恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還會(huì)要求分類討論 第37頁/共42頁 1一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列一般用錯(cuò)位相減法求和其做法是：在等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后兩式相減，右邊中間的(n1)項(xiàng)變成等比數(shù)列，很容易求和，同時(shí)注意第一個(gè)式子的首項(xiàng)和第二個(gè)式子的末項(xiàng)的符號(hào)，最后將左邊的系數(shù)除到右邊即可第38頁/共42頁 2在求Sx2x23x34x4(n1)xn1這類問題時(shí)要注意： (1)對(duì)x分類討論； (2)項(xiàng)數(shù)是多少 3裂項(xiàng)相消法求和是先將通項(xiàng)(最后一項(xiàng))分裂成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))的差，通過相加過程中，中間的項(xiàng)相互抵消，最后剩下有限項(xiàng)求和 第39頁/共42頁 4倒序相加求和法的依據(jù)是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，即與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和(即a1ana2an1)，可采用把正著寫的式子與倒過來寫的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和 第40頁/共42頁 5( )(21)( )(2 )nnnnnababf n nkag n nk分組求和法：有一類數(shù)列，本身既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列，但若適當(dāng)拆分，可以分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，再合并形如：，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列； 第41頁/共42頁