八年級數(shù)學 用函數(shù)的觀點看一元二次方程教案1

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1、八年級數(shù)學 用函數(shù)的觀點看一元二次方程教案1 教學目標： 1．通過探索，使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。 2．使學生能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實際問題，提高學生用數(shù)學的意識。 3．進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。 重點難點： 重點：使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實際問題是教學的重點。 難點：進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學的難點． 教學過程： 一、引言 在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關的問

2、題，如拱橋跨度、拱高計算等，利用二次函數(shù)的有關知識研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實的意義。本節(jié)課，請同學們共同研究，嘗試解決以下幾個問題。 二、探索問題 問題1：某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m。水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。 根據(jù)設計圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式是y＝－x2＋2x＋。 (1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不計其他的因素，那么水池至少為多少時，才能使噴出的水流都

3、落在水池內(nèi)? 教學要點 1．讓學生討論、交流，如何將文學語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，得出問題(1)就是求函數(shù)y＝－x2＋2x＋最大值，問題(2)就是求如圖(2)B點的橫坐標； 2．學生解答，教師巡視指導； 3．讓一兩位同學板演，教師講評。 問題2：一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測得，當水面寬AB＝1.6m時，涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時，離開水面1.5m處，涵洞寬ED是多少?是否會超過1m? 教學要點 1．教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長度。在如圖(3)的直角坐標系中，即只要求出D點的橫坐標。因為點D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點

4、D的縱坐標，所以利用拋物線的函數(shù)關系式可以進一步算出點D的橫坐標。 2．讓學生完成解答，教師巡視指導。 3．教師分析存在的問題，書寫解答過程。 解：以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。 這時，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，開口向下，所以可設它的 函數(shù)關系式為：y＝ax2 (a＜0) (1) 因為AB與y軸相交于C點，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以點B的坐標是(0.8，－2.4)。 因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－ 因此，函數(shù)關系式是 y＝－

5、x2 (2) 因為OF＝1.5m，設FD＝x1m(x1＞0)，則點D坐標為(x1，－1.5)。因為點D的坐標在拋物線上，將它的坐標代人(2)，得 －1.5＝－x12 x12＝ x1＝± x1＝－不符合假設，舍去，所以x1＝。 ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m) 所以涵洞ED是m，會超過1m。 問題3：畫出函數(shù)y＝x2－x－3/4的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題。 (1)圖象與x軸交點的坐標是什么； (2)當x取何值時，y＝0?這里x的取值與方程x2－x－＝0有什么關系? (3)你能從中得到什么啟發(fā)? 教學要點 1．先讓學生回顧函

6、數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的畫法，按列表、描點、連線等步驟畫出函數(shù)y＝x2－x－的圖象。 2．教師巡視，與學生合作、交流。 3．教師講評，并畫出函數(shù)圖象，如圖(4)所示。 4．教師引導學生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問題，得到圖象與x軸交點的坐標分別是(－，0)和(，0)。 5．讓學生完成(2)的解答。教師巡視指導并講評。 6．對于問題(3)，教師組織學生分組討論、交流，各組選派代表發(fā)表意見，全班交流，達成共識：從“形”的方面看，函數(shù)y＝x2－x－的圖象與x軸交點的橫坐標，即為方程x2－x－＝0的解；從“數(shù)”的方面看，當二次函數(shù)y＝x2－x－的函數(shù)值為0時，相應的自變量的值即為方程

7、x2－x－＝0的解。更一般地，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標即為方程ax2＋bx＋c＝0的解；當二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為0時，相應的自變量的值即為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關系。 三、試一試 根據(jù)問題3的圖象回答下列問題。 (1)當x取何值時，y＜0?當x取何值時，y＞0? (當－＜x＜時，y＜0；當x＜－或x＞時，y＞0) (2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問題，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?

8、) 想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關系? 讓學生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關系，討論、交流，達成共識： (1)從“形”的方面看，二次函數(shù)y＝ax2＋bJ＋c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x軸下方的圖象上的點的橫坐標．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。 (2)從“數(shù)”的方面看，當二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；當二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0

9、的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關系。 四、課堂練習： P23練習1、2。 五、小結(jié)： 1．通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲?有什么困惑? 2．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無交點，試說明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情況。 六、作業(yè)： 1. 二次函數(shù)y＝x2－3x－18的圖象與x軸有兩交點，求兩交點間的距離。 2．已知函數(shù)y＝x2－x－2。 (1)先確定其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再畫出圖象 (2)觀察圖象確定：x取什么值時，①y＝0，②y

10、＞0；③y＜0。 3．學校建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示，建立直角坐標系(如圖(6))，水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關系式是y＝－x2＋x＋，請回答下列問題： (1)花形柱子OA的高度； (2)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不至于落在池外? 4．如圖(7)，一位籃球運動員跳起投籃，球沿拋物線y＝－x2＋3.5運行，然后準確落人籃框內(nèi)。已知籃框的中心離地面的距離為3.05米。 (1)球在空中運行的最大高度為多少米? (2)如果該運動員跳投時，球出手離地面的高度為2.25米，請問他距離籃框中心的水平距離是多少?