2022年高考數(shù)學(xué) 雙曲線練習(xí)

上傳人:xt****7 文檔編號:105462128 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):13 大小:90.52KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué) 雙曲線練習(xí) 1、已知m,n為兩個不相等的非零實數(shù),則方程mx-y+n=0與nx2+my2=mn所表示的曲線可能是( ) ? ?? A??????????????? B??????????????? C?????????????? D 2、已知橢圓E:(a>b>0)與雙曲線G:x共焦點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點,P是橢圓E與雙曲線G的一個交點,O為坐標原點,△PF1F2的周長為4. (1)求橢圓E的方程; (2)已知動直線l與橢圓E恒有兩個不同交點A,B,且,求△OAB面積的取值范圍. 3、點為雙曲線的右焦點,點P為雙曲線左支上一點,線段PF

2、與圓相切于點Q,且,則雙曲線的離心率等于 (??? ) ??? A.??????? B.???????? C.???????? D.2 4、過雙曲線的左焦點F作圓x2+y2=的切線,切點為E,延長FE交雙曲線右支于點P,若E為PF的中點,則雙曲線的離心率為________. 5、已知雙曲線﹣=1(b∈N*)的兩個焦點F1,F(xiàn)2,點P是雙曲線上一點,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則雙曲線的離心率為(  )   A. 2 B. 3 C. D. 6、過雙曲線 的左焦點 ,作圓 的切線,切點為E,延長FE交雙曲線右支于

3、點P,若 ,則雙曲線的離心率為 ? A.? ??????? B.? ??????? C.?? ??????? D. 7、如圖,、是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點、.若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為(?????? ) 4???? ??? ??? 8、過曲線的左焦點作曲線的切線,設(shè)切點為M,延長交曲線于點N,其中有一個共同的焦點,若,則曲線的離心率為 ( ) A.??????? B.?????? C.????? D. 9、已知雙曲線的左,右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線的右支相交于,兩點,且點的橫坐標為,則△的

4、周長為? A. ???? B.?????? C. ???? D. 10、已知雙曲線上一點,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點,記直線AC、BC的斜率分別為,當(dāng)最小時,雙曲線離心率為???????? ? 11、已知拋物線y=x2與雙曲線﹣x2=1(a>0)有共同的焦點F,O為坐標原點,P在x軸上方且在雙曲線上,則?的最小值為( ?。? A. 2﹣3 B. 3﹣2 C. D. 12、已知雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0),F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點,A(﹣1,0)是其左頂點,且雙曲線的離心率為e=2.設(shè)過右焦點F2的直線l與雙曲線C的

5、右支交于P、Q兩點,其中點P位于第一象限內(nèi). (1)求雙曲線的方程; (2)若直線AP、AQ分別與直線x=交于M、N兩點,求證:MF2⊥NF2; (3)是否存在常數(shù)λ,使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由. 13、無論為任何實數(shù),直線與雙曲線恒有公共點。 ? (1)求雙曲線的離心率的取值范圍; ? (2)若直線經(jīng)過雙曲線的右焦點與雙曲線交于兩點,并且滿足 ,求雙曲線的方程。 14、如圖,雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦點F1(﹣c,0)、F2(c,0),A為雙曲線C右支上一點,且|AF1|=2c,AF1與y軸交于點

6、B,若F2B是∠AF2F1的角平分線,則雙曲線C的離心率是( ?。?   A. B. 1+ C. D. 15、設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點,且與雙曲線在第一象限的交點為P,設(shè)O為坐標原點,若,,則該雙曲線的離心率為( ) ??? A.?????? B.??????? C.?????? D. 16、已知橢圓的離心率為,雙曲線與橢圓有相同的焦點,M是兩曲線的一個公共點,若,則雙曲線的漸近線方程為(?? ) A.????? B.????? C.????? D.?? 17、雙曲線的中

7、心在原點,焦點在x軸上,若的一個焦點與拋物線:的焦點重合,且拋物線的準線交雙曲線所得的弦長為4,則雙曲線的實軸長為(??? ) A.6??? B.2??? C.? ? D. 18、已知橢圓的中心在坐標原點,兩焦點分別為雙曲線的頂點,直線與橢圓交于,兩點,且點的坐標為,點是橢圓上異于點,的任意一點,點滿足,,且,,三點不共線. (1)求橢圓的方程; (2)求點的軌跡方程; (3)求面積的最大值及此時點的坐標. 19、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點,滿足,且到直線的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為( ? ) A.???? B.

8、????? C.??? D. 20、已知,橢圓的方程為,雙曲線的方程為,與的離心率之積為,則的漸近線方程為( ) A.??? B. ???? C.???? D. 答 案 1、C 2、(I)由雙曲線G:知F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),可得在橢圓E:中有c=2,又△PF1F2的周長為4+4,可得|PF1|+|PF2|=4=2a, b2=a2﹣c2,解出即可. (II)當(dāng)直線l的斜率存在時,其方程可設(shè)為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立可得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,則△>0,可得(

9、8k2﹣m2+4)>0,要使,需使x1x2+y1y2=0,可得3m2﹣8k2﹣8=0,而原點到直線l的距離d=,又|AB|==,對k分類討論即可得出取值范圍,利用S△OAB=,即可得出. 解:(I)由雙曲線G:知F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0), ∴在橢圓E:中有c=2, 又△PF1F2的周長為4+4, ∵|PF1|+|PF2|=4=2a, a=2,b2=a2﹣c2=4, ∴橢圓E的方程為, (II)當(dāng)直線l的斜率存在時,其方程可設(shè)為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 解方程組,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0, 則△=16k2m2﹣4(1+2k

10、2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0, 即(8k2﹣m2+4)>0, ∴x1+x2=﹣,, 要使,需使x1x2+y1y2=0, 即+=0, ∴3m2﹣8k2﹣8=0,8k2﹣m2+4>0對于k∈R恒成立, 而原點到直線l的距離d=, d2===,d=, 同時有====, ∴|AB|===, ①當(dāng)k≠0時,|AB|=, ∵,∴, ∴≤12, ∴<|AB|≤2,當(dāng)且僅當(dāng)k=時取”=”. ②當(dāng)k=0時,|AB|=. 當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線為x=與橢圓=1的兩個交點為或滿足, 此時|AB|=, 綜上,|AB|的取值范圍為, ∴S△OAB==|AB|∈

11、. 因此S△OAE∈. 3、C 4、 5、通過等比數(shù)列的性質(zhì)和雙曲線的定義,余弦定理推出:|OP|2=20+3b2.利用|OP|<5,b∈N,求出b的值,求出c,再由離心率公式計算即可得到. 解:由題意,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比數(shù)列, 可知,|F1F2|2=|PF1||PF2|, 即4c2=|PF1||PF2|, 由雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|=4,即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16, 可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…① 設(shè)∠POF1=θ,則∠POF2=π﹣θ, 由余弦定理可得:|PF2|2=c

12、2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos(π﹣θ), |PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ, |PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2,…②, 由①②化簡得:|OP|2=8+3c2=20+3b2. 因為|OP|<5,b∈N,所以20+3b2<25. 所以b=1. c==, 即有e==. 故選:D. 6、C 7、B 8、? 解析:設(shè)雙曲線的右焦點為F2,則F2的坐標為(c,0) 因為曲線C1與C3有一個共同的焦點,所以y2=4cx ,因為O為F1F2的中點,M為F1N的中點,所以O(shè)M為△NF1F2的中位線,所以O(shè)M∥PF2,

13、因為|OM|=a,所以|NF2|=2a 又NF2⊥NF1,|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 設(shè)N(x,y),則由拋物線的定義可得x+c=2a,∴x=2a-c ,過點F作x軸的垂線,點N到該垂線的距離為2a ,由勾股定理 y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,∴e=. 故選:D 9、根據(jù)題意得PQ⊥x軸,則,解得, ,則△的周長為,故選D. 【思路點撥】根據(jù)題意得,△是以PQ為底邊的等腰三角形,由勾股定理及雙曲線的定義求得,進而求得△的周長. 10、解析:設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2), 由題意知點A,B為過原

14、點的直線與雙曲線的交點, ∴由雙曲線的對稱性得A,B關(guān)于原點對稱, ∴B(﹣x1,﹣y1),∴k1k2=?=, ∵點A,C都在雙曲線上,∴﹣=1,﹣=1, 兩式相減,可得:k1k2=>0,對于=+ln|k1k2|, 函數(shù)y=+lnx(x>0),由y′=﹣+=0,得x=0(舍)或x=2, x>2時,y′>0,0<x<2時,y′<0, ∴當(dāng)x=2時,函數(shù)y=+lnx(x>0)取得最小值, ∴當(dāng)+ln(k1k2)最小時,k1k2==2, ∴e==.故答案為:. 11、解:拋物線y=x2的焦點F為(0,2), 則雙曲線﹣x2=1的c=2,則a2=3, 即雙曲線方程為=1,

15、 設(shè)P(m,n),(n),則n2﹣3m2=3, 則?=(m,n)?(m,n﹣2)=m2+n2﹣2n=﹣1+n2﹣2n =﹣2n﹣1=(n﹣)2﹣, 12、(1)由題可知:a=1.由于,可得c=2.再利用b2=c2﹣a2即可. (2)設(shè)直線l的方程為:x=ty+2,另設(shè):P(x1,y1)、Q(x2,y2).聯(lián)立,可得根與系數(shù)的關(guān)系.又直線AP的方程為,解得M.同理解得N.只要證明=0即可. (3)當(dāng)直線l的方程為x=2時,解得P(2,3).易知此時△AF2P為等腰直角三角形,可得:λ=2. 當(dāng)∠AF2P=2∠PAF2對直線l存在斜率的情形也成立.利用正切的倍角公式、斜率計

16、算公式、雙曲線的方程、正切函數(shù)的單調(diào)性即可證明. (1)解:由題可知:a=1. ∵, ∴c=2. ∴b2=c2﹣a2=3, ∴雙曲線C的方程為:. (2)證明:設(shè)直線l的方程為:x=ty+2,另設(shè):P(x1,y1), Q(x2,y2). 聯(lián)立,化為(3t2﹣1)y2+12ty+9=0. ∴. 又直線AP的方程為,代入x=, 解得M. 同理,直線AQ的方程為,代入x=,解得N. ∴=. ∴=+ = =+ =. ∴MF2⊥NF2. (3)解:當(dāng)直線l的方程為x=2時,解得P(2,3).易知此時△AF2P為等腰直角三角形, 其中,也即:λ=2. 下證:∠AF

17、2P=2∠PAF2對直線l存在斜率的情形也成立. tan2∠PAF2====. ∵=1,∴. ∴, ∴, ∴結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知,∠AF2P=2∠PAF2. 13、? 14、解:由F2B是∠AF2F1的角平分線,O為F1F2的中點, 則|BF1|=|BF2|, ∠BF1F2=∠BF2F1=∠BF2A,設(shè)為α. 又|AF1|=2c,則∠A=2α, 則∠A+∠AF1F2+∠AF2F1=5α=180°, 即有α=36°, ∠ABF2=2α=72°=∠A, 即有|BF2|=|AF2|, 由雙曲線的定義可得|AF1|﹣|AF2|=2a, 則|AF2|=

18、2c﹣2a,|AB|=2c﹣(2c﹣2a)=2a, 由F2B是∠AF2F1的角平分線,可得=, 即有=, 即有ac=(c﹣a)2, 即c2﹣3ac+a2=0, 由e=,可得e2﹣3e+1=0, 解得e=或, 由于e>1,則e=. 故選:D. 15、A 16、A 17、D 18、(1);(2),除去四個點,,,;(3),點的坐標為或. 試題分析:(1)由雙曲線的頂點得橢圓的焦點,由橢圓的定義得的值,利用即可得橢圓的方程;(2)設(shè)點,先寫出,,,的坐標,再根據(jù)已知條件可得,,代入,化簡,即可得點的軌跡方程;(3)先計算的面積,利用基本不等式即可得的

19、面積的最大值. 試題解析:(1)解法1: ∵ 雙曲線的頂點為,, …………1分 ∴ 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為, ∵ 橢圓過點, ∴ ,得.???????????????????? ………………………2分 ∴ .?????????????????????????????? ………………………3分 ∴ 橢圓的方程為 .????????????????????? ………………………4分 解法2: ∵ 雙曲線的頂點為,,? …………………1分 ∴ 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為, ∵ 橢圓過點, ∴ .???? ①???????????????????????

20、??????? ………………………2分 ∵ ,???? ②?????????????????????????????? ………………………3分 由①②解得, . ∴ 橢圓的方程為 .????????????????????? ………………………4分 (2)解法1:設(shè)點,點, 由及橢圓關(guān)于原點對稱可得, ∴,,,. 由 , 得 , ……………………5分 即 .????? ① 同理, 由, 得 .? ②? ……………6分 ①②得 .?? ③???????? ………………………7分 由于點在橢圓上, 則,得, 代入③式得 .? 當(dāng)時,有,?????????????????

21、????? 當(dāng),則點或,此時點對應(yīng)的坐標分別為或 ,其坐標也滿足方程.??????????? ………………………8分 當(dāng)點與點重合時,即點,由②得 , 解方程組 得點的坐標為或. 同理, 當(dāng)點與點重合時,可得點的坐標為或. ∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. ………9分 解法2:設(shè)點,點, 由及橢圓關(guān)于原點對稱可得, ∵,, ∴,. ∴,①? ??????????????? ……………………5分 . ②?????????????????? ……………………6分?????????????? ①② 得 .? (*)???????????????????? ………

22、………………7分 ∵ 點在橢圓上,?? ∴ ,得, 代入(*)式得,即,????? 化簡得 .???????????????????????????????? 若點或, 此時點對應(yīng)的坐標分別為或 ,其坐標也滿足方程.??????????? ………………………8分 當(dāng)點與點重合時,即點,由②得 , 解方程組 得點的坐標為或. 同理, 當(dāng)點與點重合時,可得點的坐標為或. ∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,.…………9分 (3) 解法1:點到直線的距離為. △的面積為………………………10分 ???????????????? .??? ………………………11分 而(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立) ∴. ……12分 當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立. 由解得或?????????? ………………………13分 ∴△的面積最大值為, 此時,點的坐標為或.…14分 解法2:由于, 故當(dāng)點到直線的距離最大時,△的面積最大. ………………………10分 設(shè)與直線平行的直線為, 由消去,得, 由,解得.   ………………………11分 若,則,;若,則,. …12分 故當(dāng)點的坐標為或時,△的面積最大,其值為 .          ………………………14分 19、B 20、B

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