2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定． 一、角的有關(guān)概念 1．從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角． 2．從終邊位置來(lái)看，可分為象限角與軸線角． 3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)． 二、弧度與角度的互化 1．1弧度的角 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角． 2．角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝. 3．角度與弧度的換算①1°＝rad；②

2、1 rad＝°. 4．弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α. 角度制與弧度制不可混用 角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 三、任意角的三角函數(shù) 1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝. 2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)． 三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣 記憶技巧：一全正

3、、二正弦、三正切、四余弦(為正)．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正． 1．給出下列四個(gè)命題： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(　　) A．1個(gè)　　　 B．2個(gè)　　　 C．3個(gè)　　　 D．4個(gè) 【解析】?、僦校堑谌笙藿?，故①錯(cuò)誤．②中，＝π＋，從而是第三象限角正確．③中－400°＝－360°－40°，從而③正確．④中－315°＝－360°＋45°，從而④正確． 【答案】　C 2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，則sin α＝(　　) A. B. C．－

4、 D．－ 【解析】　由三角函數(shù)的定義可知，sin α＝＝. 【答案】　B 3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】　由sin α＜0，得α在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tan α＞0，∴α在第三象限． 【答案】　C 4．弧長(zhǎng)為3π，圓心角為135°的扇形半徑為_(kāi)_______，面積為_(kāi)_______． 【解析】　∵l＝3π，α＝135°＝， ∴r＝＝4，S＝lr＝×3π×4＝6π. 【答案】　4　6π 5．(xx·江西高考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為(

5、　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 【解析】　函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠0}，選項(xiàng)A中由sin x≠0?x≠kπ，k∈Z，故A不對(duì)；選項(xiàng)B中x>0，故B不對(duì)；選項(xiàng)C中，x∈R，故C不對(duì)；選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閧x|x≠0}，故選D. 【答案】　D 6．(2011·江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝________. 【解析】　由三角函數(shù)的定義，sin θ＝， 又sin θ＝－＜0， ∴y＜0且＝－， 解之得y＝－8. 【答案】?。?

6、 考向一 [047]　角的集合表示及象限角的判定 　(1)寫(xiě)出終邊在直線y＝x上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求所在的象限． 【思路點(diǎn)撥】　(1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解． (2)把α寫(xiě)成集合的形式，從而的集合形式也確定． 【嘗試解答】　(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，角的集合為，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，角的集合為，故所求角的集合為∪ ＝. (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)． 當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第二象限角， 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角，

7、綜上知，當(dāng)α是第三象限角時(shí)，是第二或第四象限角． 規(guī)律方法1　1.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. 2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【解析】　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，α＝n·360°＋45°， 所以α在第一象限． 當(dāng)k＝2n＋

8、1(n∈Z)時(shí)，α＝n·360°＋225°， 所以α在第三象限． 綜上可知，α在第一或第三象限． 【答案】　A 考向二 [048]　扇形的弧長(zhǎng)及面積公式 　已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積． 【思路點(diǎn)撥】　(1)可直接用弧長(zhǎng)公式，但要注意用弧度制； (2)可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓心角α； (3)利用S弓＝S扇－S△，這樣就需

9、要求扇形的面積和三角形的面積． 【嘗試解答】　(1)l＝10×＝(cm)． (2)由已知得：l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2 rad. (3)設(shè)弓形面積為S弓． 由題知l＝cm， S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin ＝(cm2)． 規(guī)律方法2　1.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度. 2.本題把求扇形面積最大值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決，這是解決此類問(wèn)題的常用方法. 3.在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要注意合理

10、地利用圓心角所在的三角形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10， (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??； (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. 【解】　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10， ∴△AOB為等邊三角形． 因此弦AB所對(duì)的圓心角α＝. (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得 l＝α·R＝×10＝π， S扇形＝R·l＝α·R2＝. 又S△AOB＝·OA·OB·sin ＝25. ∴弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50. 考向三 [049]　三角函數(shù)的定義 　(1)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，－3)，且cos α＝－，則m等于(

11、　　) A．－　　　　B.　　　　C．－4　　　　D．4 (2)已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解． (2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t，－3t)，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi)，所以需分類討論． 【嘗試解答】　(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|＝， ∴cos α＝＝－， ∴，∴m＝－4. 【答案】　C (2)在直線3x＋4y＝0上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)， 則x＝4t，y＝－3t， ∴r＝|PO|＝＝＝5|t|，

12、 當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－； 當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 綜上可知，當(dāng)t＞0時(shí)，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 當(dāng)t＜0時(shí)，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 規(guī)律方法3　定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問(wèn)題.若直線的傾

13、斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角α的三角函數(shù)值. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cos α＝x，求4sin α－3tan α的值． 【解】　∵r＝，∴cos α＝， 從而x＝， 解得x＝0或x＝±. ∵90°＜α＜180°， ∴x＜0，因此x＝－.則r＝2， ∴sin α＝＝，tan α＝＝－. 故4sin α－3tan α＝＋. 易錯(cuò)易誤之六　|a|≠a——三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類討論 ————　[1個(gè)示范例]　 ———— [1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　　(xx·臨沂模擬)已知角θ的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a≠0)，則sin

14、θ＝________. 【解析】　∵x＝3a，y＝4a， ∴r＝＝5|a|. 此處在求解時(shí)，常犯r＝5a的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因在于去絕對(duì)值時(shí)，沒(méi)有對(duì)a進(jìn)行討論. (1)當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，∴sin θ＝＝. (2)當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，∴sin θ＝＝－ ∴sin θ＝±. 【防范措施】　1.對(duì)于＝|a|，在去掉絕對(duì)值號(hào)后，應(yīng)分a≥0和a＜0兩種情況討論. 2.已知角α終邊上任意一點(diǎn)p(x，y)，求三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解. 　已知角α的終邊落在直線y＝2x上，則sin α＋cos α＝________. 【解析】　在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)，則 r＝|OP|＝＝|t| (1)若t＞0，則sin α＝＝， cos α＝＝，sin α＋cos α＝. (2)若t＜0，則sin α＝－＝－， cos α＝－＝－，sin α＋cos α＝－. 綜上所述，sin α＋cos α＝±. 【答案】　±