山東省濱州市2022中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用要題隨堂演練

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1、山東省濱州市2022中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用要題隨堂演練 1．(xx·日照中考)如圖，已知點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上． (1)求拋物線解析式； (2)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P，使△PBC面積為1； (3)在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 2．(xx·萊蕪中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥BC于E

2、. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)如圖1，求線段DE長度的最大值； (3)如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接CD，CF，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 圖1 圖2 3．(xx·自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求直線AD及拋物線的解析式； (2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最

3、長？ (3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 參考答案 1．解：(1)把點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c 得解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋1. (2)∵B(3，0)，C(0，1)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋1. 理由：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D. 設(shè)P(x，－x2＋x＋1)，則D(x，－x＋1)， ∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝－x2＋x， ∴S△PBC＝S△PDC

4、＋S△PDB＝PD(xB－xC) ＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x. 又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2，∴P1(1，)，P2(2，1)． (3)存在． 如圖，∵A(－1，0)，C(0，1)，∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°. ∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°， ∴點(diǎn)Q為△ABC外接圓與拋物線對(duì)稱軸在x軸下方的交點(diǎn)． 設(shè)△ABC外接圓圓心為M. ∵線段AC的垂直平分線為直線y＝－x，線段AB的垂直平分線為直線x＝1， ∴點(diǎn)M為直線y＝－x與直線x＝1的交點(diǎn)，即M(1，－1)， ∴∠BMC＝2∠BQC＝90

5、°. 又∵M(jìn)Q＝MB＝R＝，∴yQ＝－(1＋)＝－1－. ∵Q在直線x＝1上，∴xQ＝1，∴Q(1，－1－)． 2．解：(1)由已知得解得 ∴y＝－x2＋x＋3. (2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－x＋3. 設(shè)D(a，－a2＋a＋3)，(0

6、2＋， ∴當(dāng)a＝2時(shí)，DE取最大值，最大值是. (3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等． ∵F為AB的中點(diǎn)，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2. 如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC，交CD的延長線于G，過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H. ①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10. ∵△GBH∽△BCO，∴＝＝， ∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)． 設(shè)直線CG的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝x＋3， ∴解得x＝或x＝0(舍)． ②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，BH＝， ∴G(，2)． 同理可得直線CG的解析

7、式為y＝－x＋3， ∴解得x＝或x＝0(舍)． 綜上所述，存在D使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等，其橫坐標(biāo)是或. 3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函數(shù)解析式得 解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3. 當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3， 即D(－2，－3)． 設(shè)AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得 ∴直線AD的解析式為y＝x－1. (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)， l＝(m－1)－(m2＋2m－3)， 化簡得l＝－m2－m＋2， 配方得l＝－(m＋)2＋，

8、∴當(dāng)m＝－時(shí)，l最大＝. (3)由(2)可知，0＜PQ≤. 當(dāng)PQ為邊時(shí)，DR∥PQ且DR＝PQ. ∵R是整點(diǎn)，D(－2，－3)， ∴PQ是正整數(shù)，∴PQ＝1或PQ＝2. 當(dāng)PQ＝1時(shí)，DR＝1， 此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R(－2，－2)或(－2，－4)． 當(dāng)PQ＝2時(shí)，DR＝2， 此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋2＝－1或－3－2＝－5， 即R(－2，－1)或(－2，－5)． 當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，PD∥QR，且PD＝QR. 設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，n＋m2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2. 又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)， ∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2， 解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2， ∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m＋2，m2＋3m－1)． ∵R是整點(diǎn)，－2＜m＜1， ∴當(dāng)m＝－1時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，－3)； 當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，－1)． 綜上所述，存在滿足R的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2， －1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．