2022年高考數(shù)學專題復習 第32講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第32講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標函數(shù)最值(或取值范圍).2.考查約束條件、目標函數(shù)中的參變量的取值范圍.3.利用線性規(guī)劃方法設計解決實際問題的最優(yōu)方案． 一、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及其判斷方法 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 在平面直角坐標系中，平面內(nèi)所有的點被直線Ax＋By＋C＝0分成三類： (1)滿足Ax＋By＋C＝0的點； (2)滿足Ax＋By＋C>0的點； (3)滿足Ax＋By＋C<0的點． 2．二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法 直

2、線l：Ax＋By＋C＝0把坐標平面內(nèi)不在直線l上的點分為兩部分，當點在直線l的同一側(cè)時，點的坐標使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號，當點在直線l的兩側(cè)時，點的坐標使Ax＋By＋C的值具有相反的符號． 二、線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 線性目標函數(shù) 關于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)

3、的最值同直線z－ax－by＝0在y軸上截距的關系 求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其幾何意義，通過求y＝－x＋的截距的最值間接求出z的最值． (1)當b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值． (2)當b＜0時，結(jié)論與b＞0的情形恰好相反． 1．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 【解析】　x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及左下方部分，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0右上方部分． 故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B所示部分． 【答案】　B 2．已知變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為(　　) A．12　

4、　　B．11　　　C．3　　　D．－1 【解析】　可行域如圖中陰影部分所示．先畫出直線l0：y＝－3x，平移直線l0，當直線過A點時z＝3x＋y的值最大， 由得 ∴A點坐標為(3,2)．∴z最大＝3×3＋2＝11. 【答案】　B 3．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃

5、為(　　) A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱 【解析】　設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則，甲、乙兩車間每天能夠獲得的利潤為280x＋200y，畫出可行域，由線性規(guī)劃可知當直線z＝280x＋200y經(jīng)過x＋y＝70與10x＋6y＝480的交點(15,55)時，z＝280x＋200y取到最大值，因此，甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱時，每天能夠獲得的利潤最大． 【答案】　B 4．在平面直角坐標系中，不等式組

6、表示的平面區(qū)域的面積是________． 【解析】　不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由得A(1，－1)， 由得B(1，－3)， 由得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1. 【答案】　1 5．(xx·福建高考)若變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為(　　) A．4和3　　　　　　 B．4和2 C．3和2 D．2和0 【解析】　作出可行域如圖陰影部分． 作直線2x＋y＝0，并向右上平移，過點A時z取最小值，過點B時z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)， ∴zmin＝2，zmax＝4. 【答案】

7、　B 6．(xx·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為(　　) A．2 B．1 C．－ D．－ 【解析】　如圖所示，所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分． 由 得A(3，－1)． 當M點與A重合時，OM的斜率最小，kOM＝－. 【答案】　C 考向一 [109]　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 　(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．4　　　　B．1　　　　C．5　　　　D．6 (2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(　　) A. B. C

8、. D. 【思路點撥】　(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，確定平面區(qū)域的形狀，從而求出面積． (2)畫出平面區(qū)域，顯然點在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可． 【嘗試解答】　(1)不等式組表示的 平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求，求出點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. (2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示． 由于直線y＝kx＋過定點.因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域． 因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D

9、. 當y＝kx＋過點時，＝＋， 所以k＝. 【答案】　(1)B　(2)A 規(guī)律方法1　1.解答本例(2)的關鍵是根據(jù)直線y＝kx＋過定點，利用面積相等確定直線所經(jīng)過的邊界上的點. 2.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判定方法： (1)同號上，異號下.當B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方，當B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方. (2)直線定界、特殊點定域.應注意是否包括邊界，若不包括邊界，則應將邊界畫成虛線；若直線不過原點，特殊點常選取原點. 對點訓練　已知關于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為(　　)

10、 A．1　　　B．－3　　　C．1或－3　　　D．0 【解析】　其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標原點的半平面，直線kx－y＋2＝0又過定點(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解． 平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1. 【答案】　A 考向二 [110]　求目標函數(shù)的最值 　(xx·課標全國卷Ⅰ改編)設x，y滿足約束條件 (1)求z＝2x－y的最大值． (2)若z＝，求z的取值范圍． 【思路點撥】　明確目標函數(shù)z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找最優(yōu)解，代入求值． 【嘗試解答】　(1)

11、作出可行域，進一步探索最大值． 作出可行域如圖陰影部分． 作直線2x－y＝0，并向右平移，當平移至直線過點B時，z＝2x－y取最大值． 而由得B(3,3)． ∴zmax＝2×3－3＝3. (2)z＝表示可行域內(nèi)的點到原點的距離，觀察可行域知，可行域內(nèi)的點A和點C到原點的距離分別為最大和最?。? 又由得A(1,1)． 由得C(3,4)． 故|OA|＝＝， |OC|＝＝5. ∴z的取值范圍為[，5]． 　 　 　 規(guī)律方法2　1.本例求解的關鍵在于：(1)準確作出可行域；(2)明確目標函數(shù)的幾何意義. 2.(1)線性目標函數(shù)z＝ax＋by的幾何意義與直線a

12、x＋by－z＝0在y軸上的截距有關，當b＞0時，直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距越大，z值越大；當b＜0時，情況相反. (2)常見的非線性目標函數(shù)的幾何意義：表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)的距離. 對點訓練　設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是______． 【解析】　作不等式組表示的可行域，如圖所示， 作直線l0：3x－y＝0，并上下平移． 當直線過點A、B時，z分別取得最大值、最小值．由得A(2,0)． 由得點B， ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－. 故z的取值范圍是. 【答案】　

13、 考向三 [111]　線性規(guī)劃的實際應用 　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表： 產(chǎn)品品種 勞動力(個) 煤(噸) 電(千瓦) A產(chǎn)品 3 9 4 B產(chǎn)品 10 4 5 已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？ 【思路點撥】　題目的設問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤”，這個利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤，故可以設出A、B兩種

14、產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標函數(shù)． 【嘗試解答】　設生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意，得 目標函數(shù)為z＝7x＋12y. 作出可行域，如圖陰影所示． 當直線7x＋12y＝0向右上方平行移動時，經(jīng)過M時z取最大值． 解方程組得 因此，點M的坐標為(20,24)． ∴該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤． 規(guī)律方法3　1.求解本例的關鍵是找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題.為尋找各量之間的關系，最好是列出表格. 2.解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出

15、線性約束條件和目標函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答. 對點訓練　某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價 黃瓜 4噸 1.2萬元 0.55萬元 韭菜 6噸 0.9萬元 0.3萬元 為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，求黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別是多少畝？ 【解】 　設種植黃瓜x畝，韭菜y畝，由題意得 即 設總利潤為z，則z＝x＋0.9y. 作可行域如圖所示， 由得A(30,20)． 當

16、目標函數(shù)線l向右平移，移至點A(30,20)處時，目標函數(shù)取得最大值，即當黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大． ∴黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時，一年種植的總利潤最大． 思想方法之十五　數(shù)形結(jié)合破解線性規(guī)劃中參變量問題 線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值問題，從圖形上找思路恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用． 含參變量的線性規(guī)劃問題，其參變量的設置形式通常有以下兩種： (1)條件中的參變量：條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時畫圖分析的難度．求解這類問題時要有全局觀念，結(jié)合目標函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向． (2)目標

17、函數(shù)中的參變量：目標函數(shù)中設置參變量，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性．從目標函數(shù)的結(jié)論入手，對圖形的動態(tài)進行分析，對變化過程中的相關量準確定位，這是求解這類問題的主要思維方法． ————　[1個示范例]　————　[1個對點練]　———— 　　　(xx·課標全國卷Ⅱ)已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 【解析】　作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)． 易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值， 由 得 ∴zmin＝2－2a＝1， 解得a＝，故選B. (xx·大綱全國卷)記不等式組所表示的平面區(qū)域為D，若直線y＝a(x＋1)與D有公共點，則a的取值范圍是________． 【解析】　直線y＝a(x＋1)恒過定點P(－1,0)且斜率為a，作出可行域后數(shù)形結(jié)合可解． 不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且A(1,1)，B(0,4)，C. 直線y＝a(x＋1)恒過定點P(－1,0)且斜率為a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直線y＝a(x＋1)與區(qū)域D有公共點，數(shù)形結(jié)合可得≤a≤4. 【答案】