2022人教A版數(shù)學必修二 4.3.1《空間直角坐標系》學案2

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1、2022人教A版數(shù)學必修二 4.3.1《空間直角坐標系》學案2 【教學目標】 1. 讓學生經歷用類比的數(shù)學思想方法探索空間直角坐標系的建立方法，進一步體會數(shù)學概念、方法產生和發(fā)展的過程，學會科學的思維方法． 2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義，掌握由空間直角坐標系內的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內的點，認識空間直角坐標系中的點與坐標的關系． 3. 進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力與確定性思維能力． 【教學重難點】 重點：求一個幾何圖形的空間直角坐標。 難點：空間直角坐標系的理解。 【教學過程】 一、 情景導入 1. 確定一個點在一條直線上的位置的方法

2、． 2. 確定一個點在一個平面內的位置的方法． 3. 如何確定一個點在三維空間內的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內如何確定電燈位置？ 在學生思考討論的基礎上，教師明確：確定點在直線上，通過數(shù)軸需要一個數(shù)；確定點在平面內，通過平面直角坐標系需要兩個數(shù)．那么，要確定點在空間內，應該需要幾個數(shù)呢？通過類比聯(lián)想，容易知道需要三個數(shù)．要確定電燈的位置，知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可． （此時學生只是意識到需要三個數(shù)，還不能從坐標的角度去思考，因此，教師在這兒要重點引導） 教師：在地面上建立直角坐標系xOy，則地面上任一點的位置只須利用x，y就可確定．為了確

3、定不在地面內的電燈的位置，須要用第三個數(shù)表示物體離地面的高度，即需第三個坐標z．因此，只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可．例如，若這個電燈在平面xOy上的射影的兩個坐標分別為4和5，到地面的距離為3，則可以用有序數(shù)組（4，5，3）確定這個電燈的位置（如圖26-3）． 這樣，仿照初中平面直角坐標系，就建立了空間直角坐標系O—xyz，從而確定了空間點的位置． 二、合作探究、精講點撥 1. 在前面研究的基礎上，先由學生對空間直角坐標系予以抽象概括，然后由教師給出準確的定義． 從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系O—xyz，點

4、O叫作坐標原點，x軸、y軸、z軸叫作坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xO平面，yO平面，zOx平面． 教師進一步明確： （1）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為右手坐標系，課本中建立的坐標系都是右手坐標系． （2）將空間直角坐標系O—xyz畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸成135°，而y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長度相等，但x軸上的單位長度等于y軸和z軸上的單位長度的，這樣，三條軸上的單位長度直觀上大致相等． 2. 空間直角坐標系O—xyz中點的坐標． 思考1：在空間直角坐標系中，空

5、間任意一點Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對應關系？ 在學生充分討論思考之后，教師明確： （1）過點A作三個平面分別垂直于x軸，y軸，z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P，Q，R，點P，Q，R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x，y，z，這樣，對空間任意點A，就定義了一個有序數(shù)組（x，y，z）． （2）反之，對任意一個有序數(shù)組（x，y，z），按照剛才作圖的相反順序，在坐標軸上分別作出點P，Q，R，使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x，y，z，再分別過這些點作垂直于各自所在的坐標軸的平面，這三個平面的交點就是所求的點A． 這樣，在空間直角坐標系中，空間任意一點A與有序數(shù)組（x，y，

6、z）之間就建立了一種一一對應關系：A（x，y，z）． 教師進一步指出：空間直角坐標系O—xyz中任意點A的坐標的概念 對于空間任意點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即經過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P，Q，R，點P，Q，R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x，y，z，我們把有序數(shù)組（x，y，z）叫作點A的坐標，記為A（x，y，z）．（如圖26-4） 思考2： （1）在空間直角坐標系中，坐標平面xOy，xOz，yOz上點的坐標有什么特點？ （2）在空間直角坐標系中，x軸、y軸、z軸上點的坐標有什么特點？ 解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面內

7、的點的坐標分別形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）． （2）x軸、y軸、z軸上點的坐標分別形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）． 三、典型例題 例1、在空間直角坐標系O—xyz中，作出點P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標定義，強調三個步驟，第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位，第二步沿與ｙ軸平行的方向向右移動4個單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位（如圖26-5）． 變式練習： 已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z

8、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 注意：此題可以由學生口答，教師點評． 解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）． 討論：若以C點為原點，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，那么各頂點的坐標又是怎樣的呢？ 得出結論：建立不同的坐標系，所得的同一點的坐標也不同． 例2、結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體），其中色點代表鈉原子，黑點代表氯原

9、子，如圖，建立空間直角坐標系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標。 解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標。 下層原子全在xOy平面，它們所在位置的豎坐標全是0，所以下層的五個鈉原子所在位置的坐標分別為： （0,0,0），（1,0,0），（1,1,0），（0,1,0），（,,0）， 中層的四個鈉原子所在位置的坐標分別為： （,0,），（1,,），（,1, ），（0,, ） 上層的五個鈉原子所在位置的坐標分別為： （0,0,1），（1,0,1），（1,1,1），（0,1,1），（,,1）。 變式練習：在長方體OABC－D’A’B’C’中，∣OA∣＝3

10、，∣OC∣＝4，∣OD∣＝2，寫出D 、C、 A 、B四點關于平面xOy對稱的坐標。 注意：此題可以由學生口答，教師點評． 解：因為D在z軸上，且∣OD∣＝2，它的豎坐標為2，它的橫坐標與縱坐標都是零，所以D點的坐標是（0,0，2），點C在y軸上，且∣OC∣＝4,所以點C的坐標為（0,4，0），點A的坐標為（3,0，2），B的坐標為（3,4，2）。所以D點對稱點的坐標是（0,0，-2），點C對稱點的坐標為（0,4，0），點A對稱點的坐標為（3,0，-2），B的對稱點坐標為（3,4，-2）。 四、反思總結： 五、當堂檢測: 1. 在空間直角坐標系中，畫出下列各點：A（0，0

11、，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）． 2. 已知：長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個長方體的頂點B為坐標原點，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 3. 寫出坐標平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標滿足的條件． 【板書設計】 一、空間直角坐標系 二、例題 例1 變式1 例2 變式2 【作業(yè)布置】作業(yè)：P138　2　 4.3.1空間直角坐標系（導學案） 課前預習學案 一、 預習目標 1. 用類比的數(shù)學思想

12、方法探索空間直角坐標系的建立方法． 2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義，掌握由空間直角坐標系內的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內的點，認識空間直角坐標系中的點與坐標的關系． 二、 預習內容 1. 如何確定一個點在一條直線上的位置？ 。 2. 如何確定一個點在一個平面內的位置？ 。 3.從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸,y軸,z軸.這樣就建立了 ，點O叫作 ，x軸、y軸、z軸叫作

13、 ，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為 , , . 4.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為 。 5.空間任意點A的坐標可以用有序實數(shù)組（x，y，z）來表示，有序實數(shù)組（x，y，z）叫做點A在此 ，記作 。其中x 叫做點A的 ，y叫做點A的 ，z叫做點A的 。 6.空間兩點間的距離公式

14、 。 三、提出疑惑 1、 ； 2、 ； 3、 。 課內探究學案 一、學習目標 1. 讓學生用類比的數(shù)學思想方法探索空間直角坐標系的建立方法，進一步體會數(shù)學概念、方法產生和發(fā)展的過程． 2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義，掌握由空間

15、直角坐標系內的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內的點，認識空間直角坐標系中的點與坐標的關系． 學習重點：求一個幾何圖形的空間直角坐標。 學習難點：空間直角坐標系的理解。 二、學習過程 思考1： 如何確定一個點在三維空間內的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內如何確定電燈位置？ 思考2：在空間直角坐標系中，空間任意一點Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對應關系？ 思考3： （1）在空間直角坐標系中，坐標平面xOy，xOz，yOz上點的坐標有什么特點？

16、 （2） 在空間直角坐標系中，x軸、y軸、z軸上點的坐標有什么特點？ 典型例題 例1、 在空間直角坐標系O—xyz中，作出點P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標定義，第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位，第二步沿與ｙ軸平行的方向向右移動4個單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位（如

17、圖26-5）． 變式練習： 已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 討論：若以C點為原點，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，那么各頂點的坐標又是怎樣的呢？ 例2、結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體），其中色點代表鈉原子，黑點代表氯原子，如圖，建立空間直角坐標系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所

18、在位置的坐標。 變式練習：在長方體OABC－D′A′B′C′中，∣OA∣＝3，∣OC∣＝4，∣OD∣＝2，寫出D 、C、 A 、B四點關于平面xOy對稱的坐標。 反思總結： 當堂檢測: 1. 在空間直角坐標系中，畫出下列各點：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，

19、－2）． 2. 已知：長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個長方體的頂點B為坐標原點，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求這個長方體各個頂點的坐標． 3. 寫出坐標平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標滿足的條件． 課后練習與提高 1.在空間直角坐標系中，點，過點作平面的垂線，則的坐標為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.已知點，則點關于原點的對稱點的坐標為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3.坐標原點到下列各點的距離最小的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. 在空間直角坐標系中，的所有點構成的圖形是　　　　　?。? 5.點關于平面的對稱點是　　　　　　　，關于平面的對稱點是　　　　　　　，關于平面的對稱點是　　　　　　　，關于軸的對稱點是　　　　　　　，關于軸的對稱點是　　　　　　　　，關于軸的對稱點是　　　　　　?。? 6. 求證：以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形．