2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.1 曲線與方程講義(含解析)蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.1 曲線與方程講義(含解析)蘇教版選修2-1 在平面直角坐標系中,到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程中. 問題1:直線y=x上任一點M到兩坐標軸距離相等嗎? 提示:相等. 問題2:到兩坐標軸距離相等的點都在直線y=x上,對嗎? 提示:不對. 問題3:到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么? 提示:y=±x. 曲線的方程和方程的曲線 如果曲線C上的點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標的點都在曲線C上,那么,方程f(

2、x,y)=0叫做曲線C的方程,曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線. 正確理解曲線與方程的概念 (1)定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性),即曲線上的所有點的坐標都適合這個方程而毫無例外;條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性),即適合條件的點都在曲線上而毫無遺漏. (2)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念,曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系,而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形. 曲線與方程的概念 [例1] 如果曲線C上的點滿足方程F(x,y)=0,有以下說法: ①曲線C的方程是F(x,y)=0; ②方

3、程F(x,y)=0的曲線是C; ③坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線C上; ④坐標不滿足方程F(x,y)=0的點不在曲線C上. 其中正確的是________.(填序號) [思路點撥] 根據(jù)曲線與方程的概念進行判斷. [精解詳析] 依據(jù)曲線的方程及方程的曲線的定義,曲線上的點應(yīng)具備純粹性和完備性.由已知條件,只能說具備純粹性,但不一定具備完備性. [答案]?、? [一點通] 判定曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系,必須注意兩點: (1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性; (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上,即直觀地說“解不比點多”,稱為完備性,只有

4、點和解一一對應(yīng),才能說曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程. 1.判斷下列結(jié)論的正誤,并說明理由. (1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x=3; (2)到y(tǒng)軸距離為2的點的直線方程為x=-2. 解:(1)正確.理由如下: ∵滿足曲線方程的定義. ∴結(jié)論正確. (2)錯誤.理由如下: ∵到y(tǒng)軸距離為2的點的直線方程還有一個, ∴結(jié)論錯誤. 2. 下列方程表示如圖所示的直線c,對嗎?為什么? (1)-=0; (2)x2-y2=0; (3)|x|-y=0. 解:第(1)題中,曲線C上的點不全都是方程-=0的解,如點(-1,-1)等,即不符合“曲線上的點的坐標

5、都是方程的解”這一結(jié)論; 第(2)題中,盡管“曲線C上的坐標都是方程的解”,但以方程x2-y2=0的解為坐標的點不全在曲線C上,如點(2,-2)等,即不符合“以方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結(jié)論; 第(3)題中,類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”,“以方程的解為坐標的點都在曲線上”.事實上,(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應(yīng)該是下圖的三種情況: 點與曲線的位置關(guān)系 [例2] 方程(x-4y-12)[(-3)+log2(x+2y)]=0的曲線經(jīng)過點A(0,-3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的________個. [思路點撥] 方程表

6、示兩條直線x-4y-12=0和x+2y-8=0,但應(yīng)注意對數(shù)的真數(shù)大于0,即x+2y>0. [精解詳析] 由對數(shù)的真數(shù)大于0,得x+2y>0, ∴A(0,-3)、C(,-)不符合要求; 將B(0,4)代入方程檢驗,符合要求;將D(8,0)代入方程檢驗,符合要求. [答案] 2 [一點通] 點與實數(shù)解建立了如下關(guān)系:C上的點(x0,y0)f(x,y)=0的解,曲線上的點的坐標都是這個方程的解,因此要判斷點是否在曲線上只需驗證該點是否滿足方程即可. 3.已知直線l:x+y+3=0,曲線C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),則點P與l、C的關(guān)系是________.

7、 解析:由1-1+3≠0,∴P不在l上,即P?l; 又(1-1)2+(-1+3)2=4, ∴點P在曲線C上,即P∈C. 答案:P?l,P∈C 4.證明圓心為坐標原點,半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點M1(3,-4)、M2(-2,2)是否在這個圓上. 解:(1)設(shè)M(x0,y0)是圓上任意一點,因為點M到原點的距離等于5,所以=5,也就是x+y=25,即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解. (2)設(shè)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解,那么x+y=25,兩邊開方取算術(shù)平方根,得=5,即點M(x0,y0)到原點的距離等于5,點M(x0,y0)是這個圓上的點.

8、 由(1)、(2)可知,x2+y2=25是圓心為坐標原點,半徑等于5的圓的方程. 把點M1(3,-4)的坐標代入方程x2+y2=25,左右兩邊相等,(3,-4)是方程的解,所以點M1在這個圓上;把點M2(-2,2)的坐標代入方程x2+y2=25,左右兩邊不等,(-2,2)不是方程的解,所以點M2不在這個圓上. 坐標法在求曲線的方程中的應(yīng)用 [例3]  如圖,雙曲線型冷卻塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高為55 m.試選擇適當?shù)淖鴺讼?,求出此雙曲線的方程(精確到1 m). [思路點撥] 按照對

9、稱建系,把中心放在坐標原點上,焦點放在坐標軸上,然后用待定系數(shù)法求解. [精解詳析]  如圖,建立冷卻塔的軸截面所在平面的直角坐標系xOy,使小圓的直徑AA′在x軸上,圓心與原點重合.這時,上、下口的直徑CC′,BB′都平行于x軸,且CC′=13×2,BB′=25×2. 設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),易知a=12,令點C的坐標為(13,y), 則點B的坐標為(25,y-55). 因為點B,C在雙曲線上,所以 由方程②,得y=(負值舍去),代入方程①,得 -=1, 化簡得19b2+275b-18 150=0.③ 用計算器解方程③,得b≈25. 所以,所求雙曲線的

10、方程為-=1. [一點通] 對于此類已知曲線類型求曲線方程的實際應(yīng)用問題,求解的關(guān)鍵是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,利用待定系?shù)法求解.采用此法要善于聯(lián)系平面圖形的性質(zhì),建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担? 5.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖,衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點處,已知接收天線的口徑為4.8 m,深度為0.5 m.試建立適當?shù)淖鴺讼?,求拋物線的標準方程. 解: 如圖,在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系,使接收天線的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合. 設(shè)拋物線的標準方程是 y2=2px(p>0). 由已知條件可得,點A的坐標是(0.5,2.

11、4),代入方程,得2.42=2p×0.5, 即p=5.76. 所以,所求拋物線的標準方程是y2=11.52x. 1.理解曲線的方程與方程的曲線的概念必須注意: (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解. (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點,二者缺一不可. 2.點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件是f(x0,y0)=0. [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十五)]  1.曲線C的方程為y=x(1≤x≤5),則下列四點中在曲線C上的序號是________. ①(0,0);②;③(1,5);④(4,4). 解析:∵y=x(1≤x≤5), ∴(4,4

12、)在曲線C上. 答案:④ 2.若P(2,-3)在曲線x2-ay2=1上,則a的值為________. 解析:∵P(2,-3)在曲線x2-ay2=1上, ∴4-9a=1,解得a=. 答案: 3.以下各組方程表示的曲線相同的是________(填序號). ①x2=y(tǒng)2與y=|x|?、趛=與y=10lg x ③xy=1與y=?、埽?與=1 解析:①、②、③中方程表示的曲線不相同. 答案:④ 4.方程(x+y-1)=0所表示的曲線是________. 解析:由題意,得或x=1,故方程表示的是一條射線與一條直線. 答案:一條射線與一條直線 5.若點M(m,m)在曲線x-y2=

13、0上,則m的值為________. 解析:∵點M在曲線x-y2=0上, ∴m-m2=0, 解得m=0或m=1. 答案:0或1 6.下列命題是否正確?若不正確,說明原因. (1)過點A(2,0)平行于y軸的直線l的方程是|x|=2; (2)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是y=x. 解:(1)錯誤,因為以方程|x|=2的解為坐標的點,不都在直線l上,直線l只是方程|x|=2所表示的圖形的一部分. (2)錯誤,因為到兩坐標軸距離相等的點的軌跡有兩條直線y=x和y=-x,故命題錯誤. 7.已知方程x2+(y-1)2=10. (1)判斷P(1,-2),Q(,3)兩點是否在此方程表

14、示的曲線上; (2)若點M(,-m)在此方程表示的曲線上,求m的值. 解:(1)因為12+(-2-1)2=10,而()2+(3-1)2≠10.所以點P(1,-2)在方程表示的曲線上,點Q(,3)不在方程表示的曲線上. (2)因為點M在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,所以2+(-m-1)2=10, 解得m=2或m=-. 8. 如圖,直線l1和l2相交于點M,l1⊥l2,點N∈l1,以A、B為端點的曲線C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,AM=,AN=3,且BN=6,建立適當?shù)淖鴺讼?,求曲線C的方程. 解:如圖,以l1為x軸,MN的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,點O為坐標原點.依題意可設(shè)曲線C的方程為y2=2px(p>0),則p=MN. 由題意知x1≤x≤x2,y>0,其中x1、x2分別為A、B的橫坐標. ∵M、N, AM=,AN=3, ∴ 解得或 ∵△AMN為銳角三角形, ∴>x1,故舍去 ∴ 由點B在曲線C上,得x2=BN-=4. 綜上得,曲線C的方程為y2=8x(1≤x≤4,y>0).

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