2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義（含解析）蘇教版選修2-2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分 1.5.3 微積分基本定理講義（含解析）蘇教版選修2-2 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P28] 已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，F(xiàn)(x)＝x2＋x. 問(wèn)題1：f(x) 和F(x)有何關(guān)系？ 提示：F′(x)＝f(x)． 問(wèn)題2：利用定積分的幾何意義求(2x＋1)dx的值． 提示：(2x＋1)dx＝6. 問(wèn)題3：求F(2)－F(0)的值． 提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6. 問(wèn)題4：你得出什么結(jié)論？ 提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)． 問(wèn)題5：已知f(x)＝x3，F(xiàn)(x)＝x

2、4，試探究f(x)dx與F(1)－F(0)的關(guān)系． 提示：因f(x)dx＝x3dx＝.F(1)－F(0)＝，有f(x)＝F(1)－F(0)且F′(x)＝f(x)． 微積分基本定理 對(duì)于被積函數(shù)f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，即F′(x)dx＝F(b)－F(a)． 1．微積分基本定理表明，計(jì)算定積分f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)．通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x)． 2．微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，最重要的是它也提供了計(jì)算定積分的一種有效

3、方法． 求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分 [例1]　求下列定積分： (1)(x2＋2x＋3)dx； (2)(sin x－cos x)dx； (3)(cos x－ex)dx. [思路點(diǎn)撥]　先求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后利用微積分基本定理求解． [精解詳析]　(1)取F(x)＝＋x2＋3x， 則F′(x)＝x2＋2x＋3， 從而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝. (2)取F(x)＝－cos x－sin x， 則F′(x)＝sin x－cos x， 從而(sin x－cos x)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2. (3)取F(x)

4、＝sin x－ex，則F′(x)＝cos x－ex， 從而(cos x－ex)dx＝F′()dx＝F(0)－F(－π)＝－1. [一點(diǎn)通]　求簡(jiǎn)單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)： (1)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解； (2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限． 1．(江西高考改編)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則 f(x)dx＝____________. 解析：∵f(x)＝x2＋2f(x)dx， ∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx. ∴f(x)dx＝－. 答案：＝－ 2.(cos x＋1

5、)dx＝________. 解析：∵(sin x＋x)′＝cos x＋1， ∴(cos x＋1)dx＝(sin x＋x) ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π 3．求下列定積分： (1)sin2dx；(2)(2－x2)(3－x)dx. 解：(1)sin2＝－， 而′＝－cos x， 所以sin2dx＝dx ＝＝－＝. (2)原式＝(6－2x－3x2＋x3)dx ＝ ＝－ ＝－. 求分段函數(shù)的定積分 [例2]　(1)設(shè)f(x)＝ 求f(x)dx； (2)求dx(a>0)． [思路點(diǎn)撥]　按照函數(shù)f(x)的分段標(biāo)準(zhǔn)，求出每一段上的積

6、分，然后求和． [精解詳析]　(1)f(x)dx＝x2dx＋(cos x－1)dx ＝x3＋(sin x－x)＝sin 1－. (2)由＝得dx＝xdx＋(－x)dx＝x2－x2＝a2. [一點(diǎn)通]　(1)分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段積分的和的形式． (2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無(wú)需分得過(guò)細(xì)． 4.|x＋2|dx＝________. 解析：∵|x＋2|＝ ∴|x＋2|dx＝(x＋2)dx＋(－x－2)dx ＝＋＝. 答案： 5．設(shè)f(x)＝若f(f(1))＝1，則a＝________. 解析：顯然f(1)＝

7、lg 1＝0， 故f(0)＝0＋ 3t2dt＝t3＝1， 得a＝1. 答案：1 求圖形的面積 [例3]　求由曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍成的圖形的面積． [思路點(diǎn)撥]　→→. [精解詳析]　畫出草圖，如圖所示． 解方程組 得A(0,3)，B(3,6)． 所以S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx， 取F(x)＝x2＋3x，則F′(x)＝x＋3， 取H(x)＝x3－x2＋3x，則H′(x)＝x2－2x＋3， 從而S＝F(3)－F(0)－[H(3)－H(0)] ＝－0－ ＝. [一點(diǎn)通]　利用定積分求曲線所圍成的平面圖形的面積的步驟：

8、 (1)根據(jù)題意畫出圖形； (2)找出范圍，定出積分上、下限； (3)確定被積函數(shù)； (4)寫出相應(yīng)的定積分表達(dá)式，即把曲邊梯形面積表示成若干個(gè)定積分的和或差； (5)用微積分基本定理及其運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算定積分，求出結(jié)果． 6．曲線y＝ ，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______． 解析：所圍成的圖形如圖陰影部分所示，點(diǎn)A(0，－2)， 由得 所以B(4,2)，因此所圍成的圖形的面積為dx＝＝. 答案： 7．設(shè)a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 解析：由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝

9、. 答案： 1．求定積分的一些常用技巧 (1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求積分． (2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，應(yīng)分段求定積分再求和． (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)后才能積分． 2．利用定積分求曲邊梯形的面積 (1)在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限． (2)要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開(kāi)，定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng)f(x)≤0時(shí)要通過(guò)絕對(duì)值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面

10、積，然后相加起來(lái)． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十一)] 一、填空題 1.dx＝________. 解析：dx＝ln x＝ln e－ln 1＝1. 答案：1 2.(2sin x－3ex＋2)dx＝________. 解析：(2sin x－3ex＋2)dx＝(－2cos x－3ex＋2x)＝7＋2π－3eπ. 答案：7＋2π－3eπ 3．(江西高考改編)若S1＝x2dx，S2＝dx， S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 解析：S1＝x3＝－＝，S2＝ln x＝ln 2

11、

12、 二、解答題 6．f(x)是一次函數(shù)，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝， 求f(x)的解析式． 解：設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則(ax＋b)dx＝＝a＋b＝5. x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx ＝＝a＋b＝， 所以由 解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3. 7．求由曲線y＝x2與直線x＋y＝2圍成的面積． 解：如圖，先求出拋物線與直線的交點(diǎn)，解方程組 得或 即兩個(gè)交點(diǎn)為(1,1)，(－2,4)．直線為y＝2－x，則所求面積S為： S＝[(2－x)－x2]dx ＝＝. 8．設(shè)f(x)是二次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，且在點(diǎn)(－2，f

13、(－2))處的切線方程為2x＋y＋3＝0. (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)求f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積； (3)若直線x＝－t(0＜t＜1)把f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值． 解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c， ∵其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，∴c＝1， 又∵在點(diǎn)(－2，f(－2))處的切線方程為2x＋y＋3＝0， ∴ ∵f′(x)＝2ax＋b， ∴ ∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依題意，f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形如圖中陰影部分所示， 故所求面積S＝(x2＋2x＋1)dx＝＝. (3)依題意，有 S＝(x2＋2x＋1)dx＝＝， 即t3－t2＋t＝， ∴2t3－6t2＋6t－1＝0， ∴2(t－1)3＝－1， ∴t＝1－.