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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步單元測試 蘇教版必修2
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請把答案填在題中橫線上)
1.有下列四個結(jié)論,其中正確結(jié)論的個數(shù)為________.
①互相垂直的兩直線,有且只有一個公共點;②經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線;③垂直于同一條直線的兩條直線平行;④兩平行線之一垂直于一條直線,則另一條也垂直于此直線.
解析:①錯誤,異面直線也可能垂直.
②錯誤,應有無數(shù)條.
③錯誤,可能平行,相交或異面.
④正確.
答案:1
2.給出下列命題,其中正確的命題的序號是________.
①直線上有兩點到平面的距
2、離相等,則此直線與平面平行;
②直線m⊥平面α,直線n⊥m,則n∥α;
③a、b是異面直線,則存在惟一的平面α,使它與a、b都平行且與a、b距離相等.
解析:①錯誤,如果這兩點在該平面的異側(cè),則直線與平面相交;②錯誤,直線n可能在平面α內(nèi);③正確,如圖,設AB是異面直線a、b的公垂線段,E為AB的中點,過E作a′∥a,b′∥b,則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面,并且它是惟一確定的.
答案:③
3.P為△ABC所在平面外一點,AC=a,連結(jié)PA、PB、PC,得△PAB和△PBC都是邊長為a的等邊三角形,則平面ABC和平面PAC的位置關系為________
3、.
解析:如圖所示,由題意知,
PA=PB=PC=AB=BC=a,
取AC中點D,連結(jié)PD、BD,
則PD⊥AC,BD⊥AC,則∠BDP為二面角P-AC-B的平面角,
又∵AC=a,∴PD=BD=a,
在△PBD中,PB2=BD2+PD2,
∴∠PDB=90°.
答案:垂直
4.如圖甲,在正方形SG1G2G3中,E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點,D是EF的中點,現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體(圖乙),使G1、G2、G3三點重合于點G,這樣,下面結(jié)論成立的是________.
①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;
③GF⊥平面SEF;④GD⊥平
4、面SEF.
解析:在圖甲中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F;
在圖乙中,SG⊥GE,SG⊥GF,
∴SG⊥平面EFG.
答案:①
5.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________.
解析:設正方體的棱長為a,則S正方體=6a2,正四面體D1-AB1C的棱長為a,S正四面體=4××(a)2=2a2,
所以== .
答案:
6.如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于________.
解析:設底面半徑為r,則2πr·2r=S,故r=,所以V=πr2·2r=.
答案:
7.圓柱形容器內(nèi)
5、部盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________ cm.
解析:設球的半徑為r cm,
則πr2×8+πr3×3=πr2×6r,
解得r=4.
答案:4
8.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,EF=,則異面直線AD與BC所成角的大小為________.
解析:取AC中點M,連結(jié)EM,F(xiàn)M,F(xiàn)為DC中點,M為AC中點,
∴FM∥AD,且FM=AD=1,同理EM∥BC,且EM=BC=1.
△EMF中作MN⊥EF于N.
Rt△MNE中,EM=1,EN
6、=,
∴sin∠EMN=,∠EMN=60°,
∴∠EMF=120°,∴AD與BC所成角為60°.
答案:60°
9.
降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度,用上口直徑為38 cm,底面直徑為24 cm,深度為35 cm的圓臺形水桶(軸截面如圖所示)來測量降水量,如果在一次降雨過程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,則本次降雨的降水量是________(精確到1 mm).
解析:桶內(nèi)水的深度為×35=5(cm),設水面半徑為x cm,則有=,解得x=13.
V水=π·5(122+12×13+132)
=π.
設單位面積雨水深度為h,
則V水=π·192·h,
∴π·1
7、92·h=π,
∴h≈2.2 cm=22 mm.
答案:22 mm
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離為________.
解析:利用三棱錐A1-AB1D1的體積變換:VA1-AB1D1=VA-A1B1D1,則×2×4=×6×h,h=.
答案:
11.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC的形狀是________.
解析:如圖,在△ABD內(nèi),作AH⊥BD于H,
∵平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,
∴AH⊥平面BCD.
又BC?平面BCD.
8、
∴BC⊥AH.
又∵DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴DA⊥BC.又AH∩DA=A,
∴BC⊥平面ABD,∴BC⊥AB,
故△ABC是以∠B為90°角的直角三角形.
答案:直角三角形
12.如圖(1)所示,一個裝了水的密封瓶子,其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體.當這個幾何體如圖(2)水平放置時,液面高度為20 cm;當這個幾何體如圖(3)水平放置時,液面高度為28 cm,則這個簡單幾何體的總高度為________.
解析:設上、下圓柱的半徑分別是r、R,高分別是h,H.由水的體積不變得πR2H+πr2(20-H)=πr2h+π
9、R2·(28-h(huán)),又r=1,R=3,故H+h=29.則這個簡單幾何體的總高度為29 cm.
答案:29
13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點C到平面ABC1的距離為________.
解析:如圖,取AB中點為O,連結(jié)C1O和CO.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴CO⊥AB.
∵AC1=BC1,∴C1O⊥AB,
則∠C1OC即為二面角C-AB-C1的平面角.
又AB=1,∴CO=,C1C=,OC1=.
下面用等體積法求距離.
VC1-ABC=VC-ABC1,
∴S△ABC·CC1=S△ABC1·d,
即×
10、=×1××d.∴d=.
答案:
14.已知Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi),直角頂點C是α外一點,AC、BC與α所成角分別為30°和45°,則平面ABC與α所成銳角為________.
解析:如圖所示,過點C作垂直于α的直線CO,交α于點O.
∴∠CAO=30°,∠CBO=45°.
設CO=a,∴Rt△ACO中,AC=2a,
在Rt△BCO中,BC=a.
過C點在平面ABC內(nèi)作CD⊥AB,連結(jié)OD,則∠CDO為平面ABC與α所成的銳角,AB=a,
∴CD=a,∴在Rt△CDO中,sin∠CDO==,
∴∠CDO=60°.
答案:60°
二、解答題(本大題共6小題,共90
11、分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)(2014·淄博高一檢測)直三棱柱的高為6 cm,底面三角形的邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,將棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值.
解:如圖所示,只有當圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時,圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設此時圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6 cm.
∵在△ABC中,AB=3 cm,
BC=4 cm,AC=5 cm,
∴△ABC為直角三角形.
根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-2R=5,
∴R=1 cm,∴V圓柱=πR2·h=6π cm3.
而三棱
12、柱的體積為V三棱柱=×3×4×6=36(cm3),
∴削去部分的體積為36-6π=6(6-π)(cm3).
16.(本小題滿分14分)底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1.
問:在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?
證明你的結(jié)論.
解:如圖所示,連接BD交AC于點O,連接OE,過點B作OE的平行線交PD于點G,過點G作GF∥CE交PC于點F,連接BF.
∵BG∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BG∥平面AEC.
同理GF∥平面AEC,
又BG∩GF=G,
∴平面BFG∥平面AEC,BF?平面BFG.
∴BF∥平
13、面AEC.
下面求點F在PC上的具體位置:
∵BG∥OE,O是BD的中點,
∴E是GD的中點.
又∵PE∶ED=2∶1,
∴G是PE的中點.
而GF∥CE.∴F為PC的中點.
綜上可知,存在點F,當點F是PC的中點時,BF∥平面AEC.
17.(本小題滿分14分)如圖,已知平面α∩平面β=AB,PC⊥α,PD⊥β,垂足分別是C,D.
(1)求證:AB⊥平面PCD;
(2)若PC=PD=1,CD=,試判斷平面α與平面β的位置關系,并證明你的結(jié)論.
解:(1)證明:因為PC⊥α,AB?α,所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.
(2)設AB與
14、平面PCD的交點為H,連結(jié)CH,DH.
因為 AB⊥平面PCD,所以AB⊥CH,AB⊥DH,所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角.
又PC=PD=1,CD=,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.
在平面四邊形PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°,故平面α⊥平面β.
18.(本小題滿分16分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12 m,高4 m.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4 m(高不變);二是高度增加4 m(底面直徑
15、不變).
(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積;
(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;
(3)哪個方案更經(jīng)濟些?
解:(1)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16 m,則倉庫的體積V1=Sh=π×82×4=π(m3);
如果按方案二,倉庫的高變成8 m,
則倉庫的體積V2=Sh=×π×62×8=π(m3).
(2)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16 m,半徑為8 m.棱錐的母線長為l==4(m),
則倉庫的表面積
S1=π×8×4=32π(m2);
如果按方案二,倉庫的高變成8 m.
棱錐的母線長為l==10(m),
則倉庫的表面積
S2=π×6×10
16、=60π(m2).
(3)V2>V1,S2<S1,
所以方案二比方案一經(jīng)濟.
19.(本小題滿分16分)已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且AD=AA1,點F為棱BB1的中點,點M為線段AC1的中點.
(1)求證:MF∥平面ABCD;
(2)求證:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
證明:(1)如圖,延長C1F交CB的延長線于點N,連結(jié)AN.
∵F是BB1的中點,
∴F為C1N的中點,B為CN的中點.
又M是線段AC1的中點,
∴MF∥AN.又MF?平面ABCD,AN?平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD,
(2)連結(jié)BD,由題意知A1
17、A⊥平面ABCD,
又∵BD?平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC?平面ACC1A1,A1A?平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四邊形DANB中,DA∥BN,且DA=BN,
∴四邊形DANB為平行四邊形
∴NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA?平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
20.(本小題滿分16分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,過E作EF⊥PB于點F.
(1)求證:PA∥平面EDB;
(2)求
18、證:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大?。?
解:(1)證明:連結(jié)AC,BD,交于點O,連結(jié)EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴O是AC的中點,
∴在△PAC中,EO是中位線,
∴PA∥EO.
又∵EO?平面EDB,PA?平面EDB,∴PA∥平面EDB.
(2)證明:∵PD⊥底面ABCD,且DC?底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∵PD=DC,∴△PDC是等腰直角三角形.
又∵DE是斜邊PC的中線,∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
又∵DE?平面PDC,∴BC⊥DE.
∴DE⊥平面PBC.
又∵PB?平面PBC,∴DE⊥PB.
又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
(3)由(2)知,PB⊥DF,EF⊥PB,
∴∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.
由(2)知DE⊥EF,PD⊥DB.
設正方形ABCD的邊長為a,則PD=DC=a,BD=a,
∴PB==a,PC==a,
∴在Rt△PDB中,DF===a.
又∵DE=PC=a,
∴在Rt△EFD中,sin∠EFD===,
∴∠EFD=60°.
∴二面角C-PB-D的大小是60°.