2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像.2.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像，確定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖像的物理意義，能指出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相. 知識(shí)點(diǎn)一　“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像 思考1　用“五點(diǎn)法”作y＝sin x，x∈[0，2π]時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值？ 答案　依次為0，，π，，2π. 思考2　用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋

2、φ)時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值？ 答案　用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的簡(jiǎn)圖，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為－，－＋，－＋，－＋，－＋. 梳理　用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的圖像的步驟： 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn). 第三步：用光滑曲線(xiàn)連接這些點(diǎn)，形成圖像. 知識(shí)點(diǎn)二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性質(zhì) 名稱(chēng) 性質(zhì) 定義域 R 值域

3、[－A，A] 周期性 T＝ 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心(k∈Z) 對(duì)稱(chēng)軸 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)； 當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù) 單調(diào)性 通過(guò)整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間 知識(shí)點(diǎn)三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數(shù)的物理意義 1.函數(shù)y＝－2sin的振幅是－2.(　×　) 提示　振幅是2. 2.函數(shù)y＝sin的初相是.(　×　) 提示　初相是－. 3.函數(shù)y＝sin的圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　) 提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程是x＝＋

4、kπ，k∈Z. 類(lèi)型一　用“五點(diǎn)法”畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像 例1　利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝3sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像. 考點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 題點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表： － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描點(diǎn)，連線(xiàn)，如圖所示. 反思與感悟　(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，五點(diǎn)的確定，應(yīng)先令ωx＋φ分別為0，，π，，2π，解出x，從而確定這五點(diǎn). (2)作給定區(qū)間上y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時(shí)，若x∈[m，n]，則應(yīng)先求出ωx＋φ的相

5、應(yīng)范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定x，y的值，描點(diǎn)、連線(xiàn)并作出函數(shù)的圖像. 跟蹤訓(xùn)練1　已知f(x)＝1＋sin，畫(huà)出f(x)在x∈上的圖像. 考點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 題點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 解　(1)∵x∈， ∴2x－∈. 列表如下： x － －π － π 2x－ －π －π － 0 π f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 (2)描點(diǎn)，連線(xiàn)，如圖所示. 類(lèi)型二　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，求A，ω，φ的值，并確定其函數(shù)解析

6、式. 考點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 解　方法一　(逐一定參法) 由圖像知振幅A＝3， 又T＝－＝π， ∴ω＝＝2. 由點(diǎn)可知，－×2＋φ＝0， 得φ＝，∴y＝3sin. 方法二　(待定系數(shù)法) 由圖像知A＝3，又圖像過(guò)點(diǎn)和，根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn))，有解得 ∴y＝3sin. 方法三　(圖像變換法) 由T＝π，點(diǎn)，A＝3可知， 圖像是由y＝3sin 2x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 反思與感悟　若設(shè)所求解析式為y＝

7、Asin(ωx＋φ)，則在觀(guān)察函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來(lái)確定A，ω，φ. (1)由函數(shù)圖像上的最大值、最小值來(lái)確定|A|. (2)由函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)確定T，由T＝，確定ω. (3)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法 ①代入法：把圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω已知)或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解.(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上) ②五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口.“五點(diǎn)”的ωx＋φ的值具體如下： “第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0； “第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝

8、； “第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π； “第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝； “第五點(diǎn)”為ωx＋φ＝2π. 跟蹤訓(xùn)練2　(2017·貴州貴陽(yáng)一中期末考試)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖像如圖所示，則ω＝ . 考點(diǎn)　求三角函數(shù)的解析式 題點(diǎn)　根據(jù)三角函數(shù)的圖像求解析式 答案　 解析　由圖，知＝－＝， ∴T＝，又T＝＝，∴ω＝. 類(lèi)型三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 例3　已知曲線(xiàn)y＝Asin(ωx＋φ)上最高點(diǎn)為(2，)，該最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)間的曲線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)(6，0). (1)求函數(shù)的解

9、析式； (2)求函數(shù)在x∈[－6，0]上的值域. 考點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 解　(1)由題意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又圖像過(guò)最高點(diǎn)(2，)，∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin. (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函數(shù)在x∈[－6，0]上的值域?yàn)閇－，1]. 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函數(shù)y＝f(x)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝. (1)求φ的值； (2)求

10、函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值. 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋－，令＋－＝， 得φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函數(shù)的遞增區(qū)間是(k∈Z). 同理可得函數(shù)的遞減區(qū)間是(k∈Z) 當(dāng)2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值1； 當(dāng)2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值－1.

11、 1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的圖像的一段如圖所示，它的解析式可以是(　　) A.y＝sin B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 考點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　A 解析　由圖像可得A＝，＝－－＝， 所以T＝π，所以ω＝＝＝2， 所以y＝sin(2x＋φ). 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝sin(2x＋φ)， 得＝sin， 則sin＝1， 所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝＋2kπ(k∈Z). 又0<φ<π，令k＝0，則φ＝. 所以解析式可以是y＝s

12、in. 2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖像如圖，則它的振幅A與最小正周期T分別是(　　) A.A＝3，T＝ B.A＝3，T＝ C.A＝，T＝ D.A＝，T＝ 考點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　由題圖可知A＝×(3－0)＝， 設(shè)周期為T(mén)，則T＝－＝，得T＝. 3.下列表示函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖正確的是(　　) 考點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 題點(diǎn)　用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖 答案　A 解析　將y＝sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝sin的

13、圖像，依據(jù)此變換過(guò)程可得到A中圖像是正確的.也可以分別令2x－＝0，，π，，2π得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，描點(diǎn)連線(xiàn)即得函數(shù)y＝sin的圖像. 4.已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖像(　　) A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng) 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　A 解析　ω＝＝2，所以f(x)＝sin. 將x＝代入f(x)＝sin， 得f?＝0，故選A. 5.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示. (1)求f(x)的解析式

14、； (2)寫(xiě)出f(x)的遞增區(qū)間. 考點(diǎn)　三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問(wèn)題 題點(diǎn)　三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問(wèn)題 解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝＝，∴f(x)＝sin， 將點(diǎn)(－2，0)代入得sin＝0， 令－＋φ＝0，∴φ＝， ∴f(x)＝sin. (2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z， ∴f(x)的遞增區(qū)間為[16k－6，16k＋2]，k∈Z. 1.利用“五點(diǎn)”法作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時(shí)，要先令“ωx＋φ”這一個(gè)整體依次取0，，π，π，2π，再求出x的值

15、，這樣才能得到確定圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而不是先確定x的值，后求“ωx＋φ”的值. 2.由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ的值. (1)一般可由圖像上的最大值、最小值來(lái)確定|A|. (2)因?yàn)門(mén)＝，所以往往通過(guò)求得周期T來(lái)確定ω，可通過(guò)已知曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)從而確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T(mén). (3)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，以y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)”中的第一個(gè)點(diǎn). 3.在研究y＝Asi

16、n(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)時(shí)，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)取得最小值. 一、選擇題 1.若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對(duì)任意x都有f?＝f?，則有f?等于(　　) A.3或0 B.－3或0 C.0 D.－3或3 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　D 解析　由f?＝f?知，x＝是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，解得f?＝3或－3，故選D. 2.如圖所示，函數(shù)的解析式為(　　) A.y＝sin B.y＝sin C.y

17、＝cos D.y＝cos 考點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　D 解析　由圖知T＝4×＝π，∴ω＝＝2. 又當(dāng)x＝時(shí)，y＝1，經(jīng)驗(yàn)證，可得D項(xiàng)解析式符合題目要求. 3.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，為了得到g(x)＝sin 3x的圖像，則只要將f(x)的圖像(　　) A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 考點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　由圖像知，函數(shù)f(x)的周期T

18、＝4×＝＝，所以ω＝3. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過(guò)圖中最小值點(diǎn)， 所以A＝1且sin＝－1， 又因?yàn)閨φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin. 因?yàn)間(x)＝sin 3x，所以g(x)＝f?. 為了得到g(x)＝sin 3x的圖像，只需將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選B. 4.把函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)最小正周期為2π的奇函數(shù)g(x)，則ω和φ的值分別為(　　) A.1， B.2， C.， D.， 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)

19、y＝Acos(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　B 解析　依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)＝2cos， 則函數(shù)g(x)＝2cos. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的最小正周期為2π，所以ω＝2， 則g(x)＝2cos. 又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，則φ＝. 5.函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f(x)的遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　D 解析　由圖像知，周期T＝2×＝2，

20、 ∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－0，ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖像如圖所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　　) A.－ B.－ C. D.－ 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　D 解析　由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且0<φ<π，可得φ＝.由圖像及已知可得函數(shù)

21、的最小正周期為4，得ω＝.由△EFG的邊FG上的高為，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－. 二、填空題 7.把函數(shù)y＝2sin的圖像向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的最小正值是 . 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　 解析　把y＝2sin的圖像向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度， 則y＝2sin，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z. ∴取k＝1，則m的最小正值為. 8.已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖像如圖所示，則φ＝

22、 . 考點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 題點(diǎn)　由圖像求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 答案　 解析　由圖像知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的周期為2＝，∴＝，∴ω＝. ∵當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值－1， ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 即φ＝－＋2kπ(k∈Z). ∵－π≤φ<π，∴φ＝. 9.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖像如圖所示，f?＝－，則f(0)＝ . 考點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 答案　 解析　由題圖可知＝－＝，T＝， ∴f(0)＝f?，注意到＝，也即和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，于是

23、f(0)＝f?＝－f?＝. 10.關(guān)于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命題： ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整數(shù)倍； ②y＝f(x)的表達(dá)式可改寫(xiě)成y＝4cos； ③y＝f(x)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)； ④y＝f(x)圖像關(guān)于x＝－對(duì)稱(chēng). 其中正確命題的序號(hào)為 . 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案?、冖? 解析　對(duì)于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)， ∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整數(shù)倍，∴①錯(cuò)； 對(duì)于②，f(x)＝4sin利用公式，得 f(x)＝4cos＝4co

24、s，∴②對(duì)； 對(duì)于③，f(x)＝4sin的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z. ∴是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，∴③對(duì)； 對(duì)于④，函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④錯(cuò). 三、解答題 11.已知曲線(xiàn)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，若φ∈. (1)試求這條曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式； (2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出(1)中函數(shù)在[0，π]上的圖像. 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問(wèn)題 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合問(wèn)題 解　(1)由題意知A＝，T

25、＝4×＝π，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ). 又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z.又∵φ∈，∴φ＝， ∴y＝sin. (2)列出x，y的對(duì)應(yīng)值表： x 0 π π π π 2x＋ π π 2π y 1 0 － 0 1 描點(diǎn)，連線(xiàn)，如圖所示. 12.已知函數(shù)f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為. (1)求f?的值； (2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到

26、函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間. 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 解　(1)∵f(x)為偶函數(shù)， ∴φ－＝kπ＋(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋(k∈Z). 又0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1. 又函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為， ∴T＝＝2×， ∴ω＝2， ∴f(x)＝2cos 2x＋1， ∴f?＝2cos＋1＝＋1. (2)將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)f?的圖像，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f?的圖像.

27、所以g(x)＝f?＝2cos 2＋1＝2cos＋1. 當(dāng)2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時(shí)，g(x)是減函數(shù). ∴函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(k∈Z). 四、探究與拓展 13.設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于(　　) A.1 B. C. D. 考點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 題點(diǎn)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用 答案　D 解析　由圖像可得A＝1，＝＝－＝， 解得ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ). 點(diǎn)相當(dāng)于y＝s

28、in x中的(0，0)， 令2×＋φ＝0，解得φ＝， 滿(mǎn)足|φ|<，符合題意， ∴f(x)＝sin. ∵sin＝1， ∴圖中點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)， ∴x1＋x2＝×2＝， ∴f(x1＋x2)＝sin＝，故選D. 14.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值－3. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間； (3)若x∈時(shí)，函數(shù)h(x)＝2f(x)＋1－m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 考點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用 解　(1)由題意，易知A＝3，T＝2×＝π， ∴ω＝＝＝2， 由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又∵|φ|<π，∴φ＝， ∴f(x)＝3sin. (2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為，k∈Z. (3)由題意知，方程sin＝在區(qū)間 上有兩個(gè)實(shí)根. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈， 又方程有兩個(gè)實(shí)根，∴∈， ∴m∈[1＋3，7).