2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)y＝tan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點).3.注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用(難點)． 知識點1　正切函數(shù)的定義 (1)任意角的正切函數(shù)： 如果角α滿足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值，我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.

2、(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系： 根據(jù)定義知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)． (3)正切值在各象限的符號： 根據(jù)定義知，當(dāng)角在第一和第三象限時，其正切函數(shù)值為正；當(dāng)角在第二和第四象限時，其正切函數(shù)值為負． (4)正切線： 在單位圓中令A(yù)(1,0)，過A作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的延長線相交于T，稱線段AT為角α的正切線． 【預(yù)習(xí)評價】 1．若角α的終邊上有一點P(2x－1,3)，且tan α＝，則x的值為(　　) A．7 B．8 C．15 D. 解析　由正切函數(shù)的定義tan α＝＝，解之得x＝8. 答案　B 2．函數(shù)y＝tan 2x的定義域為

3、________． 解析　由正切函數(shù)的定義知，若使y＝tan 2x有意義，則2x≠kπ＋(k∈Z)． 解得x≠＋(k∈Z)． 答案　 知識點2　正切函數(shù)的圖像及特征 (1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的圖像(正切曲線)： (2)正切曲線的特征： 正切曲線是由被相互平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．這些直線叫作正切曲線各支的漸近線． 【預(yù)習(xí)評價】 正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個嗎？ 提示　正切函數(shù)的對稱中心除了原點外，諸如(π，0)等都是對稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個對稱中心． 知識點3　正切函數(shù)的性質(zhì)

4、 函數(shù) y＝tan x 定義域 值域 R 周期性 周期為kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在(k∈Z)上是增加的 【預(yù)習(xí)評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)(×) (2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√) (3)若x是第一象限的角，則y＝tan x是增函數(shù)(×) (4)正切函數(shù)y＝tan x的對稱中心為(kπ，0)k∈Z.(×) 題型一　正切函數(shù)的定義 【例1】　已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．

5、 解　r＝＝5|a|， 若a＞0，則r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－； 若a＜0，則r＝－5a， 角α在第四象限，sin α＝－， cos α＝，tan α＝－. 規(guī)律方法　已知角α終邊上任一點的坐標(biāo)(m，n)利用定義求tan α?xí)r，其值與該點的位置無關(guān)且tan α＝.但要注意判斷角α所在象限．利用定義可求下列特殊角的正切： α 0 tan α 0 1 － －1 － 【訓(xùn)練1】　若tan α＝，利用三角函數(shù)的定義，求sin α和cos α. 解　∵tan α＝＞0，∴角α是第一

6、或第三象限角． ①若角α是第一象限角，則由tan α＝，角α的終邊上必有一點P(2,1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，則由tan α＝知，角α的終邊上必有一點P(－2，－1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－. 題型二　正切函數(shù)的圖像及應(yīng)用 【例2】　利用正切函數(shù)的圖像作出y＝|tan x|的圖像并寫出使y＝的x的集合． 解　∵當(dāng)x∈時，y＝tan x≤0， 當(dāng)x∈時，y＝tan x＞0， ∴y＝|tan x|＝ 如圖所示． 使y＝的x的集合為. 規(guī)律方法　1.作正切函數(shù)的

7、圖像時，先畫一個周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移．從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點，可用“三點兩線法”，這三點是，(0,0)，，兩線是直線x＝±為漸近線． 2．如果由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝f(|x|)及y＝|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的圖像，令其關(guān)于y軸對稱便可以得到y(tǒng)＝f(|x|)(x≤0)的圖像；同理只要作出y＝f(x)的圖像，令圖像“上不動，下翻上”便可得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像． 【訓(xùn)練2】　(1)函數(shù)y＝的定義域為________． 解析　要使該函數(shù)有意義，則有 即x≠kπ－且x≠kπ＋. 答案　 (2)

8、根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tan x≥－1的解集． 解　作出y＝tan x及y＝－1的圖像，如下圖． ∴滿足此不等式的x的集合為 . 方向1　比較大小 【例3－1】　比較tan 1、tan 2、tan 3的大?。? 解　∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 顯然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在內(nèi)是增函數(shù)， ∴tan (2－π)

9、2x＋2tan x＋2的最值及相應(yīng)的x值． 解　令t＝tan x，∵x∈， ∴t∈[－，1]， y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1， ∴當(dāng)t＝－1，即x＝－時，ymin＝1， 當(dāng)t＝1，即x＝時，ymax＝5. 方向3　性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3－3】　已知f(x)＝－atan x(a≠0)． (1)判斷f(x)在x∈上的奇偶性； (2)求f(x)的最小正周期； (3)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (4)若a＞0，求f(x)在上的值域． 解　(1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈， ∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)． 又∵定義域關(guān)于原點對

10、稱， ∴f(x)為奇函數(shù)． (2)f(x)的最小正周期為π. (3)∵y＝tan x在(k∈Z)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)a＞0時，f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞減， 當(dāng)a＜0時，f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增． (4)當(dāng)a＞0時，f(x)在上單調(diào)遞減，故x＝時，f(x)max＝－a，無最小值． ∴f(x)的值域為(－∞，－a]． 規(guī)律方法　1.比較同名三角函數(shù)值的大小，實質(zhì)上是將兩個角利用周期性放在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大?。? 2．對于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究，應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為基礎(chǔ)，運用整體思想和換元法求解．如果ω<0，

11、一般先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進行求解. 課堂達標(biāo) 1．函數(shù)y＝3tan(2x＋)的定義域是(　　) A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z} C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z} 解析　由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋. 答案　C 2．函數(shù)f(x)＝tan(x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z 解析　由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z. 解之得kπ－＜x＜kπ＋，故選C. 答案　C

12、3．已知點P(tan α，cos α)在第二象限，則α的終邊在第________象限． 解析　由P點在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0， ∴α在第四象限． 答案　四 4．若角θ的終邊經(jīng)過點A，且tan θ＝，則m＝________. 解析　由tan θ＝＝＝. ∴m＝－. 答案　－ 5．函數(shù)y＝tan(2x＋θ)圖像的一個對稱中心為，若－＜θ＜，求θ的值． 解　因為函數(shù)y＝tan(2x＋θ)的一個對稱中心為， ∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z. 又∵－＜θ＜， ∴當(dāng)k＝2時，θ＝；當(dāng)k＝1時，θ＝－. ∴滿足題意的θ為或－. 課堂小結(jié) 1．作正切

13、曲線簡圖時，只需先作出一個周期中的兩條漸近線x＝－，x＝，然后描出三個點(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，再平移至各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可． 2．正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)都是三角函數(shù)，但應(yīng)用它們的性質(zhì)時應(yīng)注意它們的區(qū)別． (1)正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，值域為[－1,1]，正切函數(shù)是無界函數(shù)，值域為R. (2)正弦、余弦函數(shù)的圖像是連續(xù)的，定義域為R，正切函數(shù)的圖像是不連續(xù)的，定義域為. (3)正弦、余弦函數(shù)均是既有增區(qū)間又有減區(qū)間，而正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k∈Z)上都是增加的. 基礎(chǔ)過關(guān) 1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是(　　) A．

14、第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 解析　若sin θ＞0，tan θ＜0，則θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，則θ在第三象限． 答案　B 2．若已知角α滿足sin α＝，cos α＝，則tan α＝(　　) A. B. C. D. 解析　由三角函數(shù)定義可知tan α＝. 答案　B 3．函數(shù)f(x)＝tan，x∈R的最小正周期為(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析　由＝2π，故選C. 答案　C 4．使函數(shù)y＝2tan x與y＝cos x同時為單調(diào)遞增的區(qū)間是____________

15、____． 解析　由y＝2tan x與y＝cos x的圖像知，同時為單調(diào)遞增的區(qū)間為(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)． 答案　(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z) 5．函數(shù)y＝tan x的值域是________． 解析　∵y＝tan x在區(qū)間上單調(diào)遞增． tan＝－tan ＝－1，tan＝， ∴y＝tan x在上的值域是. 答案　[－1，] 6．求函數(shù)y＝tan的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性． 解　由3x－≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z. 所以所求定義域為. 值域為R，周期T＝，是非

16、奇非偶函數(shù)． 在區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù)． 7．利用函數(shù)圖像，解不等式－1≤tan x≤. 解　作出函數(shù)y＝tan x的圖像，如圖所示．觀察圖像可得： 在內(nèi)，滿足條件的x為－≤x≤，由正切函數(shù)的周期性可知， 滿足不等式的x的解集為 . 能力提升 8．關(guān)于函數(shù)y＝tan，下列說法正確的是(　　) A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減 C.為其圖像的一個對稱中心 D．最小正周期為π 解析　函數(shù)y＝tan是非奇非偶函數(shù)，A錯誤； 在區(qū)間上單調(diào)遞增，B錯誤； 最小正周期為，D錯誤． ∵當(dāng)x＝時，tan＝0， ∴為其圖像的一個對稱中心，故選C. 答案　C 9．函數(shù)

17、f(x)＝tan ωx (ω>0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y＝所得線段長為，則f的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 解析　由題意，得T＝＝，∴ω＝4. ∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0. 答案　A 10．已知函數(shù)y＝tan ωx在(－，)是減函數(shù)，則ω的取值范圍是____________． 解析　∵y＝tan ωx在(－，)內(nèi)是減函數(shù)， ∴ω<0且T＝≥π. ∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案　[－1,0) 11．求函數(shù)y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域為____________． 解析　∵－≤x≤， ∴－1≤tan x≤1

18、. 令tan x＝t，則t∈[－1,1]． ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴當(dāng)t＝－1，即x＝－時，ymin＝－4， 當(dāng)t＝1，即x＝時，ymax＝4. 故所求函數(shù)的值域為[－4,4]． 答案　[－4,4] 12．若函數(shù)f(x)＝tan2x－atan x的最小值為－6.求實數(shù)a的值． 解　設(shè)t＝tan x，因為|x|≤， 所以t∈[－1,1]． 則原函數(shù)化為：y＝t2－at＝2－， 對稱軸t＝. ①若－1≤≤1，則當(dāng)t＝時， ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)； ②若＜－1，即a＜－2時， 二次函數(shù)在[－1,1]上遞增， ymin＝2－＝

19、1＋a＝－6， 所以a＝－7； ③若＞1，即a＞2時，二次函數(shù)在[－1,1]上遞減． ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7. 綜上所述，a＝－7或a＝7. 13．(選做題)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求函數(shù)定義域； (2)用定義判斷f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f(x)的圖像； (4)寫出f(x)的最小正周期及單調(diào)性． 解　(1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)的定義域是. (2)由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱． 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (3)f(x)＝ f(x)(x∈[－π，π])的圖像如圖所示． (4)f(x)的最小正周期為2π，遞增區(qū)間是(k∈Z)，遞減區(qū)間是(k∈Z)．