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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.1 命題作業(yè)1 北師大版選修1 -1
1.命題“若a>b,則2a>2b”的否命題為( )
A.若a>b,則2a≤2b B.若a≤b,則2a≤2b
C.若a≤b,則2a>2b D.若a>b,則2a<2b
解析:選B.把條件和結(jié)論分別加以否定.
2.“若x>1,則p”為真命題,那么p不能是( )
A.x>-1 B.x>0
C.x>1 D.x>2
解析:選D.x>1x>2,故選D.
3.給出下列命題:①a>|b|?a2>b2;②a>b?a3>b3;③|a|>b?a2>b2.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.
2、0 B.2
C.1 D.3
解析:選B.由不等式的性質(zhì)可知①②正確.當(dāng)|a|≤|b|時(shí),③不正確.
4.已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,且a⊥α,b⊥β,下列命題中的假命題是( )
A.若a∥b,則α∥β
B.若α⊥β,則a⊥b
C.若a,b相交,則α,β相交
D.若α,β相交,則a,b相交
解析:選D.舉反例如圖,已知α,β為兩個(gè)不同的平面,且α∩β=c,a⊥α于點(diǎn)A,b⊥β于點(diǎn)B,a與b異面.故“若α,β相交,則a,b相交”是假命題.
5.命題“如果a,b都是奇數(shù),則ab必為奇數(shù)”的逆否命題是( )
A.如果ab是奇數(shù),則a,b都是奇
3、數(shù)
B.如果ab不是奇數(shù),則a,b不都是奇數(shù)
C.如果a,b都是奇數(shù),則ab不是奇數(shù)
D.如果a,b不都是奇數(shù),則ab不是奇數(shù)
解析:選B.先寫原命題的否命題為“如果a,b不都是奇數(shù),則ab不是奇數(shù),”再把否命題的條件和結(jié)論交換,得“如果ab不是奇數(shù),則a、b不都是奇數(shù)”.
6.下列語(yǔ)句中是命題的有________,其中是真命題的有________(寫序號(hào)).
①北京是中國(guó)的首都;
②x=2是方程x2-4x+4=0的根;
③3n不是個(gè)大數(shù);
④sin x>-x2;
⑤0是自然數(shù)嗎?
⑥我希望明年考上北京大學(xué).
解析:①是命題,且是真命題.
②是命題,且是真命題.
③
4、不是命題,因?yàn)闊o(wú)法判斷其真假.
④不是命題,因?yàn)殡S著x取值的不同,式子有的成立,有的不成立,即無(wú)法判斷其真假.
⑤不是命題,因?yàn)樗且蓡柧洌?
⑥不是命題,因?yàn)樗瞧硎咕洌?
答案:①② ①②
7.命題“已知a、x為實(shí)數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,則a≥1”的逆否命題為________.
解析:先寫出逆命題,再把逆命題條件和結(jié)論交換即可.
答案:已知a、x為實(shí)數(shù),如果a<1,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為?
8.有下列四個(gè)命題:
①命題“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題;
②命題“面積相等的三角形全等”的否
5、命題;
③命題“若m≤1,則x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題;
④命題“若A∩B=B,則A?B”的逆否命題.
其中是真命題的是________(填上正確命題的序號(hào)).
解析:④中由A∩B=B,應(yīng)該得出B?A,原命題為假命題,所以逆否命題為假命題.
答案:①②③
9.判斷下列命題的真假,并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題,同時(shí)判斷這些命題的真假.
(1)若a>b,則ac2>bc2;
(2)若在二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac<0,則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點(diǎn).
解:(1)該命題為假.因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí),ac2=bc2.
逆命題:若ac2>bc2,則
6、a>b,為真.
否命題:若a≤b,則ac2≤bc2,為真.
逆否命題:若ac2≤bc2,則a≤b,為假.
(2)該命題為假.∵當(dāng)b2-4ac<0時(shí),二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根,因此二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸無(wú)公共點(diǎn).
逆命題:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有公共點(diǎn),則b2-4ac<0,為假.
否命題:若在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,b2-4ac≥0,則該二次函數(shù)圖像與x軸沒有公共點(diǎn),為假.
逆否命題:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒有公共點(diǎn),則b2-4ac≥0,為假.
10.(1)如圖,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是平
7、面π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真.
(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需要證明).
解:(1)證明:如圖,設(shè)c∩b=A,P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),作PO⊥π,垂足為O,則O∈c,
∵PO⊥π,aπ,∴PO⊥a,
又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面PAO,又c平面PAO,
∴a⊥c.
(2)逆命題為:a是平面π內(nèi)的一條直線,b是平面π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在平面π上的投影,若a⊥c,則a⊥b.逆命題為真命題.
[能力提升]
1.(2014·衡水高二檢測(cè))下列命題正確的
8、個(gè)數(shù)為( )
①已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,則3x-y的范圍是[1,7];
②若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的所有m都成立,則x的范圍是(,);
③如果正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是[8,+∞);
④a=log2,b=log3,c=()0.5的大小關(guān)系是a>b>c.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B.對(duì)①,令3x-y=λ(x+y)+μ(x-y)=(λ+μ)x+(λ-μ)y,得,∴
∴(3x-y)min=1×(-1)+2×1=1,
(3x-y)max=1×1+2×3=7,
∴3x-y∈[1,7],①正確;
9、對(duì)②,令f(m)=(x2-1)m-2x+1,由題意f(m)<0在[-2,2]上恒成立,即,
解得<x<,②正確;
對(duì)③,∵a,b∈(0,+∞),∴a+b≥2,由ab=a+b+3,得ab≥2+3.
即()2-2-3≥0,解得≥3或≤-1(舍),∴ab≥9,③不正確;
對(duì)④,∵a<0,b<0,c>0,∴④不正確.
2. 設(shè)p:平面向量a,b,c互不共線,q表示下列不同的結(jié)論:
①|(zhì)a+b|<|a|+|b|.②a·b=|a|·|b|.
③(a·b)c-(a·c)b與a垂直.④(a·b)c=a(b·c).
其中,使命題“若p,則q”為真命題的所有序號(hào)是________.
解析:由于p
10、:平面向量a,b,c互不共線,
則必有|a+b|<|a|+|b|,①正確;
由于a·b=|a||b|cos θ<|a||b|,②不正確;
由于[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0,所以(a·b)c-(a·c)b與a垂直,③正確;
由于平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,且a,b,c互不共線,故(a·b)c≠a(b·c),④不正確.
綜上可知真命題的序號(hào)是①③.
答案:①③
3.求證:若p2+q2=2,則p+q≤2.
證明:該命題的逆否命題為:若p+q>2,則p2+q2≠2.
p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]≥(p+q)2.
∵p+q>2,∴(p+q)2>4,∴p2+q2>2.
即p+q>2時(shí),p2+q2≠2成立.
∴若p2+q2=2,則p+q≤2.
4.已知命題p:lg(x2-2x-2)≥0;命題q:1-x+<1,若命題p是真命題,命題q是假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解:由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,
即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.
由1-x+<1,
得x2-4x<0,解得0<x<4.
因?yàn)槊}p為真命題,命題q為假命題,
所以,解得x≤-1或x≥4.
所以,滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1]∪[4,+∞).