2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1 命題學案 北師大版選修1 -1

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1 命題學案 北師大版選修1 -1 命題的定義及形式 觀察下列語句的特點： ①兩個全等三角形的面積相等； ②y＝2x是一個增函數(shù)； ③請把門關上！ ④y＝tan x的定義域為全體實數(shù)嗎？ ⑤若x>2 013，則x>2 014. 問題1：上述哪幾個語句能判斷為真？ 提示：①②. 問題2：上述哪幾個語句能判斷為假？ 提示：⑤. 問題3：上述哪幾個語句不是命題？你知道是什么原因嗎？ 提示：③④.因為它們都不能判斷真假． 問題4：語句⑤的條件和結論分別是什么？ 提示：條件為“x>2 013”，結論

2、為“x>2 014”． 1．命題 (1)可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題． (2)判斷為真的語句叫作真命題；判斷為假的語句叫作假命題． 2．命題的形式 數(shù)學中，通常把命題表示成“若p，則q”的形式，其中，p是條件，q是結論. 四種命題及其關系 觀察下列四個命題： ①若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)； ②若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)； ③若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)； ④若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)． 問題1：命題①與命題②③④的條件和結論之間分別有什么關系？ 提示：命題①的條件是命題②

3、的結論，且命題①的結論是命題②的條件； 對于命題①③，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定； 對于命題①④，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定． 問題2：命題①④的真假性相同嗎？命題②③的真假性相同嗎？ 提示：命題①④同為真，命題②③同為假． 1．四種命題 (1)互逆命題：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么把這樣的兩個命題叫作互逆命題．其中一個命題叫作原命題，另一個命題叫作原命題的逆命題． (2)互否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和

4、結論的否定，那么把這樣的兩個命題叫作互否命題．如果把其中的一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的否命題． (3)互為逆否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，把這樣的兩個命題叫作互為逆否命題．如果把其中的一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的逆否命題． (4)四種命題的條件、結論之間的關系如表所示： 命題 條件 結論 原命題 p q 逆命題 q p 否命題 p的否定 q的否定 逆否命題 q的否定 p的否定 2．四種命題間的關系 原命題和其逆否命題為互為逆否命題，否命題與逆命題為互為逆否命題，互

5、為逆否的兩個命題真假性相同． 1．判斷一個語句是否為命題關鍵看它是否符合兩個條件：一是可以判斷真假，二是用文字或符號表述的語句．祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題． 2．寫四種命題時，一定要先找出原命題的條件和結論，根據(jù)條件和結論的變化分別得到逆命題、否命題、逆否命題． 3．互為逆否命題的兩個命題真假性相同． 命題的概念及真假判斷 [例1]　判斷下列語句是否為命題，若是，請判斷真假并改寫成“若p，則q”的形式． (1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？ (2)一個正整數(shù)不是合數(shù)就是質數(shù)； (3)三角形中，大角所對的邊大于小角所對的邊； (4)當x

6、＋y是有理數(shù)時，x，y都是有理數(shù)； (5)1＋2＋3＋…＋2 014； (6)這盆花長得太好了！ [思路點撥]　根據(jù)命題的概念進行判斷． [精解詳析]　(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命題． (2)是命題．因為1既不是合數(shù)也不是質數(shù)，故它是假命題．此命題可寫成“若一個數(shù)為正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是質數(shù)”． (3)是真命題．此命題可寫成“在三角形中，若一條邊所對的角大于另一邊所對的角，則這條邊大于另一邊”． (4)是假命題．此命題可寫成“若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)”． [一點通]　 1．判斷語句是否為命題的關鍵是看該語句是否能判斷真假． 2．在說明一個命題是真命題

7、時，應進行嚴格的推理證明，而要說明命題是假命題，只需舉一個反例即可． 1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的詩《相思》，在這四句詩中，可以作為命題的是(　　) A．紅豆生南國　　　　　　　　 B．春來發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思 解析：“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能判斷真假，不是命題，故選A. 答案：A 2．給定下列命題：①若k＞0，則方程x2＋2x－k＝0有實數(shù)根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；

8、③對角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x，y中至少有一個為0.其中是真命題的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命題；②由不等式的乘法性質知命題正確，所以②是真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，所以③是假命題；④由等式性質知命題正確，所以④是真命題，故選B. 答案：B 3．將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假． (1)偶數(shù)可被2整除； (2)奇函數(shù)的圖像關于原點對稱． 解：(1)若一個數(shù)是偶數(shù)，則它可以被2整除．真命題；(2)若一個函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖像關于原點對稱．

9、真命題. 四種命題及其關系 [例2]　分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根； (2)若ab＝0，則a＝0； (3)若x2＋y2＝0，則x，y全為零； (4)已知a，b，c為實數(shù)，若a＝b，則ac＝bc. [思路點撥]　找出命題的條件p和結論q.根據(jù)四種命題的條件和結論的關系寫出其余三種命題． [精解詳析]　(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q<1.假命題． 否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，假命題． 逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根．則q≥1，真命題． (2)逆

10、命題：若a＝0，則ab＝0，真命題． 否命題：若ab≠0，則a≠0，真命題． 逆否命題：若a≠0，則ab≠0，假命題． (3)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題． 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題． 逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題． (4)逆命題：已知a，b，c為實數(shù)，若ac＝bc，則a＝b，假命題． 否命題：已知a，b，c為實數(shù)，若a≠b，則ac≠bc，假命題． 逆否命題：已知a，b，c為實數(shù)，若ac≠bc，則a≠b，真命題． [一點通]　 1．由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法： (1)交換原命題的條件和結

11、論，得到逆命題； (2)同時否定原命題的條件和結論，得到否命題； (3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，得到逆否命題． 2．原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同． 4．有下列四個命題，其中真命題是(　　) ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“正方形的四條邊相等”的逆命題；③“若m≥2，則x2＋mx＋1＝0有實根”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．③④ 解析：①逆命題：若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1.真命題．②逆命題：四條邊相等的四邊形是正方形．假命題．③逆否命題：若方程x

12、2＋mx＋1＝0無實根，則m<2.真命題．④原命題為假命題，逆否命題也為假命題． 答案：C 5．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題： (1)若α＋β＝，則sin α＝cos β； (2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，則ab＝cd. 解：(1)逆命題：若sin α＝cos β，則α＋β＝； 否命題：若α＋β≠，則sin α≠cos β； 逆否命題：若sin α≠cos β，則α＋β≠. (2)逆命題：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，則a＝c，b＝d； 否命題：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，則ab≠cd； 逆否命題：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，則a≠

13、c或b≠d. 6．將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題． (1)垂直于同一平面的兩條直線平行； (2)當mn＜0時，方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根． 解：(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行． 它的逆命題、否命題和逆否命題如下： 逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個平面． 否命題：若兩條直線不垂直于同一個平面，則這兩條直線不平行． 逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個平面． (2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根．

14、它的逆命題、否命題和逆否命題如下： 逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn＜0. 否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根． 逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0. 逆否命題的應用 [例3]　判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假． [思路點撥]　本題可直接寫出其逆否命題判斷其真假，也可直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假． [精解詳析]　法一：其逆否命題為：已知a，x為實數(shù)，如果a<1，則關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集

15、． 判斷如下： 拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上， 判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因為a<1，所以4a－7<0，即Δ<0. 所以拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點， 所以關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集， 故逆否命題為真命題． 法二：先判斷原命題的真假． 因為a，x為實數(shù)，且關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 即4a－7≥0，解得a≥. ∵>1，∴a≥1.∴原命題為真． 又因為原命題與其逆否命題真假相同，所以逆

16、否命題為真． [一點通]　 由于互為逆否命題的兩個命題有相同的真假性，當一個命題的真假不易判斷時，可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判斷該命題的真假． 7．命題“若m>0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根”的逆否命題是________(填“真”或“假”)命題． 解析：當m>0時，Δ＝1＋4m>0， ∴x2＋x－m＝0有實數(shù)根． ∴原命題為真，故其逆否命題為真． 答案：真 8．證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1. 證明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”． ∵a＝2b＋1時， a2－4b

17、2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0. ∴命題“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題． 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知原命題正確． 1．互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說兩個命題的關系，是相對而言的，把其中一個命題叫作原命題時，另外三個命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題． 2．寫四種命題時，大前提應保持不變．判斷四種命題的真假時，可以根據(jù)互為逆否命題的兩個命題的真假性相同來判斷． 1．命題“若x＞1，則x＞－1”的否命題是(　　) A．若x＞1，則x≤－1　　　 B．若x≤1，則x＞－1 C．若x≤1，則x≤－1

18、D．若x＜1，則x＜－1 解析：原命題的否命題是對條件“x＞1”和結論“x＞－1”同時否定，即“若x≤1，則x≤－1”，故選C. 答案：C 2．給出下列三個命題：(　　) ①“全等三角形的面積相等”的否命題； ②“若lg x2＝0，則x＝－1”的逆命題； ③“若x≠y，或x≠－y，則|x|≠|y|”的逆否命題． 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：①的否命題是“不全等的三角形面積不相等”，它是假命題；②的逆命題是“若x＝－1，則lg x2＝0”，它是真命題；③的逆否命題是“若|x|＝|y|，則x＝y(tǒng)且x＝－y”，它是假命

19、題，故選B. 答案：B 3．(湖南高考)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：以否定的結論作條件、否定的條件作結論得出的命題為逆否命題，即“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”． 答案：C 4．已知命題“若ab≤0，則a≤0或b≤0”，則下列結論正確的是(　　) A．真命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0或b＞0” B．真命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0且b＞0” C．假命題，否命題：“若ab

20、＞0，則a＞0或b＞0” D．假命題，否命題：“若ab＞0，則a＞0且b＞0” 解析：逆否命題“若a＞0且b＞0，則ab＞0”，顯然為真命題，又原命題與逆否命題等價，故原命題為真命題．否命題為“若ab＞0，則a＞0且b＞0”，故選B. 答案：B 5．已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的?。舭焉鲜雒}改為“若p，則q”的形式，則p是__________________________，q是_________________________． 答案：一條直線是弦的垂直平分線　這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧． 6．命題“若x2<4，則－2

21、__________，為________(填“真、假”)命題． 答案：若x≥2或x≤－2，則x2≥4　真 7．把命題“兩條平行直線不相交”寫成“若p，則q”的形式，并寫出其逆命題、否命題、逆否命題． 解：原命題：若直線l1與l2平行，則l1與l2不相交； 逆命題：若直線l1與l2不相交，則l1與l2平行； 否命題：若直線l1與l2不平行， 則l1與l2相交； 逆否命題：若直線l1與l2相交，則l1與l2不平行． 8．證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)

22、f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)