2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末優(yōu)化總結(jié)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2
《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末優(yōu)化總結(jié)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末優(yōu)化總結(jié)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末優(yōu)化總結(jié)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.曲線(xiàn)y=xex-1在點(diǎn)(1,1) 處切線(xiàn)的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1 解析:由y=xex-1得y′=ex-1+xex-1,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處切線(xiàn)的斜率k=y(tǒng)′|x=1=e1-1+1×e1-1=2.故選C. 答案:C 2.二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象是如圖所示的一條直線(xiàn),y=f(x)的圖象的頂
2、點(diǎn)在( ) A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限 解析:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,∵二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),∴c=0,∴f′(x)=2ax+b,由y=f′(x)的圖象可知,2a<0,b>0,∴a<0,b>0,∴->0,=->0,故選A. 答案:A 3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3,若f′(1)=3,則a等于( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析:∵f′(x)=li =li =a, ∴f′(1)=a=3. 答案:C 4.若f(x)=x2-2x-4ln x,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A.(-1,0) B.
3、(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 解析:f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2. 答案:C 5.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最大值3,那么此函數(shù)在[-2,2]上的最小值為( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 解析:由f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,解得x=0或x=2,又f(0)=m,f(2)=m-8, f(-2)=m-40,所以f(x)max=m=3,f(x)min=m-40=3-40=-37. 答案:A 6.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π)
4、,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
解析:∵f(x)=2cos2x+1=2+cos 2x,x∈(0,π),
∴f′(x)=-2sin 2x.
令f′(x)>0,則sin 2x<0.
又x∈(0,π),∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π,即 5、
D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
解析:由圖可知,當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-2 6、x=0是其極值點(diǎn)的函數(shù)是( )
A.f(x)=-x3 B.f(x)=-cos x
C.f(x)=sin x-x D.f(x)=
解析:對(duì)于A(yíng),f′(x)=-3x2≤0恒成立,在R上單調(diào)遞減,沒(méi)有極值點(diǎn);對(duì)于B,f′(x)=sin x,當(dāng)x∈(-π,0)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(0,π)時(shí),f′(x)>0,故f(x)=-cos x在x=0的左側(cè)區(qū)間(-π,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在其右側(cè)區(qū)間(0,π)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x=0是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn);對(duì)于C,f′(x)=cos x-1≤0恒成立,在R上單調(diào)遞減,沒(méi)有極值點(diǎn);對(duì)于D,f(x)=在x=0沒(méi)有定義,所以x=0不可能成為極值點(diǎn),綜上可 7、知,答案選B.
答案:B
10.已知函數(shù)f(x)=asin x-bcos x在x=時(shí)取得極值,則函數(shù)y=f(-x)是( )
A.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱(chēng)
B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)
C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)
D.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱(chēng)
解析:∵f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng),∴f(0)=
f(),∴-b=a,
∴f(x)=asin x-bcos x=asin x+acos x=asin(x+),
∴f(-x)=asin(-x+)=asin(π-x)=asin x.
顯然f(-x)是奇函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱(chēng),故選D.
答案:D
11 8、.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),則不等式f(x)<x+1的解集為( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:不等式f(x)<x+1可化為f(x)-x<1,
設(shè)g(x)=f(x)-x,
由題意g′(x)=f′(x)-1<0,g(1)=f(1)-1=1,故原不等式?g(x)<g(1),故x>1.
答案:A
12.函數(shù)f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的圖象大致為( )
解析:在[-π,π]上,
∵f(-x)= 9、[1-cos(-x)]sin(-x)=(1-cos x)
(-sin x)=-(1-cos x)sin x=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除B.
取x=,則f()=(1-cos)sin=1>0,排除A.
∵f(x)=(1-cos x)sin x,∴f′(x)=sin x·sin x+(1-cos x)cos x
=1-cos2x+cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1.
令f′(x)=0,則cos x=1或cos x=-.
結(jié)合x(chóng)∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的極大值點(diǎn)為π,靠近π,選C.
答案:C
二、填空題( 10、本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中的橫線(xiàn)上)
13.設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f′(1)=________.
解析:令ex=t,則x=ln t,所以f(x)=ln x+x,即
f′(x)=1+,則f′(1)=1+1=2.
答案:2
14.曲線(xiàn)y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)閥=e-5x+2,所以y′=-5e-5x,所求切線(xiàn)的斜率為k=y(tǒng)′|x=0=-5e0=-5,故所求切線(xiàn)的方程為y-3=-5(x-0),即y=-5x+3或5x+y-3=0.
答案:y=-5x+3或5x+y-3=0
1 11、5.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:f′(x)=,令f′(x)> 0,得-1 12、V′(x)>0,當(dāng)x∈(,10)時(shí),V′(x)<0,
∴當(dāng)x=時(shí),V(x)取得最大值為π cm3.
答案:π cm3
三、解答題(本大題共有6小題,共74分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿(mǎn)分12分)求曲線(xiàn)y=x3在點(diǎn)(3,27)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.
解析:因?yàn)閒′(3)=li =27,所以在點(diǎn)(3,27)處的切線(xiàn)方程為y-27=27(x-3),即y=27x-54.
此切線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0),(0,-54).
所以切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為×2×54=54.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=ex( 13、ax+b)-x2-4x,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.
解析:(1)f′ (x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8.
從而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-).
令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(-2,-ln 2)時(shí),f′(x 14、)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).
19. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx在區(qū)間(-2,1)內(nèi)x=-1時(shí)取極小值,x=時(shí)取極大值.
(1)求函數(shù)y=f(x)在x=-2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.
解析:(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分別對(duì)應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值,
所以-1,為方程-3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根.
所以a 15、=-1+,-=(-1)×.
于是a=-,b=2,則f(x)=-x3-x2+2x.
當(dāng)x=-2時(shí),f(-2)=2,即(-2,2)在曲線(xiàn)上.
又切線(xiàn)斜率為k=f′(-2)=-8,所求切線(xiàn)方程為y-2=-8(x+2),
即為8x+y+14=0.
(2)當(dāng)x變化時(shí),f′(x)及f(x)的變化情況如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,)
(,1)
1
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
2
-
則f(x)在[-2,1]上的最大值為2,最小值為-.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知二次函數(shù)f(x)=3x 16、2-3x,直線(xiàn)l1:x=2和l2:y=3tx(其中t為常數(shù),且0 17、x)]dx+[(3x2-3x)-3tx]dx
=+
=(t+1)3-6t+2.
(2)依據(jù)定義,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R,則
h′(x)=3(x+1)2-6.
因?yàn)閙≠4,則點(diǎn)A(1,m)不在曲線(xiàn)y=h(x)上.
過(guò)點(diǎn)A作曲線(xiàn)y=h(x)的切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),
則切線(xiàn)方程為:y-y0=[3(x0+1)2-6](x-x0),
所以
消去y0,化簡(jiǎn)整理得2x-6x0+m=0,其有三個(gè)不等實(shí)根.
設(shè)g(x0)=2x-6x0+m,則g′(x0)=6x-6.
由g′(x0)>0,得x0>1或x0<-1;
由g′(x0)<0,得-1 18、(x0)在區(qū)間(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x0=-1時(shí),函數(shù)g(x0)取極大值;
當(dāng)x0=1時(shí),函數(shù)g(x0)取極小值.
因此,關(guān)于x0的方程2x-6x0+m=0有三個(gè)不等實(shí)根的充要條件是
即即-4 19、 x-cos x=-xsin x.
因?yàn)樵趨^(qū)間(0,)上f′(x)=-xsin x<0,所以f(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞減.
從而f(x)≤f(0)=0.
(2)當(dāng)x>0時(shí),“>a”等價(jià)于“sin x-ax>0”;“0對(duì)任意x∈(0,)恒成立.
當(dāng)c≥1時(shí),因?yàn)閷?duì)任意x∈(0,),g′(x)=cos x-c<0,所以g(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞減.從而對(duì)
g(x) 20、(x0)=cos x0-c=0.
g(x)與g′(x)在區(qū)間(0,)上的情況如下:
x
(0,x0)
x0
(x0,)
g′(x)
+
0
-
g(x)
因?yàn)間(x)在區(qū)間[0,x0]上是增函數(shù),所以g(x0)>g(0)=0.進(jìn)一步,“g(x)>0對(duì)任意x∈(0,)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g()=1-c≥0,即0 21、高考北京卷)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值;
(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切,求t的取值范圍;
(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切?(只需寫(xiě)出結(jié)論)
解析:(1)由f(x)=2x3-3x得f′(x)=6x2-3.
令f′(x)=0,得x=-或x=.
因?yàn)閒(-2)=-10,f=,f=-,
f(1)=-1,
所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為
f=.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),
則y0= 22、2x-3x0,且切線(xiàn)斜率為k=6x-3,
所以切線(xiàn)方程為y-y0=(6x-3)(x-x0),
因此t-y0=(6x-3)(1-x0),整理得4x-6x+t+3=0.
設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,
則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”.
g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)與g′(x)的情況如下:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1 23、)=t+1是
g(x)的極小值.
當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間
(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間
(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-3
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