（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 2．1.2　演繹推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系． 知識(shí)點(diǎn)一　演繹推理 思考　分析下面幾個(gè)推理，找出它們的共同點(diǎn)． (1)所有的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡? (2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除． 答案　問題中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理叫演繹推理． 梳理　演繹推理的概念 定義 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理 特點(diǎn) 由一般到特殊的推理

2、 知識(shí)點(diǎn)二　三段論 思考　所有的金屬都能導(dǎo)電，銅是金屬，所以銅能導(dǎo)電，這個(gè)推理可以分為幾段？每一段分別是什么？ 答案　分為三段． 大前提：所有的金屬都能導(dǎo)電． 小前提：銅是金屬． 結(jié)論：銅能導(dǎo)電． 梳理　三段論的基本模式 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情況 S是M 結(jié)論 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 S是P 1．演繹推理的結(jié)論一定正確．(　×　) 2．在演繹推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般性原理對(duì)特殊情況做出的判斷．(　√　) 3．大前提和小

3、前提都正確，推理形式也正確，則所得結(jié)論是正確的．(　√　) 類型一　演繹推理與三段論 例1　將下列演繹推理寫成三段論的形式． ①平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分； ②等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B； ③通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的應(yīng)用 解　①平行四邊形的對(duì)角線互相平分， 大前提 菱形是平行四邊形， 小前提 菱形的對(duì)角線互相平分． 結(jié)論 ②等腰三角形的兩底角相等， 大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的兩底角， 小前提 ∠A＝

4、∠B. 結(jié)論 ③在數(shù)列{an}中，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列， 大前提 當(dāng)通項(xiàng)公式為an＝2n＋3時(shí)，若n≥2， 則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))， 小前提 通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 結(jié)論 反思與感悟　用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提

5、． 跟蹤訓(xùn)練1　下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　　) A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　B 解析　對(duì)于A，小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C，大小

6、前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式． 類型二　演繹推理的應(yīng)用 例2　如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演繹推理． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 證明　因?yàn)橥唤窍嗟?，兩直線平行， 大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提 所以FD∥AE. 結(jié)論 因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形， 大前提 DE∥BA，且FD∥AE， 小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形． 結(jié)論

7、 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等， 大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊， 小前提 所以ED＝AF. 結(jié)論 反思與感悟　(1)大前提的正確性：幾何證明往往采用演繹推理，它往往不是經(jīng)過一次推理就能完成的，常需要幾次使用演繹推理，每一個(gè)推理都暗含著大、小前提，前一個(gè)推理的結(jié)論往往是下一個(gè)推理的前提，在使用時(shí)不僅要推理的形式正確，還要前提正確，才能得到正確的結(jié)論． (2)大前提可省略：在幾何證明問題中，每一步都包含著一般原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練2　已知：在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，

8、如圖所示，求證：EF∥平面BCD. 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 證明　因?yàn)槿切蔚闹形痪€平行于底邊， 大前提 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)， 小前提 所以EF∥BD. 結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則直線與此平面平行， 大前提 EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提 所以EF∥平面BCD. 結(jié)論 例3　設(shè)函數(shù)f(x)＝，其中a為實(shí)數(shù)，若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用 解　

9、若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有意義，則函數(shù)定義域?yàn)镽， 大前提 因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽， 小前提 所以x2＋ax＋a≠0恒成立． 結(jié)論 所以Δ＝a2－4a<0，所以00. ∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2－a，＋∞)． 當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)的單調(diào)遞增

10、區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當(dāng)20， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2－a)，(0，＋∞)． 綜上所述，當(dāng)0

11、(3)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)． (4)數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)． (5)不等式的證明． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用 證明　方法一　(定義法) 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以>1， 而－10，x2＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函

12、數(shù)． 方法二　(導(dǎo)數(shù)法) f(x)＝ax＋＝ax＋1－. 所以f′(x)＝axln a＋. 因?yàn)閤>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0. 又因?yàn)閍>1，所以ln a>0，ax>0， 所以axln a>0，所以f′(x)>0. 所以f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函數(shù)． 1．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人 C．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中，

13、a1＝1，an＝(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 考點(diǎn)　演繹推理的含義與方法 題點(diǎn)　判斷推理是否為演繹推理 答案　A 解析　A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理． 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)是R上的增函數(shù)，y＝2|x|是指數(shù)函數(shù)，所以y＝2|x|是R上的增函數(shù)．以上推理(　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．正確 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　小前提或推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 答案　B 解析　此推理形式正確，但是，函數(shù)y＝2|x|不是指數(shù)函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤，故選B. 3．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線”

14、恢復(fù)成三段論，則大前提：____________； 小前提：____________； 結(jié)論：____________. 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　二次函數(shù)的圖象是一條拋物線　函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)　函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線 4．設(shè)m為實(shí)數(shù)，利用三段論證明方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面中的應(yīng)用 證明　因?yàn)槿绻辉畏匠蘟x2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 大前提 方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式 Δ＝

15、4m2－4(m－1)＝4m2－4m＋4 ＝(2m－1)2＋3>0， 小前提 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 結(jié)論 1．應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略． 2．合情推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理． 3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明. 一、選擇題 1．《論語·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不

16、興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 考點(diǎn)　演繹推理的含義與方法 題點(diǎn)　判斷推理是否為演繹推理 答案　C 解析　這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論，屬演繹推理形式． 2．對(duì)于三段論“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝loga x是減函數(shù)(大前提)，又y＝ln x是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝ln x是減函數(shù)(結(jié)論)”，下列說法正確的是(　　) A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤

17、D．以上都不對(duì) 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 答案　A 解析　“y＝loga x是減函數(shù)”錯(cuò)誤，故大前提錯(cuò)誤． 3．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　小前提或推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤 答案　C 解析　由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)．故小前提不正確． 4．在證明f(x)＝2x＋1為增函數(shù)的過程中，有下列四個(gè)命題： ①增函數(shù)的定義是大前提；

18、②增函數(shù)的定義是小前提； ③函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是大前提； ④函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是小前提． 其中正確的命題是(　　) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　A 解析　根據(jù)三段論特點(diǎn)，過程應(yīng)為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義；結(jié)論是f(x)＝2x＋1為增函數(shù)，故①④正確． 5．推理過程“大前提：________，小前提：四邊形ABCD是矩形．結(jié)論：四邊形ABCD的對(duì)角線相等．”應(yīng)補(bǔ)充的大前提是(　　) A．正方形的對(duì)角線相等 B．矩形的對(duì)角

19、線相等 C．等腰梯形的對(duì)角線相等 D．矩形的對(duì)邊平行且相等 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　B 解析　由三段論的一般模式知選B. 6．若a>0，b>c>0，則下列不等式中不成立的是(　　) A．－a＋b>－a＋c B．a(chǎn)b－ac>0 C.> D.> 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 答案　C 解析　在A中，b>c兩邊同時(shí)加－a，不等號(hào)方向不變，不等式成立； 在B中，b>c兩邊同時(shí)乘a，因?yàn)閍>0，所以不等號(hào)方向不變，不等式成立； 在C中，若b＝2，c＝1，則<，不等式不成立； 易知D中不等式成立． 7．在R上

20、定義運(yùn)算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則(　　) A．－10對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立， 則Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， ∴4a2－4a－3<0，解得－

21、是有意義；結(jié)論是__________________________． 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　y＝的定義域是[4，＋∞) 解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4. 9．有一段演繹推理： 大前提：整數(shù)是自然數(shù)； 小前提：－3是整數(shù)； 結(jié)論：－3是自然數(shù)． 這個(gè)推理顯然錯(cuò)誤，則錯(cuò)誤的原因是______錯(cuò)誤．(填“大前提”“小前提”“結(jié)論”) 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 答案　大前提 10．以下推理過程省略的大前提為：________. 因?yàn)閍2＋b2≥2ab， 所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.

22、 考點(diǎn)　“三段論”及其應(yīng)用 題點(diǎn)　三段論的結(jié)構(gòu) 答案　若a≥b，則a＋c≥b＋c 解析　由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時(shí)加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c. 11．已知在三邊不等的三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，若想得到A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是a2________b2＋c2.(填“>”“<”“＝”) 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 答案　> 解析　由cos A＝<0，知b2＋c2－a2<0， 故a2>b2＋c2. 12．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集為?，

23、則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在其他方面的應(yīng)用 答案　[0,2] 解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<0無解， 則不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集為R. ∴當(dāng)a＝0時(shí)，2≥0，顯然成立， 當(dāng)a≠0時(shí)，解得0

24、原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)”．在解題過程中往往不用寫出來，上述證明過程就省略了大前提．解答過程就是驗(yàn)證小前提成立，即所給的具體函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)． 四、探究與拓展 14.如圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是點(diǎn)B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的(　　) A．AC⊥β B．AC⊥EF C．AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上 D．AC與α，β所成的角相等 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理

25、在其他方面的應(yīng)用 答案　D 解析　只要能推出EF⊥AC即可說明BD⊥EF. 當(dāng)AC與α，β所成的角相等時(shí)，推不出EF⊥AC，故選D. 15．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意義，單調(diào)遞增且滿足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)． (1)求證：f(x2)＝2f(x)； (2)求f(1)的值； (3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范圍． 考點(diǎn)　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用 (1)證明　因?yàn)閒(xy)＝f(x)＋f(y)， 所以f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)． (2)解　因?yàn)閒(1)＝f(12)＝2f(1)， 所以f(1)＝0. (3)解　因?yàn)閒(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)＝f(4)， 且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以解得0