（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 1．4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 預(yù)習(xí)課本P42～45，思考并完成以下問題 (1)正切函數(shù)有哪些性質(zhì)？ (2)正切函數(shù)在定義域內(nèi)是不是單調(diào)函數(shù)？

2、 正切函數(shù)y＝tan x的性質(zhì)與圖象 y＝tan x 圖象 定義域 值域 R 周期 最小正周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在開區(qū)間(k∈Z)內(nèi)遞增 [點睛]　正切函數(shù)的單調(diào)性：正切函數(shù)在每一個開區(qū)間(k∈Z)上，都是從－∞增大到＋∞，故正切函數(shù)在每一個開區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù)，但不能說函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)． 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1

3、)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(　　) (2)正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù)．(　　) (3)正切函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值和最小值．(　　) (4)正切函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函數(shù)y＝tan的定義域是(　　) A． B． C． D． 答案：A 3．函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：C 4．函數(shù)y＝tan x，x∈的值域是________． 答案：[0,1] 正切函數(shù)的定義

4、域 [典例]　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝tan；(2)y＝. [解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得， x≠kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)y＝tan的定義域為 . (2)由－tan x≥0得，tan x≤. 結(jié)合y＝tan x的圖象可知，在上， 滿足tan x≤的角x應(yīng)滿足－

5、(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時，要將“ωx＋φ”視為一個“整體”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. [活學(xué)活用] 　求函數(shù)y＝的定義域． 解：要使函數(shù)有意義，則有1＋tan x≠0， ∴tan x≠－1，∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z. 因此，函數(shù)y＝的定義域為 . 與正切函數(shù)有關(guān)的周期性、奇偶性問題 [典例]　(1)求f(x)＝tan的周期； (2)判斷y＝sin x＋tan x的奇偶性． [解]　(1)∵tan＝tan， 即tan＝tan， ∴f(x)＝tan的周期是. (2)定義域為，關(guān)于原點對稱， ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－

6、x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴它是奇函數(shù)． 與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略 (1)一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期． (2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點對稱．若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性，若對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系． [活學(xué)活用] 1．函數(shù)y＝tan的最小正周期是(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．4π C．2π D．2 解析：選D　T＝＝π·＝2. 2．已知函數(shù)f(x)＝tan x＋，若f(α)＝5，則f(－α)＝________.

7、 解析：f(x)的定義域為∪(k∈Z)．可知f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝tan(－x)＋＝－＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)．∴f(－α)＝－f(α)＝－5. 答案：－5 正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用 題點一：求單調(diào)區(qū)間 1．求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間． 解：y＝tan＝－tan， 由kπ－

8、增， ∴tan ＜tan， ∴－tan>－tan， ∴tan>tan. 題點三：求最值或值域 3．已知f(x)＝tan2x－2tan x，求f(x)的值域． 解：令u＝tan x，因為|x|≤，所以u∈[－， ]， 所以函數(shù)化為y＝u2－2u. 對稱軸為u＝1∈[－， ]． 所以當(dāng)u＝1時，ymin＝12－2×1＝－1. 當(dāng)u＝－時，ymax＝3＋2. 所以f(x)的值域為[－1,3＋2 ]． 1．求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－

9、<ωx＋φ

10、．f(x)＝tan的最小正周期為(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C．π D．2π 解析：選B　法一：函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接套用公式，可得T＝＝. 法二：由誘導(dǎo)公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期為T＝. 3．函數(shù)f(x)＝tan與函數(shù)g(x)＝sin的最小正周期相同，則ω＝(　　) A．±1 B．1 C．±2 D．2 解析：選A　g(x)的最小正周期為π，則＝π，得ω＝±1. 4．函數(shù)y＝|tan 2x|是(　　) A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù) C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù) 解析：選

11、D　f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)為偶函數(shù)，T＝. 5．與函數(shù)y＝tan的圖象不相交的一條直線是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 解析：選D　當(dāng)x＝時，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直線x＝與函數(shù)的圖象不相交． 6．函數(shù)y＝的定義域是_____________________________________． 解析：由1－tan x≥0即tan x≤1結(jié)合圖象可解得． 答案：(k∈Z) 7．函數(shù)y＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是_________________________________． 解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k

12、∈Z， 解得－

13、y＝tan x，x∈是增函數(shù)， ∴tan＜tan， 即tan＜tan. 10．已知f(x)＝tan， (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x＋φ)是奇函數(shù)，則φ應(yīng)滿足什么條件？并求出滿足|φ|＜的φ值． 解：(1)法一：∵y＝tan x的周期是π. ∴y＝tan的周期是. 法二：由誘導(dǎo)公式知：tan ＝tan＝tan， 即f ＝f(x)． ∴f(x)的周期是. (2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函數(shù)， ∴圖象關(guān)于原點中心對稱， ∴＋2φ＝(k∈Z)， ∴φ＝－(k∈Z)． 令＜(k∈Z)， 解得－＜k＜，k∈Z. ∴k＝－1,0,1，或2. 從而得φ

14、＝－，－，或. 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．函數(shù)y＝的定義域是(　　) A． B． C． D． 解析：選C　要使函數(shù)有意義，只要logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函數(shù)的圖象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z. 2．函數(shù)y＝tan(cos x)的值域是(　　) A．　　　　　　　 B． C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不對 解析：選C　∵－1≤cos x≤1，且函數(shù)y＝tan x在[－1,1]上為增函數(shù)，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1. 即－tan 1≤tan x≤tan 1. 3．函數(shù)y＝tan在一個周期內(nèi)的圖象是(　　) 解析：

15、選A　令y＝tan＝0，則有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z.再令k＝0，得x＝，可知函數(shù)圖象與x軸一交點的橫坐標(biāo)為.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B，選A. 4．方程tan＝在區(qū)間[0,2π)上的解的個數(shù)是(　　) A．5　　　　　　　　　 B．4 C．3 D．2 解析：選B　由tan＝，得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，又x∈[0,2π)，∴x＝0，，π，.故選B. 5．若tan x＞tan且x在第三象限，則x的取值范圍是________． 解析：tan x＞tan＝tan，又x為第三象限角， ∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．

16、 答案：(k∈Z) 6．已知函數(shù)y＝tan ωx在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則ω的取值范圍是________． 解析：函數(shù)y＝tan ωx在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0. 答案：[－1,0) 7．已知x∈，求函數(shù)y＝＋2tan x＋1的最值及相應(yīng)的x的值． 解：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1 ＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1. ∵x∈，∴tan x∈[－，1]． 當(dāng)tan x＝－1，即x＝－時，y取得最小值1； 當(dāng)tan x＝1，即x＝時，y取得最大值5. 8．求函數(shù)y＝tan的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間． 解：由x－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠＋2kπ，k∈Z， 所以函數(shù)y＝tan的定義域為 . T＝＝2π， 所以函數(shù)y＝tan的周期為2π. 由－＋kπ