2022-2023學(xué)年高中物理 第2章 研究圓周運(yùn)動(dòng) 習(xí)題課 圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案 滬科版必修2
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1、2022-2023學(xué)年高中物理 第2章 研究圓周運(yùn)動(dòng) 習(xí)題課 圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案 滬科版必修2 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)各物理量的關(guān)系以及向心力、向心加速度的公式.2.會(huì)分析圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力來(lái)源.3.會(huì)分析圓錐擺在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng).4.會(huì)分析汽車過(guò)拱(凹)形橋問(wèn)題. 一、描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量間的關(guān)系 例1 如圖1所示,光滑的水平面上固定著一個(gè)半徑逐漸減小的螺旋形光滑水平軌道,一個(gè)小球以一定速度沿軌道切線方向進(jìn)入軌道,下列物理量中數(shù)值將減小的是( ) 圖1 A.周期 B.線速度 C.角速度 D.向心加速度 答案 A 解析 軌道對(duì)小球的支持力與速度方向垂
2、直,軌道的支持力只改變速度的方向不改變速度的大小,即小球的線速度大小不變,故B錯(cuò)誤;根據(jù)v=ωR,線速度大小不變,轉(zhuǎn)動(dòng)半徑減小,故角速度變大,故C錯(cuò)誤;根據(jù)T=,角速度增大,故周期減小,故A正確;根據(jù)a=,轉(zhuǎn)動(dòng)半徑減小,故向心加速度增大,故D錯(cuò)誤. 1.線速度v、角速度ω以及周期T之間的關(guān)系:v==ωR. 2.角速度ω與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系:ω=2πn(注:n的單位為r/s). 這些關(guān)系不僅在物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)中適用,在變速圓周運(yùn)動(dòng)中也適用,此時(shí)關(guān)系中各量是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的. 二、分析圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法 例2 如圖2所示,兩根長(zhǎng)度相同的輕繩(圖中未畫出),連接著相同的兩個(gè)小球,讓它們穿過(guò)光
3、滑的桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其中O為圓心,兩段細(xì)繩在同一直線上,此時(shí),兩段繩子受到的拉力之比為多少? 圖2 答案 3∶2 解析 對(duì)兩小球受力分析如圖所示,設(shè)每段繩子長(zhǎng)為l,對(duì)球2有F2=2mlω2 對(duì)球1有:F1-F2=mlω2 由以上兩式得:F1=3mlω2 由牛頓第三定律得,=. 分析圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法: (1)首先要明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面、圓心和半徑. (2)其次,準(zhǔn)確受力分析,弄清向心力的來(lái)源,不能漏力或添力(向心力). (3)然后,由牛頓第二定律F=ma列方程,其中F是指向圓心方向的合外力,a是向心加速度. 針對(duì)訓(xùn)練1 (多選)如圖3所
4、示,在粗糙水平板上放一個(gè)物塊,使水平板和物塊一起在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),ab為水平直徑,cd為豎直直徑,在運(yùn)動(dòng)中木板始終保持水平,物塊相對(duì)于木板始終靜止,則( ) 圖3 A.物塊始終受到三個(gè)力作用 B.物塊受到的合外力始終指向圓心 C.在c、d兩個(gè)位置,支持力N有最大值,摩擦力f為零 D.在a、b兩個(gè)位置摩擦力提供向心力,支持力N=mg 答案 BD 解析 物塊在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),受到的重力與支持力在豎直方向上,c、d兩點(diǎn)的向心力可以由重力和支持力的合力提供,其他時(shí)候要受到摩擦力的作用,故A錯(cuò)誤;物塊在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力指向
5、圓心,故B正確. 設(shè)物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v,物塊在c、d兩位置摩擦力f為零,在c點(diǎn)有Nc=mg-,在d點(diǎn)有Nd=mg+,故在d位置N有最大值,C錯(cuò)誤. 在b位置受力如圖,因物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng),故只有向心加速度,所以有N=mg,f=.同理a位置也如此,故D正確. 三、水平面內(nèi)的常見(jiàn)圓周運(yùn)動(dòng)模型 例3 如圖4所示,已知繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=20 cm,水平桿長(zhǎng)為 L′=0.1 m,小球質(zhì)量m=0.3 kg,整個(gè)裝置可繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).(g取10 m/s2)問(wèn):(結(jié)果均保留三位有效數(shù)字) 圖4 (1)要使繩子與豎直方向成45°角,試求該裝置必須以多大的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)才行? (2)此時(shí)繩子的
6、張力多大? 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N 解析 小球繞豎直軸做圓周運(yùn)動(dòng),其軌道平面在水平面內(nèi),軌道半徑r=L′+Lsin 45°.對(duì)小球受力分析,設(shè)繩對(duì)小球拉力為T,小球重力為 mg,則繩的拉力與重力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力. 對(duì)小球利用牛頓第二定律可得: mgtan 45°=mω2r① r=L′+Lsin 45°② 聯(lián)立①②兩式,將數(shù)值代入可得ω≈6.44 rad/s T=≈4.24 N. 1.模型特點(diǎn):(1)運(yùn)動(dòng)平面是水平面. (2)合外力提供向心力,且沿水平方向指向圓心. 2.常見(jiàn)裝置: 運(yùn)動(dòng)模型 飛機(jī)在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) 火
7、車轉(zhuǎn)彎 圓錐擺 向心力的來(lái)源圖示 運(yùn)動(dòng)模型 飛車走壁 汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎 水平轉(zhuǎn)臺(tái) 向心力的來(lái)源圖示 四、汽車過(guò)橋問(wèn)題 例4 如圖5所示,質(zhì)量m=2.0×104 kg的汽車以不變的速率先后駛過(guò)凹形橋面和凸形橋面,兩橋面的圓弧半徑均為20 m.如果橋面承受的壓力不得超過(guò)3.0×105 N,g取10 m/s2,則: 圖5 (1)汽車允許的最大速度是多少? (2)若以(1)中所求速度行駛,汽車對(duì)橋面的最小壓力是多少? 答案 (1)10 m/s (2)1.0×105 N 解析 (1)汽車在凹形橋最低點(diǎn)時(shí)存在最大允許速度,由牛頓第二定律得:N-
8、mg=m,由題意知N=3.0×105 N,
代入數(shù)據(jù)解得v=10 m/s.
(2)汽車在凸形橋最高點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面有最小壓力,由牛頓第二定律得:mg-N1=,
代入數(shù)據(jù)解得N1=1.0×105 N.
由牛頓第三定律知,汽車對(duì)橋面的最小壓力等于1.0×105 N.
1.汽車過(guò)拱形橋(如圖6)
圖6
汽車在最高點(diǎn)滿足關(guān)系:mg-N=m,即N=mg-m.
(1)當(dāng)v=時(shí),N=0.
(2)當(dāng)0≤v<時(shí),0
9、知,汽車對(duì)橋面的壓力大于其自身重力,故凹形橋易被壓垮,因而實(shí)際中拱形橋多于凹形橋. 針對(duì)訓(xùn)練2 在較大的平直木板上相隔一定距離釘幾個(gè)釘子,將三合板彎曲成拱橋形卡入釘子內(nèi)形成拱形橋,三合板上表面事先鋪上一層牛仔布以增大摩擦,這樣玩具慣性車就可以在橋面上跑起來(lái)了.把這套系統(tǒng)放在電子秤上做實(shí)驗(yàn),如圖8所示,關(guān)于實(shí)驗(yàn)中電子秤的示數(shù)下列說(shuō)法正確的是( ) 圖8 A.玩具車靜止在拱形橋頂端時(shí)的示數(shù)小一些 B.玩具車運(yùn)動(dòng)通過(guò)拱形橋頂端時(shí)的示數(shù)大一些 C.玩具車運(yùn)動(dòng)通過(guò)拱形橋頂端時(shí)處于超重狀態(tài) D.玩具車運(yùn)動(dòng)通過(guò)拱形橋頂端時(shí)速度越大(未離開(kāi)拱橋),示數(shù)越小 答案 D 解析 玩具車運(yùn)動(dòng)到最
10、高點(diǎn)時(shí),受向下的重力和向上的支持力作用,根據(jù)牛頓第二定律有mg-N=m,即N=mg-m 11、以小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為ω==2 rad/s,周期T==π s,選項(xiàng)A、B正確;小物塊在 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò),通過(guò)的位移大小為 m,在π s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)一周,通過(guò)的路程為2π m,選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.
2.(水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))兩個(gè)質(zhì)量相同的小球,在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),懸點(diǎn)相同,如圖10所示,A運(yùn)動(dòng)的半徑比B的大,則( )
圖10
A.A所需的向心力比B的大
B.B所需的向心力比A的大
C.A的角速度比B的大
D.B的角速度比A的大
答案 A
解析 小球的重力和懸線的拉力的合力充當(dāng)向心力,設(shè)懸線與豎直方向夾角為θ,則F=mgtan θ=mω2lsin θ,θ越大,向心力F越大,所以A對(duì) 12、,B錯(cuò);而ω2==,故兩者的角速度相同,C、D錯(cuò).
3.(汽車過(guò)橋問(wèn)題)城市中為了解決交通問(wèn)題,修建了許多立交橋.如圖11所示,橋面是半徑為R的圓弧形的立交橋AB橫跨在水平路面上,一輛質(zhì)量為m的小汽車,從A端沖上該立交橋,小汽車到達(dá)橋頂時(shí)的速度大小為v1,若小汽車在上橋過(guò)程中保持速率不變,則( )
圖11
A.小汽車通過(guò)橋頂時(shí)處于失重狀態(tài)
B.小汽車通過(guò)橋頂時(shí)處于超重狀態(tài)
C.小汽車在上橋過(guò)程中受到橋面的支持力大小為N=mg-m
D.小汽車到達(dá)橋頂時(shí)的速度必須大于
答案 A
解析 由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)知,小汽車通過(guò)橋頂時(shí),其加速度方向豎直向下,由牛頓第二定律得mg-N=m,解得 13、N=mg-m<mg,故其處于失重狀態(tài),A正確,B錯(cuò)誤;N=mg-m只在小汽車通過(guò)橋頂時(shí)成立,而其上橋過(guò)程中的受力情況較為復(fù)雜,C錯(cuò)誤;由mg-N=m,N≥0解得v1≤,D錯(cuò)誤.
4.(圓周運(yùn)動(dòng)中的受力分析)質(zhì)量為25 kg的小孩坐在質(zhì)量為5 kg的秋千板上,秋千板離拴繩子的橫梁2.5 m.如果秋千板擺動(dòng)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度為3 m/s,這時(shí)秋千板所受的壓力是多大?每根繩子對(duì)秋千板的拉力是多大?(g取10 m/s2)
答案 340 N 204 N
解析 把小孩作為研究對(duì)象對(duì)其進(jìn)行受力分析知,小孩受重力G和秋千板對(duì)他的的支持力N兩個(gè)力,故在最低點(diǎn)有:N-G=m
所以N=mg+m=250 N+9 14、0 N=340 N
由牛頓第三定律可知,秋千板所受壓力大小為340 N.
設(shè)每根繩子對(duì)秋千板的拉力為T,將秋千板和小孩看作一個(gè)整體,則在最低點(diǎn)有:2T-(M+m)g=(M+m)
解得T=204 N.
一、選擇題
考點(diǎn)一 圓周運(yùn)動(dòng)各物理量之間的關(guān)系
1.關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是( )
A.由a=可知,a與R成反比
B.由a=ω2R可知,a與R成正比
C.由v=ωR可知,ω與R成反比
D.由ω=2πn可知,ω與n成正比
答案 D
解析 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關(guān).但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能成立.當(dāng)線速度 15、一定時(shí),向心加速度與半徑成反比;當(dāng)角速度一定時(shí),向心加速度與半徑成正比.對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論.正確選項(xiàng)為D.
2.如圖1所示,A、B是兩個(gè)摩擦傳動(dòng)輪(不打滑),兩輪半徑大小關(guān)系為RA=2RB,則兩輪邊緣上的( )
圖1
A.角速度之比ωA∶ωB=2∶1
B.周期之比TA∶TB=1∶2
C.轉(zhuǎn)速之比nA∶nB=1∶2
D.向心加速度之比aA∶aB=2∶1
答案 C
解析 兩輪邊緣上的線速度相等,由ω=知,ωA∶ωB=RB∶RA=1∶2,A錯(cuò).由T=知,TA∶TB=ωB∶ωA=2∶1,B錯(cuò).由ω=2πn知,nA∶nB=ωA∶ωB=1∶2,C對(duì).由a= 16、知,aA∶aB=RB∶RA=1∶2,D錯(cuò).
【考點(diǎn)】與向心加速度有關(guān)的傳動(dòng)問(wèn)題分析
【題點(diǎn)】與向心加速度有關(guān)的皮帶(或齒輪)傳動(dòng)問(wèn)題
3.如圖2所示,自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑之比為4∶1∶16,在用力蹬腳踏板前進(jìn)的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是( )
圖2
A.小齒輪和后輪的角速度大小之比為16∶1
B.大齒輪和小齒輪的角速度大小之比為1∶4
C.大齒輪邊緣和后輪邊緣的線速度大小之比為1∶4
D.大齒輪和小齒輪邊緣的向心加速度大小之比為4∶1
答案 B
解析 小齒輪和后輪共軸,角速度相同,故A錯(cuò)誤;大齒輪和小齒輪邊緣上的點(diǎn)線速度大小相等,根據(jù)ω=可知,大齒輪和小齒 17、輪的角速度大小之比為1∶4,故B正確;小齒輪和后輪共軸,根據(jù)v=ωR可知,小齒輪邊緣和后輪邊緣的線速度之比為1∶16,則大齒輪邊緣和后輪邊緣的線速度大小之比為1∶16,故C錯(cuò)誤;大齒輪和小齒輪邊緣的線速度大小相等,根據(jù)a=可知,大齒輪和小齒輪的向心加速度大小之比為1∶4,故D錯(cuò)誤.
考點(diǎn)二 水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
4.如圖3所示,一只質(zhì)量為m的老鷹,以速率v在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則空氣對(duì)老鷹的作用力的大小等于(重力加速度為g)( )
圖3
A.m B.m
C.m D.mg
答案 A
解析 對(duì)老鷹進(jìn)行受力分析,其受力情況如圖所示,老鷹受到重力mg、空氣對(duì)老鷹的作用力 18、F.由題意可知,力F沿水平方向的分力提供老鷹做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,且其沿豎直方向的分力與重力平衡,故F1=,F(xiàn)2=mg,則F===m,A正確.
【考點(diǎn)】向心力公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【題點(diǎn)】水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題
5.質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈性桿P插在桌面上,桿端套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球,今使小球沿水平方向做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),角速度為ω,如圖4所示,則桿的上端受到的作用力大小為( )
圖4
A.mω2R B.m
C.m D.不能確定
答案 C
解析 小球在重力和桿的作用力下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).這兩個(gè)力的合力充當(dāng)向心力必指向圓心,如圖所示.用力的合成法可得桿對(duì)球的作用力:N==m 19、,根據(jù)牛頓第三定律,小球?qū)U的上端的作用力N′=N,C正確.
6.如圖5所示,質(zhì)量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒的豎直內(nèi)壁上,隨圓筒一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列說(shuō)法正確的是( )
圖5
A.線速度vA>vB
B.周期TA 20、受支持力大,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由于物體所受摩擦力為靜摩擦力,大小等于物體自身重力,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
7.在光滑的圓錐漏斗的內(nèi)壁,兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B,分別緊貼著漏斗在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其中小球A的位置在小球B的上方,如圖6所示.下列判斷正確的是( )
圖6
A.A球的速率小于B球的速率
B.A球的角速度大于B球的角速度
C.A球?qū)β┒繁诘膲毫Υ笥贐球?qū)β┒繁诘膲毫?
D.A球的轉(zhuǎn)動(dòng)周期大于B球的轉(zhuǎn)動(dòng)周期
答案 D
解析 先對(duì)A、B兩球進(jìn)行受力分析,兩球均只受重力和漏斗給的支持力.如圖所示,
對(duì)A球據(jù)牛頓第二定律:
NAsin α=mg①
NAcos α=m=m 21、ωA2rA②
對(duì)B球據(jù)牛頓第二定律:
NBsin α=mg③
NBcos α=m=mωB2rB④
由兩球質(zhì)量相等可得NA=NB,C項(xiàng)錯(cuò)誤.
由②④可知,兩球所受向心力相等,
m=m,因?yàn)閞A>rB,所以vA>vB,A項(xiàng)錯(cuò)誤.
mωA2rA=mωB2rB,因?yàn)閞A>rB,所以ωA<ωB,B項(xiàng)錯(cuò)誤.
又因?yàn)棣兀剑訲A>TB,D項(xiàng)正確.
考點(diǎn)三 汽車過(guò)橋的問(wèn)題
8.如圖7所示,汽車廂頂部懸掛一個(gè)輕質(zhì)彈簧,彈簧下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球.當(dāng)汽車以某一速率在水平地面上勻速行駛時(shí),彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,當(dāng)汽車以相同的速率勻速通過(guò)一個(gè)橋面為圓弧形的凸形橋的最高點(diǎn)時(shí),彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)2,下列選項(xiàng)中 22、正確的是( )
圖7
A.L1=L2
B.L1>L2
C.L1 23、定律知物體對(duì)半球頂點(diǎn)無(wú)壓力,A正確.若v0=,則mg-N=m,得N=mg,則物體對(duì)半球頂點(diǎn)的壓力為mg,B錯(cuò)誤.若v0=0,根據(jù)牛頓第二定律mg-N=m=0,得N=mg,由牛頓第三定律知物體對(duì)半球頂點(diǎn)的壓力為mg,C正確,D錯(cuò)誤.
【考點(diǎn)】向心力公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題
10.一輛卡車在丘陵地帶勻速率行駛,地形如圖9所示,由于輪胎太舊,途中爆胎,爆胎可能性最大的地段應(yīng)是( )
圖9
A.a(chǎn)處 B.b處
C.c處 D.d處
答案 D
解析 卡車在a、c處有豎直向下的向心加速度,處于失重狀態(tài),輪胎受到的壓力比車重小,卡車在b、d處有豎直向 24、上的向心加速度,處于超重狀態(tài),輪胎受到的壓力比車重大,選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤;卡車在b、d處有N-mg=m,得N=mg+m,由于在d處做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R較小,所以在d處受到的支持力N較大,爆胎的可能性最大,選項(xiàng)D正確,B錯(cuò)誤.
二、非選擇題
11.(汽車過(guò)橋問(wèn)題)如圖10所示,一輛質(zhì)量為4 t的汽車勻速經(jīng)過(guò)一半徑為50 m的凸形橋.(g=10 m/s2)
圖10
(1)汽車若能安全駛過(guò)此橋,它的速度范圍為多少?
(2)若汽車經(jīng)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)橋的壓力等于它重力的一半,求此時(shí)汽車的速度多大?
答案 (1)v<22.4 m/s (2)15.8 m/s
解析 (1)汽車經(jīng)最高點(diǎn)時(shí)受到橋面對(duì)它的支 25、持力N,設(shè)汽車的行駛速度為v.
則mg-N=m
當(dāng)N=0時(shí),v=
此時(shí)汽車從最高點(diǎn)開(kāi)始離開(kāi)橋面做平拋運(yùn)動(dòng),汽車不再安全,故汽車過(guò)橋的安全速度v<= m/s≈22.4 m/s.
(2)設(shè)汽車對(duì)橋的壓力為mg時(shí)汽車的速度為v′,由牛頓第三定律知橋?qū)ζ嚨闹С至閙g,則
mg-mg=m
v′=≈15.8 m/s.
12.(水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))如圖11所示,半徑為R的半球形陶罐,固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn),一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止,它和O點(diǎn)的連線與OO′之 26、間的夾角θ為60°.重力加速度大小為g.
圖11
(1)若ω=ω0,小物塊受到的靜摩擦力恰好為零,求ω0;
(2)若ω=(1±k)ω0,且0
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