（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2．2.2　向量減法運(yùn)算及其幾何意義 預(yù)習(xí)課本P85～86，思考并完成以下問題 (1)a的相反向量是什么？ 　 (2)向量的減法運(yùn)算及其幾何意義是什么？ 　

2、 　 1．相反向量 與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a. (1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； (2)－(－a)＝a； (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (4)若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. [點(diǎn)睛]　相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量． 2．向量的減法 (1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量． (2)幾何意義：以O(shè)為起點(diǎn)，作向量＝a，＝b，則＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b

3、的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量． [點(diǎn)睛]　在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可． 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．(　　) (2)向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算．(　　) (3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量．(　　) (4)相反向量是共線向量．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是(　　) A．m＝n　　　　　　　　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 答案：A 3

4、．化簡－＋＋的結(jié)果等于(　　) A．　　 B．　　　C．　　　D． 答案：B 4．在平行四邊形ABCD中，向量的相反向量為______． 答案：， 向量的減法運(yùn)算 [典例]　化簡：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－)． [解]　(1)(－)－(－) ＝(＋)－(＋)＝－＝0. (2)(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0. (1)向量減法運(yùn)算的常用方法 (2)向量加減法化簡的兩種形式 ①首尾相連且為和； ②起點(diǎn)相同且為差． 做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)要注意逆向應(yīng)用． [活學(xué)活用] 化簡下列各式：

5、 (1)－－； (2)＋－； (3)－－. 解：(1)－－＝＋＝. (2)＋－＝－＝. (3)－－＝＋＋＝＋＋＝. 向量的減法及其幾何意義 [典例]　如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c. [解]　法一：如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c. 法二：如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c. 求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路 (1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)也可以直接用向量減

6、法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量． [活學(xué)活用] 在本例的條件下作出向量： ①a－b＋c；②a－b－c. 解：如圖所示． 利用已知向量表示未知向量 [典例]　如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量，，. [解]　因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. [一題多變] 1．[變設(shè)問]本例條件不變，試用向量a，b，c表示與. 解：＝－＝c－a， ＝－＝c－b. 2．[變條件] 本例中

7、的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形ACDE外一點(diǎn)”若換為“點(diǎn)B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點(diǎn)”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？ 解：因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， ＝＋＝b－a＋c. 用幾個(gè)基本向量表示其他向量的一般步驟 (1)觀察待表示的向量位置； (2)尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形； (3)運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡得結(jié)果． 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．在三角形ABC中，＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)－b　　　　　　　　 B．b－a C．a(chǎn)＋b D．－a－b 解析：選D　＝－＝－－＝－a－b. 2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，則|

8、－|的值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 解析：選B　|－|＝|＋|＝||＝1. 3．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是(　　) A．＝＋ B．＝－ C．＝－＋ D．＝－－ 解析：選B?。剑剑?故選B. 4．已知一點(diǎn)O到?ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的向量分別是a，b，c，則向量等于(　　) A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋c C．a(chǎn)＋b－c D．a(chǎn)－b－c 解析：選B　如圖，點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的向量分別是a，b，c，結(jié)合圖形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c. 5．下列各式能化簡為的個(gè)數(shù)是(　　) ①(－)－

9、 ②－(＋) ③－(＋)－(＋) ④－－＋ A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　①中，(－)－＝＋＋＝＋＝； ②中，－(＋)＝－0＝； ③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝； ④中，－－＋＝＋＋＝＋2. 6．下列四個(gè)等式： ①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0； ④a＋(－a)＝0， 其中正確的是______(填序號(hào))． 解析：由向量的運(yùn)算律及相反向量的性質(zhì)可知①②④是正確的，③符合向量的加法法則，也是正確的． 答案：①②③④ 7．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝__________，|a－b|＝________

10、. 解析：若a，b為相反向量，則a＋b＝0，∴|a＋b|＝0， 又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a與－b共線，∴|a－b|＝2. 答案：0　2 8．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，設(shè)＝c，＝b，＝a，＝d，則d－a＝______，d＋a＝______. 解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，則d－a＝－＝＋＝＝c； d＋a＝＋＝＋＝＝b. 答案：c　b 9．化簡： (1)－＋－； (2)＋＋－. 解：(1)－＋－ ＝(＋)－(＋) ＝－＝0. (2)＋＋－＝(＋)＋(－) ＝＋＝0. 10．設(shè)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，若以線段OA，OB為鄰邊作

11、平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個(gè)頂點(diǎn)為H.試用a，b，c表示，，. 解：由題意可知四邊形OADB為平行四邊形， ∴＝＋＝a＋b， ∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b. 又四邊形ODHC為平行四邊形， ∴＝＋＝c＋a＋b， ∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則(　　) A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0　　　　 B．a(chǎn)－b＋c－d＝0 C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)－b－c＋d＝0 解析：選B　 如圖，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四邊形ABCD為平行四邊形，則

12、＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故選B. 2．平面上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)m＝＋，n＝－，若m，n的長度恰好相等，則有(　　) A．A，B，C三點(diǎn)必在同一直線上 B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角 C．△ABC必為直角三角形且∠B＝90° D．△ABC必為等腰直角三角形 解析：選C　 ∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋， ∴|－|＝|＋|，如圖． 即?ABCD的對角線相等， ∴?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，選C. 3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，則|＋|＝(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選B　如圖，設(shè)菱形對角線交

13、點(diǎn)為O， ∵＋＝＋＝， ∠DAB＝60°， ∴△ABD為等邊三角形． 又∵AB＝2， ∴OB＝1.在Rt△AOB中， ||＝＝， ∴||＝2||＝2. 4．已知△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，給出下列結(jié)論： (1)|－|＝|＋|； (2)|－|＝|－|； (3)|－|＝|－|； (4)|－|2＝|－|2＋|－|2. 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 解析：選D　如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則它是正方形，根據(jù)向量加減法的幾何意義可知題中四個(gè)結(jié)論都正確． 5.如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是

14、它的中心，其中＝b，＝c，則等于________． 解析：＝＝＝－＝b－c. 答案：b－c 6．對于向量a，b，當(dāng)且僅當(dāng)____________________________________________時(shí)，有|a－b|＝||a|－|b||. 解析：當(dāng)a，b不同向時(shí)，根據(jù)向量減法的幾何意義，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有兩向量共線且同向時(shí)，才有|a－b|＝||a|－|b||. 答案：a與b同向 7.如圖，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，試用a，b，c，d，e，f表示以下向量： (1)；(2)；(3)＋＋. 解：(1)＝－＝c－a. (2)＝＋＝－＋＝－a＋d. (3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0. 8.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，＝a，＝b，＝c，試作出下列向量，并分別求出其長度： (1)a＋b＋c.(2)a－b＋c. 解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延長AC到E，使||＝||.則a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，連接CF， 則＋＝， 而＝－＝a－b， 所以a－b＋c＝＋＝， 且||＝2，所以|a－b＋c|＝2. 9