2022年高中數(shù)學(xué) 拓展資料 用向量表示三角形的四心 北師大版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 拓展資料 用向量表示三角形的四心 北師大版選修2-1 由高中數(shù)學(xué)新教材中的向量知識出發(fā)，利用定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式，可以簡捷地導(dǎo)出三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心這四心的向量表達(dá)式. 【例】 如圖9-5-14，在△ABC中，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn),E是AC上的一點(diǎn),且=,=(通分總可以使兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)化為同分母分?jǐn)?shù))，連結(jié)CF、BE交于點(diǎn)D.求D點(diǎn)的坐標(biāo). 解：在平面上任取一點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式，得： =(+·)÷(1+) = ① == ② 又== ③(其中=,). 整理①、②、③式得=. 所以=++ ④

2、 由④式出發(fā)，可得三角形四心的向量表達(dá)式： （1）若BE、CF是△ABC兩邊上的中線，交點(diǎn)G為重心.由④式可得重心G的向量表達(dá)式： =(++). （2）若BE、CF是△ABC兩內(nèi)角的平分線，交點(diǎn)I是內(nèi)心. 因?yàn)?,=, 由④式可得內(nèi)心I的向量表達(dá)式： =++. （3）若BE、CF是△ABC兩邊上的高，交點(diǎn)H是垂心. ==. 同理=. 由④式可得垂心H的向量表達(dá)式： =++. （4）若BE、CF的交點(diǎn)O′是△ABC的外心，即三邊中垂線交點(diǎn)，則 O′A=O′B=O′C. 根據(jù)正弦定理： == ==. 同理=. 由④式可得外心O′的向量表達(dá)式： =+ +. 這四個(gè)向量表達(dá)式，都由④式推出，都有著各自輪換對稱的性質(zhì).好記，好用!新教材的優(yōu)越性,由此可見.