(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)(二)學案 新人教A版選修2-2

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1、 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)(二) 學習目標 1.能根據(jù)極值點與極值的情況求參數(shù)范圍.2.會利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題. 1.極小值點與極小值 (1)特征:函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,并且f′(a)=0. (2)符號:在點x=a附近的左側f′(x)<0,右側f′(x)>0. (3)結論:點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值. 2.極大值點與極大值 (1)特征:函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,并且f′(b)=0. (2)

2、符號:在點x=b附近的左側f′(x)>0,右側f′(x)<0. (3)結論:點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值. 3.用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f′(x); (3)求出方程f′(x)=0在定義域內的所有實根,并將定義域分成若干個子區(qū)間; (4)以表格形式檢查f′(x)=0的所有實根兩側的f′(x)是否異號,若異號則是極值點,否則不是極值點. 類型一 由極值的存在性求參數(shù)的范圍 例1 (1)若函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-1有極值點,則實數(shù)a的取值范圍為________. (2)已

3、知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,0) B. C.(0,1) D.(0,+∞) 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 (1)(-∞,1) (2)B 解析 (1)f′(x)=x2-2x+a,由題意,得方程x2-2x+a=0有兩個不同的實數(shù)根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1. (2)∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f′(x)=ln x-2ax+1,且f(x)有兩個極值點, ∴f′(x)在(0,+∞)上有兩個不同的零點, 令f′(x)=0,則2a=, 設g(x)=,則g′(x)=,

4、∴g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減, 又∵當x→0時,g(x)→-∞,當x→+∞時,g(x)→0, 而g(x)max=g(1)=1, ∴只需0<2a<1,即0

5、 故a的取值范圍是(0,1). 反思與感悟 函數(shù)的極值與極值點的情況應轉化為方程f′(x)=0根的問題. 跟蹤訓練1 已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 解 ∵f(x)=,x>0, 則f′(x)=-. 當00,當x>1時,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減, ∴函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值. ∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值, ∴解得

6、決函數(shù)零點問題 例2 (1)函數(shù)f(x)=x3-4x+4的圖象與直線y=a恰有三個不同的交點,則實數(shù)a的取值范圍是________. 考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)零點與方程的根 答案  解析 ∵f(x)=x3-4x+4, ∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f′(x)=0,得x=2或x=-2. 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴當x=-2時,函數(shù)取得極大值f(-2)=;

7、 當x=2時,函數(shù)取得極小值f(2)=-. 且f(x)在(-∞,-2)上單調遞增,在(-2,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增. 根據(jù)函數(shù)單調性、極值情況,它的圖象大致如圖所示, 結合圖象知-

8、得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點. ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4), 令g′(x)=0,得x=或x=4. 當x變化時,g(x),g′(x)的變化情況如下表: x 4 (4,+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 則函數(shù)g(x)的極大值為g=-m,極小值為g(4)=-16-m.由y=f(x)的圖象與y=?f′(x)+5x+m的圖象有三個不同交點, 得解得-16

9、圍為. 反思與感悟 利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù),從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便. 跟蹤訓練2 若2ln(x+2)-x2-x+b=0在區(qū)間[-1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍. 考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)零點與方程的根 解 令g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b, 則g′(x)=-2x-1=-(x>-2). 當x變化時,g′(x),g(x)的變化情況如下表: x (-2,0) 0 (0,+∞) g′(x) + 0

10、- g(x) ↗ 極大值 ↘ 由上表可知,函數(shù)在x=0處取得極大值,極大值為g(0)=2ln 2+b. 結合圖象(圖略)可知,要使g(x)=0在區(qū)間[-1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根,只需 即所以-2ln 2

11、數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處有極值-2,則a,b的值分別為(  ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 已知極值求參數(shù) 答案 A 解析 ∵f′(x)=3ax2+b, 由題意知f′(1)=0,f(1)=-2, ∴∴a=1,b=-3. 3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為(  ) A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞) 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 D

12、 解析 f′(x)=3x2+2ax+a+6. 因為函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值, 所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0, 解得a>6或a<-3. 4.若函數(shù)f(x)=x3-3ax+1在區(qū)間(0,1)內有極小值,則a的取值范圍為________. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 (0,1) 解析 f′(x)=3x2-3a. 當a≤0時,在區(qū)間(0,1)上無極值. 當a>0時,令f′(x)>0,解得x>或x<-. 令f′(x)<0,解得-

13、-12x+4,討論方程f(x)=m的解的個數(shù). 考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)零點與方程的根 解 由題意知,f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)極小值=f(2)=-12,f(x)極大值=f(-2)=20. 又因為f(x)的定義域是R,畫出函數(shù)圖象(圖略), 所以當m>20或m<-12時,方程f(x)=m有一個解; 當m=20或m

14、=-12時,方程f(x)=m有兩個解; 當-12

15、C.2 D.3 考點 函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案 B 解析 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞); f′(x)=6x--1==; ∴當0時,f′(x)>0; ∴x=是f(x)的極值點; 即f(x)的極值點個數(shù)為1.故選B. 2.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于(  ) A.2 B.3 C.6 D.9 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 已知極值求參數(shù) 答案 D 解析 f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在x=1處有

16、極值,∴f′(1)=12-2a-2b=0, ∴a+b=6. 又a>0,b>0,∴a+b≥2, ∴2≤6,∴ab≤9. 3.若函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有兩個不同的零點,則a的值可能為(  ) A.4 B.6 C.7 D.8 答案 A 解析 f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 由f′(x)>0,得x<1或x>2, 由f′(x)<0,得1

17、,則f(1)=0或f(2)=0,解得a=5或a=4. 4.函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在極值點,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 D 解析 f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=2x-=, 若f(x)在(0,+∞)上不存在極值點,則a≤2x2在(0,+∞)上恒成立,故a≤0,故選D. 5.若函數(shù)f(x)=x2ex-a恰有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A. B. C.(0,4e2) D.(0,+∞)

18、考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)零點與方程的根 答案 B 解析 令g(x)=x2ex, 則g′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2). 令g′(x)=0,得x=0或-2, ∴g(x)在(-2,0)上單調遞減,在(-∞,-2),(0,+∞)上單調遞增. ∴g(x)極大值=g(-2)=,g(x)極小值=g(0)=0, 又f(x)=x2ex-a恰有三個零點,則0

19、導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 C 解析 f(x)的定義域是(0,+∞), ∵f(x)=ln x+ax2-(a+1)x+1, ∴f′(x)=+ax-(a+1)=, 令f′(x)=0,解得x=或x=1, 若f(x)在x=1處取得極小值, 則0<<1,解得a>1. 7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx的圖象如圖所示,且f(x)在x=x0與x=2處取得極值,則f(1)+f(-1)的值一定(  ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用 答案 B 解析 f′(x)=

20、3ax2+2bx+c. 令f′(x)=0,則x0和2是該方程的根. ∴x0+2=-<0,即>0. 由題圖知,f′(x)<0的解為(x0,2),∴3a>0,則b>0, ∵f(1)+f(-1)=2b,∴f(1)+f(-1)>0. 二、填空題 8.函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=處有極值,則b的值為________. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 已知極值求參數(shù) 答案?。? 解析 f′(x)=2ax+b, ∵函數(shù)f(x)在x=處有極值, ∴f′=2a·+b=0,即b=-2. 9.函數(shù)f(x)=ax3+x+1有極值的充要條件是________. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)

21、的極值 題點 極值存在性問題 答案 a<0 解析 f(x)=ax3+x+1的導數(shù)為f′(x)=3ax2+1, 若函數(shù)f(x)有極值,則f′(x)=0有解, 即3ax2+1=0有解,∴a<0. 10.若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 [1,5) 解析 由題意,得f′(x)=3x2+2x-a, 則f′(-1)f′(1)<0,即(1-a)(5-a)<0, 解得1

22、上恰有一個極值點, 當a=5時,函數(shù)f(x)=x3+x2-5x-4在區(qū)間(-1,1)沒有極值點. 故實數(shù)a的取值范圍為[1,5). 11.設a∈R,若函數(shù)y=ex+ax(x∈R)有大于0的極值點,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 極值存在性問題 答案 (-∞,-1) 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,由題意知,ex+a=0有大于0的實根.令y1=ex,y2=-a,則兩曲線的交點在第一象限,如圖,結合圖形易得-a>1,解得a<-1. 三、解答題 12.設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的極值;

23、(2)當a在什么范圍內取值時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點? 考點 函數(shù)極值的綜合應用 題點 函數(shù)零點與方程的根 解 (1)f′(x)=3x2-2x-1. 令f′(x)=0,得x=-或x=1. 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x - 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴f(x)的極大值是f?=+a, 極小值是f(1)=a-1. (2)函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x取足夠大的正數(shù)時,有f(x)>0,

24、x取足夠小的負數(shù)時,有f(x)<0, ∴曲線y=f(x)與x軸至少有一個交點. 由(1)知f(x)極大值=f?=+a, f(x)極小值=f(1)=a-1. ∵曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點, ∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0, 即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1, ∴當a∈∪(1,+∞)時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點. 13.已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R. (1)當a=-時,討論函數(shù)f(x)的單調性; (2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 已知極值求

25、參數(shù) 解 (1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4), 當a=-時, f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2. 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,0) 0 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)在區(qū)間,(2,+∞)上是單調遞增函數(shù),在區(qū)間(-∞,0),上是單調遞減函數(shù). (2)f′(x)=x(4x2+3ax+4)

26、,顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根,為使f(x)僅在x=0處有極值,必須有4x2+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a2-64≤0,解得-≤a≤,此時,f(0)=b是唯一的極值,因此滿足條件的a的取值范圍是. 四、探究與拓展 14.設函數(shù)f(x)=sin .若存在f(x)的極值點x0滿足x+[f(x0)]2

27、,f(x)的極值點x0滿足f(x0)=±,則=+kπ(k∈Z), 從而得x0=m(k∈Z).所以不等式x+[f(x0)]23,其中k∈Z.由題意,存在整數(shù)k使得不等式m2>3成立.當k≠-1且k≠0時,必有2>1,此時不等式顯然不能成立,故k=-1或k=0,此時,不等式即為m2>3,解得m<-2或m>2. 15.已知函數(shù)f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4-c. (1)確定a,b的值; (2)若c=3,判斷f(x)的單調性; (3)若f(x)有

28、極值,求c的取值范圍. 考點 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點 已知極值求參數(shù) 解 (1)對f(x)求導,得f′(x)=2ae2x+2be-2x-c, 由f′(x)為偶函數(shù),知f′(-x)=f′(x)恒成立, 即2(a-b)·(e2x-e-2x)=0恒成立,所以a=b. 又f′(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1. (2)當c=3時,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么 f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2-3=1>0, 故f(x)在R上為增函數(shù). (3)由(1)知f′(x)=2e2x+2e-2x-c, 而2e2x+2e-2x≥2=4, 當x=0時等號成立. 下面分三種情況進行討論. 當c<4時,對任意x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0, 此時f(x)無極值; 當c=4時,對任意x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0, 此時f(x)無極值; 當c>4時,令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有兩根t1=>0,t2=>0,即f′(x)=0有兩個根, 且x1=ln t1,x2=ln t2. 當x1x2時,f′(x)>0,從而f(x)在x=x2處取得極小值. 綜上,若f(x)有極值,則c的取值范圍為(4,+∞). 13

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