（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 基礎考點 自主練透 第3講 平面向量與算法學案 文 新人教A版

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1、第3講　平面向量與算法 平面向量的線性運算 [考法全練] 1．(一題多解)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb與c共線，則實數(shù)λ＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：選B.法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因為a＋λb與c共線，所以必定存在唯一實數(shù)μ，使得a＋λb＝μc，所以，解得. 法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb與c共線可知＝，解得λ＝－. 2．(一題多解)(2019·合肥市第二次質量檢測)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.

2、a＋b C.a－b D.a－b 解析： 選A.通解：如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以＝＋.因為＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故選A. 優(yōu)解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選A. 優(yōu)解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選A. 3．直線l與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，則μ－λ＝(　　) A．－ B．1 C. D．－3 解析：選A.＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ，

3、因為E、M、F三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以μ－λ＝－，故選A. 4．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：選B.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2，故選B. 平面向量線性運算的2種技巧 (1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能

4、轉化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結合圖形的幾何性質進行運算．　 (2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當b≠0時，a∥b?存在唯一實數(shù)λ，使得a＝λb)來判斷． 平面向量的數(shù)量積 [考法全練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3　　　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 解析：選C.因為＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，

5、故選C. 2．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.設a與b的夾角為α， 因為(a－b)⊥b， 所以(a－b)·b＝0， 所以a·b＝b2， 所以|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|， 所以cos α＝，因為α∈(0，π)，所以α＝.故選B. 3．已知a＝(1，2)，b＝(－1，1)，c＝2a－b，則|c|＝(　　) A. B．3 C. D. 解析：選B.法一：因為c＝2a－b＝2(1，2)－(－1，1)＝(3，3)，所以|c|

6、＝＝3.故選B. 法二：由題設知|a|2＝1＋4＝5，|b|2＝1＋1＝2，a·b＝1×(－1)＋2×1＝1，所以|c|2＝|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×5＋2－4×1＝18，所以|c|＝3.故選B. 4．(一題多解)(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，則·＝(　　) A．－18 B．－6 C．18 D．6 解析：選C.通解：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝2＝18，故選C. 優(yōu)解一：如圖，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為x，y軸，建立平

7、面直角坐標系，則C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)．由題意得∠CBA＝，又＝，所以D＝(－1，3)，則·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故選C. 優(yōu)解二：因為∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2，所以在上的投影為2，又＝，所以在上的投影為×2＝3，則在上的投影為3，所以·＝||·||cos，＝2×3＝18，故選C. 5．(一題多解)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________． 解析：法一：因為|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1，所

8、以a在b方向上的投影為＝－. 法二：記a＝，a＋b＝，則b＝，由題意知||＝1，||＝，||＝2，則||2＋||2＝||2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝，所以a在b方向上的投影為||cos＝1×＝－. 答案：－ 求向量a，b的數(shù)量積a·b有三種方法：①若兩向量的夾角直接可得，則根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；②根據(jù)圖形之間的關系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a，b，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進行計算求解；③若圖形適合建立平面直角坐標系，則可建立坐標系，求出a，b的坐標，通過坐標運算求解． [注意]　求解兩個非零向量的夾角問題時，要注意兩向量夾角的范圍是[0，π

9、]，不是(0，π)，其中θ＝0表示兩向量同向共線，θ＝π表示兩向量反向共線．　 程序框圖 [考法全練] 1．(2019·濟南市模擬考試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為2 019，則輸出的y值為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D．1 解析：選C.運行程序，輸入的x＝2 019，則x＝2 019－4＝2 015，滿足x≥0，2 015－4＝2 011，滿足x≥0；…；x＝3，滿足x≥0；x＝－1，不滿足x≥0.故輸出y＝2－1＝. 2．(2019·高考北京卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4

10、 解析：選B.k＝1，s＝1；第一次循環(huán)：s＝2，判斷k<3，k＝2；第二次循環(huán)：s＝2，判斷k<3，k＝3；第三次循環(huán)：s＝2，判斷k＝3，故輸出2.故選B. 3．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅰ)如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入(　　) A．A＝ B．A＝2＋ C．A＝ D．A＝1＋ 解析：選A.法一：依次檢驗四個選項．第一次循環(huán)：A.A＝；B.A＝2＋2；C.A＝；D.A＝2.分析知只有A符合題意．故選A. 法二：分析知，與一致的結構為，故可設A＝，檢驗知符合題意，故選A. 4．(2019·武漢部分學校調(diào)研)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的n的值為6，

11、則輸出的S的值為(　　) A．21 B．23 C．37 D．44 解析：選C.第1次循環(huán)得到t＝1，S＝1，i＝2；第2次循環(huán)得到t＝4，S＝5，i＝3；第3次循環(huán)得到t＝3，S＝8，i＝4；第4次循環(huán)得到t＝8，S＝16，i＝5；第5次循環(huán)得到t＝5，S＝21，i＝6；第6次循環(huán)得到t＝16，S＝37，i＝7，7>6，跳出循環(huán)．故S＝37，選C. 程序框圖的解題策略 (1)要明確是當型循環(huán)結構，還是直到型循環(huán)結構，根據(jù)各自的特點執(zhí)行循環(huán)體． (2)要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化． (3)要明確循環(huán)體終止的條件是什么

12、，會判斷什么時候終止循環(huán)體． [注意]　要注意各個框的順序，在給出程序框圖，求解輸出結果的試題中要按照程序框圖規(guī)定的運算順序逐次計算，直到達到輸出條件．　 一、選擇題 1．(一題多解)(2019·貴州省適應性考試)設向量a＝(1，－2)，b＝(0，1)，向量λa＋b與向量a＋3b垂直，則實數(shù)λ＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．1 C．－1 D．－ 解析：選B.法一：因為a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1)，a＋3b＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故選B. 法二：因為向量λa

13、＋b與向量a＋3b垂直，所以(λa＋b)·(a＋3b)＝0，所以λ|a|2＋(3λ＋1)a·b＋3|b|2＝0，因為a＝(1，－2)，b＝(0，1)， 所以|a|2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故選B. 2．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知向量＝(1，2)，＝(－1，2)，則△ABC的面積為(　　) A. B．4 C. D．2 解析：選D.由題意，得||＝，||＝.設向量，的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，所以sin θ＝， 所以S△ABC＝||||sin θ＝×××＝2，故選D. 3．(2019·高考天津卷)閱讀如

14、圖的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的值為(　　) A．5 B．8 C．24 D．29 解析：選B.i＝1，S＝0，i不是偶數(shù)；第一次循環(huán)：S＝1，i＝2<4；第二次循環(huán)：i是偶數(shù)，j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循環(huán)：i不是偶數(shù)，S＝8，i＝4，滿足i≥4，輸出S，結果為8.故選B. 4．(一題多解)(2019·合肥市第一次質檢)設向量a＝(－3，4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標為(　　) A. B．(－6，8) C. D．(6，－8) 解析：選D.法一：因為a與b的方向相反，所以可設b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝1

15、0，則9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故選D. 法二：與a方向相反的單位向量為，令b＝t(t>0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故選D. 5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為－4時，條件框內(nèi)應填寫(　　) A．i>3? B．i<5? C．i>4? D．i<4? 解析：選D.由程序框圖可知，S＝10，i＝1；S＝8，i＝2；S＝4，i＝3；S＝－4，i＝4.由于輸出的S＝－4.故應跳出循環(huán)，故選D. 6．在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，若＝a，＝b，則向量＝(　　)

16、 A.a＋b B．－a－b C．－a＋b D.a－b 解析：選C.＝＋＝－＝－(＋)＝－a＋b. 7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝－1，n＝1，則輸出x，y的值滿足(　　) A．y＝－2x B．y＝－3x C．y＝－4x D．y＝－8x 解析：選C.初始值x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝，y＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝，y＝－6，x2＋y2>36，退出循環(huán)，輸出x＝，y＝－6，此時x，y滿足y＝－4x，故選C. 8．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高，則

17、·的值等于(　　) A．0 B．4 C．8 D．－4 解析：選B.因為AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高， 所以AD＝4sin 30°＝2. 所以·＝·(＋)＝·＋·＝·＝2×4×＝4. 9．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，則·＝(　　) A．16 B．32 C．－16 D．－32 解析：選D.通解：由題意得AB2＝BC2＋CA2，所以△ABC為直角三角形，則點O為斜邊AB的中點，所以·＝－·＝－||·||cos∠BAC＝－||·||·＝－||2＝－32，故選D. 優(yōu)解：由題意得AB2＝BC2＋CA2

18、，所以△ABC為直角三角形，則點O為斜邊AB的中點，所以在上的投影為4，則·＝－·＝－4||＝－32，故選D. 10．已知a>1，b>1，且logab＋logba＝，ab＝ba，則執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S＝(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選C.由logab＋logba＝，得(logab)2－logab＋1＝0，即3(logab)2－10logab＋3＝0，解得logab＝3或logab＝.由ab＝ba，兩邊同時取以a為底的對數(shù)，得b＝alogab，logab＝.當logab＝3時，得a3＝b，且＝3.解得a＝，b＝3；當logab＝時，得a＝b3，且＝，

19、解得a＝3，b＝.又程序框圖的功能是“取較小值”，即輸出a與b中較小的那一個，所以輸出的S＝. 11．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，則·＝(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：選C.對|＋|＝|－|兩邊平方，得2＋2＋2·＝3(2＋2－2·)，即8·＝22＋22＝2×32＋2×32＝36，所以·＝.所以·＝(＋)·＝2＋·＝2－·＝9－＝，故選C. 12．(一題多解)(2019·鄭州市第二次質量預測)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為(　　) A．－ B．0 C．4 D．－1 解析

20、： 選A.通解：因為BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中線BD＝2，且∠CBD＝45°.因為點P在邊AC的中線BD上，所以設＝λ(0≤λ≤1)，如圖所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ2·2＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8(λ－)2－，當λ＝時，·取得最小值－，故選A. 優(yōu)解：依題意，以C為坐標原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)

21、，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2(t－)2－，當t＝時，·取得最小值－，故選A. 二、填空題 13．(2018·高考全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________． 解析：2a＋b＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝. 答案： 14．若輸入n＝4，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s＝________． 解析：第一次循環(huán)，s＝4，i＝2，第二次循環(huán)，s＝10，i＝3，第三次循環(huán)，s＝16，i＝4，第四次循環(huán)，s＝20，i＝5，結束循環(huán)，輸出s＝20. 答案

22、：20 15．(2019·鄭州市第一次質量預測)已知e1，e2為單位向量且夾角為，設a＝3e1＋2e2，b＝3e2，則a在b方向上的投影為________． 解析：因為a＝3e1＋2e2，b＝3e2，所以a·b＝(3e1＋2e2)·3e2＝9e1·e2＋6e＝9×1×1×cos ＋6＝，又|b|＝3，所以a在b方向上的投影為＝＝. 答案： 16．(一題多解)已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標為(－2，0)，O為原點，則·的最大值為________． 解析：法一：由題意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，則＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值為6. 法二：由題意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，則·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值為6. 答案：6 - 13 -