（浙江專版）2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題3 概率及期望與方差 突破點7 隨機變量及其分布教學案

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1、 突破點7　隨機變量及其分布 (對應(yīng)學生用書第26頁) [核心知識提煉] 提煉1離散型隨機變量的分布列 　 離散型隨機變量X的分布列如下： X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 則(1)pi≥0. (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學期望(簡稱期望)． D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·

2、pn叫做隨機變量X的方差． (4)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))． (5) 兩點分布與二項分布的均值、方差 ①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 提煉2幾種常見概率的計算 　 (1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． (2)獨立重復(fù)試驗的概率 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k，k＝0,

3、1,2，…，n. [高考真題回訪] 回訪1　離散型隨機變量及其分布列 1．(2013·浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 【導學號：68334087】 [解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， 1分

4、P(ξ＝3)＝＝， 2分 P(ξ＝4)＝＝， 3分 P(ξ＝5)＝＝， 4分 P(ξ＝6)＝＝. 5分 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 5 5 6 P 6分 (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， 10分 D(η)＝2·＋2·＋2·＝， 化簡得 13分 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 15分 回 訪2　離散型隨機變量的均值與方差 2．(2017·浙江高考)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0

5、D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) A　[由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點分布， ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)． 又∵0

6、已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1,2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1,2)； (2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1,2)．則(　　) 【導學號：68334088】 A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1

7、 3 P 所以E(ξ1)＝＋＝， E(ξ2)＝＋＋＝， 所以E(ξ1)0，所以p1>p2.] 4．(2014·浙江高考)隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. 　[設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.] (對應(yīng)學生用書第27頁) 熱點題型1　相互獨立事件的概率 題型分析：高考主要考查相互獨立事件概率的求解及實際應(yīng)用，對事件相互獨立性的考查相對較頻繁，難度中等. 【例

8、1】　(1)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648　　 B．0.432　　 C．0.36　　 D．0.312 (2)如圖7-1，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999. 圖7-1 ①求p； ②求電流能在M與N之間通過的概率． (1)A　[3次投籃投中2次的概率為

9、P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.] (2)記Ai表示事件：電流能通過Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流， B表示事件：電流能在M與N之間通過． ①＝123，1，2，3相互獨立， 2分 P()＝P(123) ＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3. 3分 又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 4分 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9. 6分

10、 ②B＝A4∪4A1A3∪41A2A3， 10分 P(B)＝P(A4∪4A1A3∪41A2A3) ＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3) ＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)·P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1. 15分 [方法指津] 　 求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的方法 (1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復(fù)試驗問題，然后用相應(yīng)概率公式求解． (2)間接法：當

11、復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解． [變式訓練1]　(2017·杭州學軍中學高三模擬)商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎，則顧客抽獎1次能獲獎的概率是________；若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，則E(X)＝________. 【導學號：68334089】 　　[由題

12、得，在甲箱中抽中紅球、白球的概率分別為，，在乙箱中抽中紅球、白球的概率分別為，.抽獎一次不獲獎的概率為×＝，所以其(對立事件)獲獎的概率為1－＝.因為每次獲得一等獎的概率為×＝，3次抽獎相互獨立，故E(X)＝np＝3×＝.] 熱點題型2　離散型隨機變量的分布列、期望和方差 題型分析：離散型隨機變量的分布列問題是高考的熱點，常以實際生活為背景，涉及事件的相互獨立性、互斥事件的概率等，綜合性強，難度中等. 【例2】　(1)(2017·蕭山中學高三仿真考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p1 A.1　　　　B．

13、2　　　　C．4　　　　D．5 C　[由題可得＋p1＋＝1，解得p1＝.所以E(X)＝0×＋2×＋a·＝2，解得a＝3.所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝4D(X)＝4，故選C.] (2)(2017·紹興市方向性仿真考試)設(shè)X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，若E(X)＝，D(X)＝，則x1＋x2＝(　　) A. B. C. D．3 D　[由已知得解得或因為x1＜x2，所以 所以x1＋x2＝1＋2＝3，故選D.] [方法指津] 解答離散型隨機變量的分布列及相關(guān)問題的一般

14、思路： (1)明確隨機變量可能取哪些值. (2)結(jié)合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒?，計算這些可能取值的概率值. (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 提醒：明確離散型隨機變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵. [變式訓練2]　(1)(2017·溫州九校協(xié)作體高三期末聯(lián)考)將四位同學等可能地分到甲、乙、丙三個班級，則甲班級至少有一位同學的概率是________，用隨機變量ξ表示分到丙班級的人數(shù)，則Eξ＝________. 【導學號：68334090】 　　[甲班級沒有分到同學的概率為＝，所以甲班級至少有一位同學的概率為1－＝.隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，則P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，于是Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.] (2)(2017·金華十校高考模擬考試)設(shè)隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P a 則a＝________；E(X)＝________. 　　[由分布列的概念易得＋＋a＝1，解得a＝，則E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 7