8、EF－t.
由EF2＝1＋HF2＝1＋2,
所以EF＝＋(00，
所以當t∈時，y′<0；當t∈(1,2)時，y′>0，
所以y在上單調遞減；在(1,2)上單調遞增．
所以當t＝1時，y取最小值為24.5.
由①②知，y取最小值為24.5.
答：修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元.
9、
基本不等式的實際應用
[例2] (2017·南京考前模擬)某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)預計銷售Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為Q＝(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4.5萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，且能全部銷售完．若每件銷售價定為：“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的25%”之和.
(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；
(2)當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？
[解] (1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q＋4.5)萬元，
每件銷售價為×150%＋×
10、25%.
∴年銷售收入為·
Q＝＋x.
∴年利潤W＝＋x－－x＝－x＝16Q＋－x＝16·＋－x(x≥0)．
(2)令x＋1＝t(t≥1)，則W＝16·＋－(t－1)＝64－＋3－t＝67－3.
∵t≥1，∴＋≥2＝4，即W≤55，
當且僅當＝，即t＝8時，W有最大值55，此時x＝7.
即當年廣告費為7萬元時，企業(yè)年利潤最大，最大值為55萬元．
[方法歸納]
利用基本不等式求解實際應用題的注意點
(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題求解．
(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用
11、基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍對應函數(shù)的單調性求解．
[變式訓練]
(2017·蘇州期末)某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(如圖1)將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙(圖2)如下，
其中，點A，E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y＝(x∈[－2，2])，曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B，D)的切線的斜率相等．
(1)求曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域；
(2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P
12、所需要的爬坡能力為：M＝(該點P與橋頂間的水平距離)×(設計圖紙上該點P處的切線的斜率)其中MP的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內(nèi)燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？
解：(1)由題意A為拋物線的頂點，設A(a,0)(a＜－2)，則可設方程為y＝λ(x－a)2(a≤x≤－2，λ＞0)，y′＝2λ(x－a)．
∵曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y＝(x∈[－2,2])，
∴y′＝，且B(－2,1)，
則曲線在B處的切線斜率為，
∴
13、∴a＝－6，λ＝，
∴曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式為y＝(x＋6)2(－6≤x≤－2)．
(2)設P為曲線段AC上任意一點．
①P在曲線段AB上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)1＝(－x)·(x＋6) ＝－[(x＋3)2－9]，
在[－6，－3]上為增函數(shù)，[－3，－2]上是減函數(shù)，所以爬坡能力最大為米；
②P在曲線段BC上時，則通過該點所需要的爬坡能力(MP)2＝(－x)·＝(x∈[－2,0])，
設t＝x2，t∈[0,4]，(MP)2＝y(tǒng)＝.
當t＝0時，y＝0；
當0＜t≤4時，y＝≤1(t＝4取等號)，此時最大為1米．
由上可得，最大爬坡能力為米．
∵0
14、.8＜＜1.5＜2，
∴游客踏乘不能順利通過該橋，蓄電池動力和內(nèi)燃機動力能順利通過該橋.
三角函數(shù)的實際應用
[例3] (2017·江蘇高考)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32 cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10 cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)
(1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；
(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于
15、點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．
[解] (1)由正棱柱的定義知，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.
如圖，記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處．
因為AC＝10，AM＝40，
所以MC＝＝30，從而sin∠MAC＝.
記AM與水面的交點為P1，過P1作P1Q1⊥AC，Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，
從而AP1＝＝16.
答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm.
(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為24 cm)
(2)如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心．
由正棱臺的
16、定義知，
OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.
同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.
記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處．
過G作GK⊥E1G1，K為垂足，
則GK＝OO1＝32.
因為EG＝14，E1G1＝62，
所以KG1＝＝24，
從而GG1＝＝＝40.
設∠EGG1＝α，∠ENG＝β，
則sin α＝sin＝cos∠KGG1＝.
因為<α<π，所以cos α＝－.
在△ENG中，由正弦定理可得＝，
解得sin β＝.
因為0<β<，所以cos β＝.
于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝
17、sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，
故P2Q2＝12，從而EP2＝＝20.
答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm.
(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為20 cm)
[方法歸納]
解三角形應用題是數(shù)學知識在生活中的應用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，然后求解.
解三角形應用題常見的兩種情況：
(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)實際問
18、題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.
[變式訓練]
如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．記∠AMN＝θ.
(1)將AN，AM用含θ的關系式表示出來；
(2)如何設計(即AN，AM為多長)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?
解：(1)由已知得
19、∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，
在△AMN中，
由正弦定理得＝＝，
所以AN＝sin θ，AM＝sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°)．
(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，
當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時A
20、N＝AM＝2.
[課時達標訓練]
1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)，設計要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))，彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構成，設腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l.
(1)請將l表示成關于α的函數(shù)l＝f(α)；
(2)當α為何值時l最小？并求l的最小值．
解：(1)過D作DH⊥BC于點H(圖略)，
則∠DCB＝α，DH＝h, 設AD＝x，
則DC＝，CH＝，BC＝x＋，
因為S＝·h，則x＝－.
所以l＝f(α)＝2DC
21、＋AD＝＋h.
答：l表示成關于α的函數(shù)為l＝f(α)＝＋h.
(2)f′(α)＝h·＝h·，
令f′(α)＝h·＝0，得α＝.
列表如下：
α
f′(α)
－
0
＋
f(α)
極小值
所以lmin＝f＝h＋.
答：當α＝時，l有最小值為h＋.
2.如圖是某設計師設計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.現(xiàn)設計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在△AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AO
22、C的面積成正比，比例系數(shù)為4k.設OA＝x，OB＝y(tǒng).
(1)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出OA的取值范圍；
(2)求N－M的最大值及相應的x的值．
解：(1)因為OA＝x，OB＝y(tǒng)，AB＝y(tǒng)＋1，
由余弦定理得，x2＋y2－2xycos 120°＝(y＋1)2，
解得y＝.
由x＞0，y＞0得，1＜x＜2，又x＞y，得x＞，
得1＜x＜，
所以OA的取值范圍是.
(2)設M＝kOB＝ky，N＝4k·S△AOC＝3kx，
則N－M＝k(3x－y)＝k.
設2－x＝t∈，
則N－M＝k
＝k≤k
＝(10－4)k.
當且僅當4t＝，即t＝∈時取等號，
此時x＝2－
23、，
所以當x＝2－時，N－M的最大值是(10－4)k.
3．(2017·南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.
(1)當a＝90時，求紙盒側面積的最大值；
(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．
解：(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600，故當a＝90時，b＝40，從而包裝盒子的側面積S＝2×x(90－2x)＋2×
24、x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20)．
因為S＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25)2＋2 112.5，
故當x＝16.25時，紙盒側面積最大，最大值為2 112.5平方厘米．
(2)包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60.
V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)
＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x，
當且僅當a＝b＝60時等號成立．
設f(x)＝4x3－240x2＋3 600x，x∈(0,30)．
則f′(x)＝12(x－10)(x
25、－30)．
于是當0＜x＜10時，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上單調遞增；
當10＜x＜30時，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上單調遞減．
因此當x＝10時，f(x)有最大值f(10)＝16 000，此時a＝b＝60，x＝10.
答：當a＝b＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米．
4.(2017·南通、泰州一調)如圖，某機械廠要將長6 m，寬2 m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪．已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P)，
26、再沿直線PE裁剪．
(1)當∠EFP＝時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；
(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．
解：(1)當∠EFP＝時，由條件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝，所以∠FPE＝，即FN⊥BC，
所以四邊形MNPE為矩形，且四邊形MNPE的面積S＝PN·MN＝2(m2).
(2)法一：設∠EFD＝θ，由條件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.
所以PF＝＝，
NP＝NF－PF＝3－，ME＝3－.
由得
所以四邊形MNPE面積為S＝(NP＋ME)MN
＝×2＝6－－
＝6－－＝6－≤6－2＝6－2.
當且僅當
27、tan θ＝，即tan θ＝，θ＝時取“＝”．
此時，(*)成立．
答：當∠EFD＝時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為m2.
法二：設BE＝t m,3
28、
5.(2017·南京三模)在一水域上建一個演藝廣場．演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構成(如圖)．看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面積為400平方米．設∠BAC＝θ.
(1)求BC的長(用含θ的式子表示)；
(2)若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價．
解：(1)因為看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，所以AB＝AC.
在△ABC中，S△ABC＝AB·AC·sin θ＝400，
所以AC2＝ .
由余弦定理可得B
29、C2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos θ＝4AC2－2AC2 cos θ＝(4－2cos θ) ，
即BC＝ ＝40.
所以BC＝40 ，θ∈(0，π)．
(2)設表演臺的總造價為W萬元．
因為CD＝10 m，表演臺每平方米的造價為0.3萬元，
所以W＝3BC＝120 ，θ∈(0，π)．
記f(θ)＝，θ∈(0，π)．則f′(θ)＝.由f′(θ)＝0，解得θ＝.當θ∈時，f′(θ)＜0；
當θ∈時，f′(θ)＞0.
故f(θ)在上單調遞減，在上單調遞增，
從而當θ＝ 時，
f(θ)取得最小值，最小值為f＝1.
所以Wmin＝120(萬元)．
答：表演臺的最低造
30、價為120萬元．
6.如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45°方向的一條公路，某風景區(qū)的一段邊界為曲線C.為方便游客觀光，擬過曲線C上某點P分別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價分別為5萬元/百米、40萬元/百米．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則曲線C符合函數(shù)y＝x＋(1≤x≤9)模型，設PM＝x，修建兩條道路PM，PN的總造價為f(x)萬元．題中所涉及長度單位均為百米．
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x為多少時，總造價f(x)最低？并求出最低造價．
解：(1)在題中的平面直角坐標系中，因為曲線C的方程為y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝
31、x，
所以點P的坐標為.
又直線OB的方程為x－y＝0，
則點P到直線x－y＝0的距離為
＝＝.
又PM的造價為5萬元/百米，PN的造價為40萬元/百米，
所以兩條道路的總造價為f(x)＝5x＋40×＝5(1≤x≤9)．
(2)因為f(x)＝5，
所以f′(x)＝5＝.
令f′(x)＝0，得x＝4，列表如下：
x
(1,4)
4
(4,9)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
極小值
所以當x＝4時，函數(shù)f(x)有最小值，
且最小值為f(4)＝5＝30.
即當x＝4時，總造價f(x)最低，
且最低造價為30萬元．
(注：利用三次基本不等式f(x)＝5＝5≥5×3＝30，當且僅當＝＝，即x＝4時等號成立，照樣給分．)
15
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 專題六 應用題教學案
