《2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率 第2節(jié) 古典概型教學案 文(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率 第2節(jié) 古典概型教學案 文(含解析)北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié) 古典概型
[考綱傳真] 1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
1.古典概型
具有以下兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型(古典的概率模型).
(1)試驗的所有可能結果只有有限個,每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果;
(2)每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同.
2.古典概型的概率公式
P(A)==.
確定基本事件個數(shù)的三種方法
(1)列舉法:此法適合基本事件較少的古典概型.
(2)列表法(坐標法):此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗.
(3)樹狀圖法:適合有順序的問題及較復雜問題中基本事件個數(shù)的探求.
[
2、基礎自測]
1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結果是等可能事件. ( )
(2)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同. ( )
(3)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內任取一點,這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.(教材改編)從1,2,3,4,5中隨機取出三個不同的數(shù),則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3、C [任取三個數(shù)和為偶數(shù)共有:(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5)共6個,選C.]
3.(教材改編)袋中裝有6個白球,5個黃球,4個紅球,從中任取一球,則取到白球的概率為( )
A. B. C. D.
A [從袋中任取一球,有15種取法,其中取到白球的取法有6種,則所求概率為P==.]
4.(教材改編)一個口袋內裝有2個白球和3個黑球,則在先摸出1個白球后放回的條件下,再摸出1個白球的概率是________.
[先摸出1個白球后放回,再摸出1個白球的概率,實質上就是第二次摸到白球的概率,因為袋內裝有2個白球
4、和3個黑球,因此概率為.]
5.現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動,則甲被選中的概率為________.
[從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動,有甲乙,甲丙,乙丙三種可能,則甲被選中的概率為.]
古典概型的概率計算
【例1】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
(2)袋中有形狀、大小都相同的4個球,其中1個白球,1個紅球,2個黃球,從中一次隨機摸出2個球,則這2個球顏色
5、不同的概率為________.
(1)D (2) [(1)從5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張的情況如圖:
基本事件總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10,
∴所求概率P==.
故選D.
(2)設取出的2個球顏色不同為事件A,基本事件有:(白,紅),(白,黃),(白,黃),(紅,黃),(紅,黃),(黃,黃),共6種,事件A包含5種,故P(A)=.]
(3)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.
①若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;
②若從亞洲國家和歐洲國家中
6、各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.
[解] ①由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個.
所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個,則所求事件的概率為P==.
②從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A
7、1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個,則所求事件的概率為P=.
[拓展探究] (1)本例(2)中,若將4個球改為顏色相同,標號分別為1,2,3,4的四個小球,從中一次取兩球,求標號和為奇數(shù)的概率.
(2)本例(2)中,若將條件改為有放回地取球,取兩次,求兩次取球顏色相同的概率.
[解] (1)基本事件數(shù)仍為6.設標號和為奇數(shù)為事件A,則A包含的基本事件為(1,2),(1,4),(2,3),(
8、3,4),共4種,
所以P(A)==.
(2)基本事件為(白,白),(白,紅),(白,黃),(白,黃),(紅,紅),(紅,白),(紅,黃),(紅,黃),(黃,黃),(黃,白),(黃,紅),(黃,黃),(黃,黃),(黃,白),(黃,紅),(黃,黃),共16種,其中顏色相同的有6種,
故所求概率P==.
[規(guī)律方法] 求古典概型概率的步驟
(1)判斷本試驗的結果是否為等可能事件,設出所求事件A;
(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m;
(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.
(1)(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,
9、只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( )
A. B. C. D.
(2)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
(1)C (2)D [(1)∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},
∴事件總數(shù)有
10、15種.
∵正確的開機密碼只有1種,∴P=.
(2)如表所示
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
總計有25種情況,滿足條件的有10種,
所以所求概率為=.故選D.]
古典概型與統(tǒng)
11、計的綜合應用
【例2】 空氣質量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數(shù),空氣質量按照AQI大小分為六級,0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;大于300為嚴重污染.一環(huán)保人士記錄2018年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示.
(1)利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù);(按這個月總共30天計算)
(2)若從樣本中的空氣質量不佳(AQI>100)的這些天中,隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標,求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率.
[解]
12、(1)從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質量優(yōu)的天數(shù)為1,空氣質量良的天數(shù)為3,故該樣本中空氣質量優(yōu)良的頻率為=,估計該月空氣質量優(yōu)良的頻率為,從而估計該月空氣質量優(yōu)良的天數(shù)為30×=12.
(2)該樣本中為輕度污染的共4天,分別記為a1,a2,a3,a4;為中度污染的共1天,記了b;為重度污染的共1天,記為c.從中隨機抽取兩天的所有可能結果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b),(a1,c),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b),(a2,c),(a3,a4),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共15個.
其中空氣質量等級恰好不同
13、的結果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共9個.
所以該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率為=.
[規(guī)律方法] 求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路
(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息,提煉出需要的信息.
(2)進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算.
交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數(shù)
14、越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和費率浮動比率表
浮動因素
浮動比率
A1
上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮10%
A2
上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮20%
A3
上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮30%
A4
上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故
上浮10%
A6
上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故
上浮30%
某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下
15、一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
數(shù)量
10
5
5
20
15
5
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5 000元,一輛非事故車盈利10 000元.且各種投保類型車的頻率與上述機構調查的頻率一致,完成下列問題:
①若該銷售商店內有6輛(年齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內隨機挑選2輛車,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次購進12
16、0輛(年齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.
[解] (1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為=.
(2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,該銷售商店內的6輛該品牌(年齡已滿三年)的二手車有2輛事故車,設為b1,b2.4輛非事故車設為a1,a2,a3,a4.從6輛車中隨機挑選2輛車的情況有(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共15種.
其中2輛車恰好有一輛為事故車的情
17、況有(b1,a1) ,(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),共8種.
所以該顧客在店內隨機挑選2輛車,這2輛車恰好有一輛為事故車的概率為.
②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,該銷售商一次購進120輛該品牌(車齡已滿三年)的二手車有事故車40輛,非事故車80輛,
[(-5 000)×40+10 000×80]=5 000(元).
1.(2018·全國卷Ⅱ)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社會服務,則選中的2人都是女同學的概率為( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
D [將2名男同學
18、分別記為x,y,3名女同學分別記為a,b,c.設“選中的2人都是女同學”為事件A,則從5名同學中任選2人參加社區(qū)服務的所有可能情況有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10種,其中事件A包含的可能情況有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,故P(A)==0.3.
故選D.]
2.(2016·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( )
A. B. C. D.
C [從4
19、種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中,余下2種顏色的花種在另一個花壇的種法有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種法有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共4種,故所求概率為P==,故選C.]
3.(2015·全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
C [從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.]
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