4、若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)．( )
(5)一個(gè)確定的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式只有一個(gè)．( )
(6)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)?n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
[教材衍化]
1．(必修5P33A組T4改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝________．
解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
答案：
2．(必修5P33A組T5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________．
5、
答案：5n－4
[易錯(cuò)糾偏]
(1)忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集或其子集{1，2，…，n}；
(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)忽視項(xiàng)為零的情況；
(3)根據(jù)Sn求an時(shí)忽視對(duì)n＝1的驗(yàn)證．
1．在數(shù)列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________項(xiàng)．
解析：依題意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．
答案：10
2．在數(shù)列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n＝________．
解析：由題可知n∈N*，令an＝－n2＋6n＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N*)，所以該數(shù)列的第7項(xiàng)為零，且從第8項(xiàng)開始an<0，則S6＝S7且最大
6、．
答案：6或7
3．已知Sn＝2n＋3，則an＝________．
解析：因?yàn)镾n＝2n＋3，那么當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋3＝5；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不滿足(*)式，所以an＝
答案：
由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an(高頻考點(diǎn))
an與Sn關(guān)系的應(yīng)用是高考的常考內(nèi)容，且多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的已知條件中，屬容易題．主要命題角度有：
(1)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an；
(2)利用an與Sn的關(guān)系求Sn.
角度一 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an
7、 (2020·杭州二中高三?？?已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.
【解】 設(shè)a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，
nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，
因此an＝，
顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
角度二 利用an與Sn的關(guān)系求Sn
設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．
【解析】 由已知得an＋1＝S
8、n＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊同時(shí)除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，則＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
【答案】 －
(1)已知Sn求an的三個(gè)步驟
①先利用a1＝S1求出a1.
②用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式．
③注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．
(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
②利
9、用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________．
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
答案：
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________．
解析：法一：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，
即＝(n≥2)，
又a
10、2＝，所以an＝×(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≠×＝，
所以an＝
所以Sn＝2an＋1＝2××＝.
法二：因?yàn)镾1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，則Sn＝2(Sn＋1－Sn)，
所以Sn＋1＝Sn，
所以數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以Sn＝.
答案：
由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式
分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)
11、＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)2.
(2)當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，
所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n.
(3)因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以＝3，
所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，
所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1－1.
(變條件)若本例(3)條件“an＋1＝3an＋2”變?yōu)椤癮n＋1＝3an＋3n＋
12、1”，其他不變，求an.
解：因?yàn)閍n＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)＝n－，
所以an＝n·3n－2·3n－1.
由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法
1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，則an＝________．
解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
答案：3－
2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，則an＝________．
解析：由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
將這n－1個(gè)
13、等式疊乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.
答案：2
數(shù)列的性質(zhì)(高頻考點(diǎn))
數(shù)列的性質(zhì)主要有單調(diào)性、周期性及最值問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題形式考查，多存在一定難度．主要命題角度有：
(1)數(shù)列的單調(diào)性；
(2)數(shù)列的周期性；
(3)數(shù)列的最值．
角度一 數(shù)列的單調(diào)性
已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．
【解析】 {an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n
14、＋1)．(*)
因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
【答案】 (－3，＋∞)
角度二 數(shù)列的周期性
(2020·杭州中學(xué)高三質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，則該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和是________．
【解析】 依題意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2 018＝2×1 0
15、09，因此該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和等于1 009(a1＋a2)＝8 072.
【答案】 8 072
角度三 數(shù)列的最值
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】 因?yàn)镾n＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常數(shù)，且k∈N*，
所以當(dāng)n＝k時(shí)，Sn取最大值k2，
故k2＝8，k2＝16，
因此k＝4，從而Sn＝－n2＋4n.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－＋4＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－[－(n－1)2＋4(n－1)]＝－n.
當(dāng)n＝1時(shí)，－1＝＝a1，
所以an＝
16、－n.
(1)解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法
①作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．
②作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．
③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．
(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
(3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解．
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C．(1，3) D．(2，3)
解
17、析：選D.因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)，所以?2＜a＜3.
2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，則的最小值為( )
A．21 B．10
C. D.
解析：選C.由已知條件可知，當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)
＝n2－n＋33，又n＝1時(shí)，a1＝33滿足此式．
所以＝n＋－1.
令f(n)＝＝n＋－1，
則f(n)在[1，5]上為減函數(shù)，
在[6，＋∞)上為增函數(shù)，
又f(5)＝，f(6)＝，
則f(5)>f(6)，故f(n)
18、＝的最小值為.
3．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)由下表定義：
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
若a1＝5，an＋1＝f(an)(n∈N*)，則a2 018＝________．
解析：依題意得a1＝5，a2＝f(a1)＝2，a3＝f(a2)＝1，a4＝f(a3)＝4，a5＝f(a4)＝5，a6＝f(a5)＝2，…，易知數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，注意到2 018＝4×504＋2，因此a2 018＝a2＝2.
答案：2
[基礎(chǔ)題組練]
1．已知數(shù)列1，2，，，，…，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是( )
A．16
19、B．24
C．26 D．28
解析：選C.因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.
2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是( )
A. B.
C. D.
解析：選C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.
3．(2020·杭州模擬)數(shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝若an＝，則n的值為( )
A．7
20、 B．8
C．9 D．10
解析：選C.因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9，故選C.
4．(2020·溫州瑞安七中高考模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
解析：選A.由an＋1＝3Sn，
得到an＝3Sn－1(n≥2)，
兩式相減得：an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
則an＋1＝4an(n≥2)，
又a1＝1，a2＝3S
21、1＝3a1＝3，
得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后，為首項(xiàng)是3，公比為4的等比數(shù)列，所以an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)，a6＝3×44，故選A.
5．一給定函數(shù)y＝f(x)的圖象在下列各圖中，并且對(duì)任意a1∈(0，1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an＋1>an(n∈N*)，則該函數(shù)的圖象是( )
解析：選A.由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，可以知道x∈(0，1)時(shí)f(x)>x，即f(x)的圖象在y＝x圖象的上方，由選項(xiàng)中所給的圖象可以看出，A符合條件．
6．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＋Sn－1＝
22、3n2＋2n＋4(n≥2)．若對(duì)任意的n∈N*，an＜an＋1恒成立，則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選C.由Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，可得Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2＋2(n＋1)＋4，
兩式相減，得an＋1＋an＝6n＋5，
故an＋2＋an＋1＝6n＋11，兩式相減，得an＋2－an＝6.
由n＝2，得a1＋a2＋a1＝20，
則a2＝20－2a，
故數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)為以20－2a為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
從而a2n＝6n＋14－2a；
由n＝3，得a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝37，
則a3＝2a－3，
23、
故當(dāng)n≥3時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)是以2a－3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
從而a2n＋1＝6n－9＋2a.
由條件得
解得＜a＜，故選C.
7．(2020·寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n－1(n∈N*)，則a1＝________；數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．
解析：因?yàn)镾n＝n2＋2n－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＋2－1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，
因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＋1＝3≠2，
所以an＝
答案：2
8．若數(shù)列{an}滿足a
24、1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，
故當(dāng)n≥2時(shí)，an＝，
所以an＝
答案：an＝
9．(2020·寧波效實(shí)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝(n∈N*)，則an＝____________．
解析：由an－an＋1＝得－＝＝2×，則由累加法得－＝2，又因?yàn)閍1＝1，所以＝2＋1＝，所以an＝.
答案：
10．(2020·金華市東陽(yáng)二中高三調(diào)研)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋12n－32，其前n
25、項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意m，n∈N*(m8時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)．在m
26、＝S1＝22－2＝2；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.
因?yàn)閍1也適合此等式，
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因?yàn)閎n＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
12．已知數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
所以bn＝
(2)因?yàn)閏n＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n
27、＋1
＝＋＋…＋，
所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，
所以數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列．
[綜合題組練]
1．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝，a2 018＝3，那么a1＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選B.設(shè)a1＝x，由an＋1＝，
得a2＝，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝x＝a1，
所以數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列．
所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝＝3.
解得x＝.
2．下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．
解析：從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n＝1
28、時(shí)，有1個(gè)，n＝2時(shí)，有3個(gè)；n＝3時(shí)，有6個(gè)；n＝4時(shí)，有10個(gè)；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
3．已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，當(dāng)n≥2時(shí)，有bn＝bn－1＋an－1，則b2 017＝________．
解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，因?yàn)閎1＝0，所以bn＝，所以b2 017＝.
答案
29、：
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)設(shè)bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求n為何值時(shí)，an最小．
解：(1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)
＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]
＝－14＋2×－6(n－1)
＝n2－7n－8，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n2－7n－8.
(2)由(1)可知
30、
an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，
當(dāng)n<8時(shí)，an＋1a2>a3>…>a8，
當(dāng)n＝8時(shí)，a9＝a8，
當(dāng)n>8時(shí)，an＋1>an，
即a9
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 1 第1講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)案
