新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

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1、會計(jì)學(xué)1新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算概念及運(yùn)算第1頁/共42頁42xx 21.241,2(1,2).f xxyxyx 已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及鄰近一點(diǎn)，則2222()42442()42.yxxxxxxyxxx 因?yàn)樗裕?，解析?頁/共42頁163 32967.142.f xaxxxfa 已知函數(shù)若，則 的值為 231861312416.3fxaxxfaa 解由，得，所以析：第3頁/共42頁-4434.1yxbyxb直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù) 的值為40030()144x411,04.xyyxyxkxb設(shè)切點(diǎn)為，而的導(dǎo)數(shù)為，在切點(diǎn)處的切線斜率

2、為，得切點(diǎn)為，所以實(shí)數(shù) 的值為解析：第4頁/共42頁6321212 (4)0.3sttt ts已知物體的運(yùn)動方程是表示時(shí)間，單位：秒， 表示位移 ，則瞬時(shí)速度為 的時(shí)刻是秒241206(2)stttt 解析：由，得舍去第5頁/共42頁24 123450.f xx xxxxf函數(shù)，則 (0)(1)(2)(3)(4)000(1)(2)(3)(4)24024.fxxxxxxxfxfxxxxxf ， 當(dāng)無限趨近于 時(shí)，無限趨近于一個(gè)常數(shù)，故解析：第6頁/共42頁導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義211yxx求函數(shù)在點(diǎn)處【例 】的導(dǎo)數(shù)22222(1)12()22022.12.yxxxyxxxxxxxyxx ，且當(dāng)無限

3、趨近于 時(shí)，無限趨近于所以函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)解數(shù)等于析：第7頁/共42頁 本例求導(dǎo)方法簡記為：一差、二化、三極限求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值第8頁/共42頁 111f xxx用導(dǎo)數(shù)的定義，求函【變式數(shù)在處練習(xí) 】的導(dǎo)數(shù)11111111111111xyxxxxxyxxx ，所析：以解，第9頁/共42頁 011.211111.2xxxyf xx 且當(dāng)無限趨近于 時(shí)，無限趨近于所以函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于第10頁/共42頁導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例2】(1)已知曲線y1/3x3在P點(diǎn)處的切線方程為12x3y160，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P(3,8)且與拋物線yx

4、2相切的直線方程 第11頁/共42頁003200000023002002000(1)()1()()()3332.31216,2312,221682(2, )3P xyPy yfxx xyxxx xyxxxyxxxxxxP 設(shè)，則在 點(diǎn)的切線方程為 -=-，即 -=-，則=-已知的切線方程為比較得得故 ，于是點(diǎn) 的坐標(biāo)為【解析】第12頁/共42頁(2)因?yàn)辄c(diǎn)P不在拋物線上，故設(shè)拋物線上點(diǎn)A(xA，yA)處的切線方程為yyAf (xA)(xxA)，即yxA22xA(xxA)，所以y2xAx xA2.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,8)在該直線上，所以xA2 6xA80，解得xA2或xA4.所以過點(diǎn)P(3,8)且與拋

5、物線yx2相切的直線方程為4xy40或8xy160.第13頁/共42頁 函數(shù)在點(diǎn)(x0，y0)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，y0)處切線的斜率已知切點(diǎn)求切線方程與已知切線方程求切點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)不同的問題，前者直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，后者以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為基礎(chǔ)，設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，由于兩切線是同一條直線，對應(yīng)的系數(shù)相等，從而求出切點(diǎn)這是本題第(1)問的解題思想；第(2)問是相近的問題，當(dāng)切線過曲線外一點(diǎn)時(shí)，處理方法還是尋找切點(diǎn)第14頁/共42頁【變式練習(xí)2】(1)若曲線yx21上點(diǎn)P處的切線與曲線y2x21也相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(2)求過點(diǎn)P(0,2)且與曲線y2xx3相切的直線方程 第15頁/

6、共42頁 2222222221(1)(1) 2 ()2121(21)214 ()421242 33,331212 3 733PaaPyaa x ayaxayxbbybb x bybxbabababP m設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，+ ，則在 點(diǎn)的切線方程為 -+ =- ，即 =+ ，與曲線 =- 相切的切點(diǎn)為 ，- ，對應(yīng)的切線方程為 + =- ，即 =-+- ，比較與有,所以 =,所【以點(diǎn) 的坐標(biāo)為(,解析】).第16頁/共42頁(2)設(shè)曲線上點(diǎn)A(x0，y0)處的切線方程為yy0f (x0)(xx0)，即y(2x0 x03)(23 x02)(xx0)，即y(23 x02)x2 x03 .因?yàn)辄c(diǎn)P(0

7、,2)在該直線上，所以x03 1，則x01，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,1)所以過點(diǎn)P(0,2)且與曲線y2xx3相切的直線方程為y1(x1)，即xy20.第17頁/共42頁導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)的物理意義【例3】質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，起點(diǎn)為(0,0)，路程s是時(shí)間t的二次函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)(1,6)，(2,16)(1)求質(zhì)點(diǎn)在t2秒時(shí)的瞬時(shí)速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度 第18頁/共42頁 221.0.1,62,1662,4216424 .4424 2412.212.2( )44( )4.4.satbtccabaabbsttstvstv ttav t設(shè) 因函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以 又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以解

8、得所以 故 ，則 所以質(zhì)點(diǎn)在 秒時(shí)的瞬時(shí)速度為因?yàn)?，則 所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加【】速度為解析第19頁/共42頁 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義：位移函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于速度，速度函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于加速度一般設(shè)位移是時(shí)間的函數(shù)ss(t)，則ss(t)v(t)是速度函數(shù)，而vv(t)的導(dǎo)數(shù)vv(t)a(t)是加速度函數(shù) 第20頁/共42頁【變式練習(xí)3】 2000011 212322.142Sgtttttttt已知自由落體的運(yùn)動方程，求：落體在 到 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；落體在 時(shí)的瞬時(shí)速度；落體在 秒到 秒這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；落體在 秒時(shí)的瞬時(shí)速度第21頁/共42頁 00022000200001111()2

9、(2)2221 (2).2(2),0tttttsg ttgtgtttsvgtttstvttsgtvgtt 落體在 到 落體在 到這段時(shí)間內(nèi)路程的增量為，因此，落體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：落體在 時(shí)的瞬時(shí)速度為當(dāng)時(shí)，所以【解析】；第22頁/共42頁 0110322.10.111(2 20.1)2.0520.09()24202219.6(/)tttttvggtvg 落體在 秒到 秒時(shí)，其時(shí)間增量 秒，由知平均速度為米/秒由知落體在 秒時(shí)的瞬時(shí)速度為米 秒 第23頁/共42頁導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用【例4】 20( ) ln(2)()21323( )(3)( 11)xf xxaafxyf xy

10、a已知函數(shù)=-為常數(shù) 求的值；當(dāng) 時(shí)，曲線 在點(diǎn) ，處的切線經(jīng)過點(diǎn) ， ，求 的值第24頁/共42頁 2000131( )3122( )ln(2)(3)293 ln(32)(1)(3),239(1)3( 11)23951(1)3,.22xfxfxaaxf xxyayxaayxaaaaa 因?yàn)?，所以 -因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn) ，的切線方為 -即,因?yàn)樵撉芯€經(jīng)過點(diǎn) ， ，所以解得【解析】第25頁/共42頁 求曲線的切線的關(guān)鍵是找出切點(diǎn)，要注意區(qū)分切線所經(jīng)過的點(diǎn)是不是切點(diǎn)本題切線經(jīng)過的點(diǎn)(1，1)不是切點(diǎn)，因此先要假設(shè)切點(diǎn)，再求出切線方程，然后由點(diǎn)(1，1)在曲線的切線上，求出a的值 第26頁/共4

11、2頁【變式練習(xí)4】 321( )2()( )312( )f xxxax ayf xlyxalyf xR已知函數(shù)，在曲線 的所有切線中，僅有一條切線 與直線 垂直求 的值和切線 的方程；設(shè)曲線 上任意點(diǎn)的切線的傾斜角為 ，求 的取值范圍第27頁/共42頁 0032000022001()123441.216 4(1) 032232(2)3338 0.xyyxxaxy xx axx aaaxxylyxxy 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，其中=-+由于 =-+ ，故得-= =-依題意，該方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，于是=-+ = ，得 = ，從而 = ，即= ，=故切線 的方程為，即+【-】=解析第28頁/共42頁 2(

12、).243(2)2111.30)24xykyxxxkU設(shè)曲線上任意一點(diǎn) ，處的切線的斜率為因?yàn)?，所以由正切函數(shù)的單調(diào)性可得傾斜角 的取值范圍為 ，第29頁/共42頁1.曲線y2xlnx在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_xy1012ln2-,2 (2 1)(1)1 0.yxxyxyxx y 由函數(shù) -知切線方程是： - =- ，即 -【+】=解析第30頁/共42頁2.拋物線y4x2上到直線y2x4的距離最短的點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.1 1( , )4 42481882411 1 ( , )44 4yxyxkxxxyP因?yàn)?，所以 ，所以曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為 ，令 ，所以 代入拋物線方程得： ，所以所求

13、的點(diǎn)為【解析】第31頁/共42頁3.已知f(x)x22xf (1)，則f (0)_.【解析】因?yàn)閒 (x)2x2f (1)，令x1得f (1)2，所以f (0)2f (1)4.4第32頁/共42頁4.已知函數(shù)f(x)2x3ax與g(x)bx2c的圖象都過點(diǎn)P(2,0)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)、g(x)的表達(dá)式【解析】因?yàn)閒(x)與g(x)的圖象都過點(diǎn)P(2,0)，所以a8,4bc0，所以f(x)2x38x.又g(x)2bx，f (x)6x28，而f(x)與g(x)在點(diǎn)P處有公共的切線，所以g(2)f (2)，即2b26228，得b4.所以c16，所以g(x)4x216.綜上可知，f(

14、x)2x38x，g(x)4x216.第33頁/共42頁 ( )( )(22 )7412 50.1( )0.2( )bf xaxyf xfxxyyf xyf xxyx設(shè)函數(shù)=-,曲線 在點(diǎn)，處的切線方程為 求 的解析式；證明：曲線 上任意一點(diǎn)處的切線與直線 和直線 所圍成的三角形面積為定值，并求此定值第34頁/共42頁 02002000020020071741203.412( )2121322( )734432()( )1+3()(1+)(),33()(1+)()xyyxbxyfxaxbaaf xxbbxaP xyyf xyxP xyy yxxxyxxxxx 方程 可化為 當(dāng) 時(shí)， 又,于是,解

15、得,故設(shè)，為曲線 上任意一點(diǎn)由知曲線在點(diǎn)，處的切線方程為 -即【解析】第35頁/共42頁00000000060,06(0,)2(2 ,2 ),()016|2|62( )06.xyxxxyxyxxyxxxP xyxyxxxyf xxyx令 ，得從而得切線與直線 的交點(diǎn)坐標(biāo)為令 ，得 ，從而得切線與直線 的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以點(diǎn)，處的切線與直線 ， 所圍成的三角形面積為-故曲線 上任一點(diǎn)處的切線與直線 ， 所圍成的三角形的面積為定值，此定值為第36頁/共42頁 0000 1( )( )0()()( )limlim12()xxyf xfxxyyxxyxf xxf xyfxxxx 導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是

16、當(dāng)時(shí)，函數(shù)增量與自變量的增量的比值的極限，其中比值是函數(shù)的平均變化率，即自變量的增量是一個(gè)無窮小的正數(shù)；平均變化率的極限存在 稱瞬時(shí)變化率 ；第37頁/共42頁(3)f (x0)是在xx0處的一個(gè)局部性質(zhì)，它是一個(gè)確定的極限值(4)求函數(shù)在xx0處導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的改變量yf(x0 x)f(x0)； 000000000()()()()limlim()()xxf xxf xyxxf xxf xyxxfxxxxx 求比值求極限若極限存在，則記為；若極限不存在，則函數(shù)在 處的導(dǎo)數(shù)不存在 或函數(shù)在 處不可導(dǎo)第38頁/共42頁 2導(dǎo)數(shù)的物理意義 如果yf(x)表示位移s對時(shí)間t的函數(shù)，則其在tt0處的導(dǎo)數(shù)的意義是物體在時(shí)刻tt0時(shí)的瞬時(shí)速度vs(t0)第39頁/共42頁 3導(dǎo)函數(shù) 函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是(a，b)上的函數(shù)，稱為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f (x)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)在xx0處的函數(shù)值f (x0)就是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即f (x0)f (x)|xx0(注意并非所有的函數(shù)都有它的導(dǎo)函數(shù))第40頁/共42頁 4函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處必有切線，且導(dǎo)數(shù)值等于該切線的斜率，但函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有切線，函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)第41頁/共42頁